1、第五节 图着色的应用,贮藏问题:某工厂生产n种化学制品c1,c2,cn,其中某些制品是互不相容.若它们相互接触,则会发生化学反应甚至引起爆炸,为安全起见,该工厂必须把仓库分成若干隔间,以便把不相容的化学制品储藏在不同的隔间,试问该仓库至少应分成几个隔间? 解:构建简单图G=,其中 V(G)=c1,c2,cn 边ci,cjE(G)化学制品ci与cj互不相容.易知,仓库的最少隔间数等于图G的色素x(G).,电视频道分配问题,某地区内有n家电视发射台T1,T2,Tn.主管 部门为每家电视发射台分配一个频道.为排除干扰, 使用同一频道的电视台之间的距离必须大于指定 的正数d,试问该地区至少需要多少频道
2、?构建简单图G=,其中 V(G)=T1,T2,Tn 边Ti, TjE(G)Ti与Tj之间距离d.易知,需要的最少频道等于图G的色素x(G).,考试安排问题,某高校有n门选修课程v1,v2,vn需要进行期 末考试.同一学生不能在同一天里参加两门课程的 考试.问学校的期末考试需要几天?构建简单图G=,其中 V(G)=v1,v2,vn 边vi, vjE(G)vi与vj被同一同学选修.故考试需要的最小天数等于图G的色素x(G).,变址寄存器,在有效的编译器里,当把频繁使用的变量暂时保 存在中央处理单元而不是保存在常规内存时,可以 加速循环的执行.对于给定的循环来说,需要多少个 变址寄存器?可以这样建立
3、模型:设图里的每个顶点表示循 环里的一个变量.若在循环执行期间两个顶点所表 示的变量必须同时保存在变址寄存器里,则这两个 顶点之间有边.因此,所需要的变址寄存器数就是该 图的色数.,顺序着色算法,到目前为止,还没有一个有效算法来确定色素.顺序着色算法是一个求x(G)的有效算法:设G=是简单无向图，V=x1,x2xn用N(xi)表示与xi相邻的全部顶点集合；对顶点xi着色C，记为(xi)=C. i:=1 c:=1 若对yN(xi),(y)C,则令(xi)=C并转入第5步。 C:=C+1并转入第3步。 若in，则i:=i+1并转回第2步，否则停止.,定理1设G是简单连通图，顺序着色法产生G的顶点的
4、一个(G）+1着色，所以(G)（G）+1(不证),证明:顺序着色法用语言描述就是一次考虑每一顶点,将 尚未指定给与其邻接的顶点的最小颜色指定给该顶点,特 别是决不能将两个相邻顶点指定为相同的颜色,因此顺序 着色算法确实产生一个顶点着色.最多存在个顶点与xi 邻接,故在x1,x2,xi-1中最多有个顶点xi邻接.所以, 当算法对顶点xi着色时,在颜色1,2, +1中至少有一 种颜色尚未指定给与xi邻接的顶点并且算法将这些颜色 中最小的指定给xi,于是顺序着色算法产生图G的顶点的 一个+1着色.,例1试用顺序着色法求图G的色数。,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,3,1,3,2,1,2,1,2,1,2,1,2,3,1,定理1给出了连通简单图G的色数的上界.1941年R.L.Brooks证明了下面的定理. 定理2. 设G是一个连通简单图,其顶点的最大度为.若G既不是完全图Kn,也不是奇数圈图Cn,则x(G) .,
