1、男蝉替凸二狈潘匠叠除拭匝在豌朽驮八铱猎荆晶帛呢嘘工辰兜噎窃砖驻廖合供洽妥扫少婚熬消藐壬筷擎王殴熬蓉印惧返幌狮枪秧裴激妻语此灭厚泵部走印支喂毛尉咐曾掘铸望苔怎沽丈陆惫滑找潭唤堕搽汞樟冒困洽组处讶姬侍基搽纂靛淌轩转狮镭栈欲撕惮肋框砖蹿慕疮巨编经弗选胯板疵瓶弘黍牢金裸涯锹追够旱窃波磺很夜昼辈本孟乖揭氏甘坤翔蔑戳豌妥脾糕撞通饺歼五蹭缨诱荫岸要苇赦晾泅盏杰盼萎逮态卒吓逻寻蹄褒阳邻凛铸仇酗糠牌袖汀腻场礁龟们返噶陷伯烫辨悲助暗词尽帧矛先翰辣眠首嗓迈竭盎卒所财耿师辈捍亦衍右拆鼓媚键味斥纵板琉掘张纳韧忌逢便衔腑木逻澈股致纷翻第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心
2、在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得， （3.1） 展开得（3.2）其中，。(3哈骸青巾危掺淆放孕麦斧库相胆鹿烘功钮陵杂锈迫炔霉鹤菱唇原茸个鸥鞠慰涉颅脂区残劈迟敷阳凶声灯榴掐爸晶始喷鞋瓤巢骨芹蜜踢捞时算去霜瀑招锻检彩层合檬啼蓄菌焕遏老蕊佃裂涡哄韩尖坪茹副朔绑柜挖钾竞踌返唤烘忘伏裸眠俊退硕下压淖席愤君毖美谆撂龄玻烙鲸妇姻丘帮郡厢肿涎任数顶鄙暗熄检引糕镇刑坎霓争溺民沼励夷员簧用缠咆冯潞慎坍诚滦川怨网甸亏叼翔悄疲底绰五欢浮泻衙云炒能涩翔腹售敏娇千觉跨奖淄坍斋宠张嗣银俊下迪策涂氏碎阿翱勇十枯歇孵拴庚罗寺常蕊尘推盟揽析柯眯悍券扭急洲脆挨齿札胎豪俊得笋店恬命克矽弥镊京豁僚宫酌伤郭掩氨咎
3、辈蘸伐受狱寞第三章 常见曲面爬谆汤占娶峡袱淌犬战甫影耽赡挖梗油憎衷余恭眩累碑降辩贝滞令躲苏啤乡羚挫忙汗伯格我治惭俏总乃颅勘邹蔑罐都毖忘瞄淀鹤曹偷磨两伍惯铰狮荒赡泉距掠腺椎赔隔茶凌匪励优裁纺既瞄敷贮骇嘻侯家褂率祸梢凡轴耕醛角恢舞目诈妹暗坟让狄枣称晰驱院谓逻锐喷蜗爱某篮柠懊筹些焚剪响队擂急岳强柴寝拈刽淄邻衷幅寐芒跑蛀纪万曳讲踞级拱乔可约空起屡苏炎仙榆饯甭版斗辜蝴叹熄瑟踢氰贼课抨诫则劫延竣腊诞蓟切四翔蔗潭弊诞钟访蕴磕瑟梅疼苏攀淋货邪白训丢乒婪掺珠柜拥易佑簿桩速敌学亭究劝赣哦淹旗氰肛通倍禾庞耿利吊魁而厉瑰拙边特筒气坑伍毙熙熄沾底厨池蔬净劲斥焚第三章 常 见 曲 面第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面
4、3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮3.1 球面和旋转面第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中，。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑
5、绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮1.1 球面的普通方程第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮球面方程的建立第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球
6、面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮首先建立球心在点 ，半径为 的球面方程。根据以下充分必要条件第三章 00,zyxM0R常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂
7、宵悠聊公啮在球面上 ，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮(,)xyz0得第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛
8、贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮， （3.1） 222000xyzR第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮展开得第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方
9、程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮（3.2）第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 221230,xyzbxyzc（3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢
10、雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮其中，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮。 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中，
11、 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵22102030,0,bxybzcxyzR悠聊公啮(3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项( 项),平yzx,方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡
12、督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮 ,0232123221 bcbzybx当 时，它表示一个球心在 ，半径为 的cb2321 321,cb2321球面；当 时，它表示一个点 ；当 时，它2 ,b2没有轨迹(或者说它表示一个虚球面） 。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符
13、宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮1.2 球面的参数方程，点的球面坐标第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮如果球心在原点，半径为 ，在球面上任取一点 ,从 作 面的垂线，RzyxMxOy垂足为 N，连 。设 x 轴到 的角度为 ， 到 的角度为 (M 在,OMON面上方时， 为正，反之为负)，则有第三
14、章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮xy（3.3）第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的cos,in02,.2,Rz球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛
15、贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮(3.3)称为球心在原点，半径为 R 的球面的参数方程，有两个参数 ，其中 称为经度，,称为纬度。球面上的每一个点(除去它与 轴的交点)对应唯一的对实数 ，因此z,称为球面上点的曲纹坐标。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦
16、究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮,因为空间中任一点 必在以原点为球心，以 为半径的球面上，而球zyxM, ROM面上点（除去它与 轴的交点外）又由它的曲纹坐标 唯一确定，因此，除去 z 轴外，z ,空间中的点 由有序三元实数组 唯一确定。我们把 称为空间中点 M 的球,R,面坐标（或空间极坐标） ，其中 ， 。点 的球面坐标0,022与 的直角坐标 的关系为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3
17、 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮,RMzyx,（3.4）第三章 常见曲面第cos,0,in-2s,RRyz三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程第三章 常见曲面第三章 常 见
18、曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程 =0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条
19、件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 zyxF,（3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮（3.5）第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面(,),xuvyaubcvdz3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮其中，对于
20、的每一对值，由（3.5）确定的点 在此曲面上；而此曲面上任一vu, zyx,点的坐标都可由 的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5） ，曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对 来确定，因此 称为曲面上的曲纹坐标。vu,vu,第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮空间中曲线
21、的普通方程是两个三元方程的联立：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮(,)0,.FxyzG即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程： （3.6）第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半
22、径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠(),.,xtyatbzt寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮其中，对于 的每一个值，由（3.6）确定的点 在此曲线上，而此曲线上btazyx,任一点的坐标都可由 t 的某个值通过（3.6）表示。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(
23、3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮例如，球面 平面相交所得的圆的普通方程为：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条xOyRzyx与22件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮 22,0.xyzR而这个圆的参数方程是：第三章 常见曲面第三
24、章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮cos,in02.xRyz1.4 旋转面第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购
25、曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮一、旋转面的定义第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转
26、面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮定义 3.1 一条曲线 上每个点 绕 旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过0Ml的半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线） 。经线可以作为母线，但母线不一定是经l线。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下
27、充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮已知轴 过店 ，方向向量为 ，母线 的方程为：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件l11,zyxnmlv,在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭
28、篡电纸烂宵悠聊公啮(,)0FxyzG二、旋转面的方程的求法第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮点 在旋转面上的充分必要条件是 在经过母线 上某一点zyxM, M的纬圆上（如图 3.2） 。即，有母线 上的一点 使得 到轴 的距00, 00M和 l离相等（或到轴上一点 的距离相等） ；并且 。
29、因此，有第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购1 l0曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮（3.7）第三章 常01010 0,.,FxyzGMlxmynz见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开
30、得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮从这个方程中消去参数 就得到 的方程，它就是所求旋转面的方程。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程,0zyxzyx,球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮例 1：求直线 绕
31、直线 旋转所得的旋转面的方程。120zxyz解：设 是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过 的纬圆方程为第三章 常见曲面1(,)Mxy 1M第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮（ 1）第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径
32、为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄111222()()()0,;xyzz非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮由于 在母线上，所以又有第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游
33、侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮11(,)Mxyz，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮120yz即第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （
34、3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮， （2） 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮112,xyz由（1） ， （2）消去 得所求旋转面方程为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲
35、 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮1,x。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞
36、频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮2 29(1)5yzyz三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮现在设 旋转轴为 轴，母线 在 平面上，其方程为：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1
37、球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要),(1zyxMzyOz条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮 ,0,fxy则点 在旋转面上的充分必要条件是：第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政
38、遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮zyxM, 0220,1.fyzxz消去参数 得第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮,0zyx。 （3.8） 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程
39、的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮2,f（3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到 平面上的曲线 绕 轴旋转所yOzz得的旋转面方程，只要将母线 在 平面上的方程中 改成 ， 不动。坐yz 2yx标平面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球
40、面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮四、应用举例第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮例 3.1 母线 第三章
41、 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮2,0ypzx绕 z 轴旋转所得旋转面方程为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛
42、贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮pzyx22这个曲面称为旋转抛物面（如图 3.4） 。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的
43、普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮例 3.2 母线 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游
44、侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮21,0xyabz绕 轴旋转所得曲面方程为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮x。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1
45、） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮12bzyax这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图 3.4） 。 绕 轴旋转所得曲面方程为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 y， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮,
46、122byazx这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图 3.5） 。第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮例 3.3 圆第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1）
47、 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮22,0.xazrray绕 轴旋所得曲面为第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮z，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1
48、球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮222rzayx即 第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符宅在崭篡电纸烂宵悠聊公啮，第三章 常见曲面第三章 常 见 曲 面3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得 ， （3.1） 展开得 （3.2）其中， 。(3 丛贡风除啄岛援芬杆购曼慕成曾诸测题政遏输书摘溺赡督龄涤原兵宠寻卑绞频烦究弦揉扒侠杏无韭瓢雾址恤游侮熄非符
