1、第7章 互感耦合电路,7.1 互感 7.2 互感线圈的串联 7.3 互感线圈的并联 7.4 空心变压器 7.5 磁场知识简介 7.6 理想变压器 习题7,7.1 互 感,7.1.1 互感现象如图7.1所示, 现有两个线圈匝数分别为N1、 N2并列在一起， 当线圈1中通入电流i1时， 它在自身要产生感应磁通11， 这个由自身电流感应的磁通我们叫线圈1的自感磁通， 11=N111叫线圈1的自感磁链。由于11的一部分要穿过线圈2成为21， 则21叫做线圈1对线圈2的互感磁通， 21=N221叫做线圈1对线圈2的互感磁链。,图7.1 互感现象,当i1变化时， 11和21也会随之变化。 由法拉第定律可知
2、， 变化的11会在线圈1两端产生感应电压uL1， 叫做线圈1的自感电压； 变化的21也会在线圈2两端产生感应电压u21， 叫做线圈1对线圈2的互感电压。 这种由一个线圈中电流的变化而在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象。各线圈之间磁通互相交链的关系称为磁耦合。,7.1.2 互感系数上述两线圈存在着磁耦合现象， 即线圈2中的磁通21是由线圈1中的电流i1产生的， 且21的大小和i1成正比。 当匝数一定时， 21也与电流i1成正比。 当电流的参考方向与它产生的磁通方向满足右手螺旋关系时， 这种比例关系可描述为21=Mi1 (7-1)其中, 比例系数M为线圈1和线圈2的互感系数， 简称互感，
3、 即,(7-2),比例系数M的单位为享利(H)。,同理， 若电流i2从线圈2流入， 则在线圈1中产生互感磁通12, 则12=Mi2 (7-3) 两线圈间的互感系数M是线圈的固有参数， 它取决于两线圈的匝数、 几何尺寸、 相对位置及磁介质。 M的值反映了一个线圈在另一个线圈中产生磁通的能力。,7.1.3 耦合系数当两个线圈存在磁耦合时， 通常一个电流产生的磁通只有一部分和另一个线圈交链。 如图7.1中， 21即为11的一部分， 而彼此不交链的那部分磁通称为漏磁通。 漏磁通越少， 说明两个线圈耦合的程度越紧密。 为了描述两线圈的磁耦合程度， 可用耦合系数来表示， 即,(7-4),由上式可看出0K1
4、， K越大， 漏磁通越少， 两个线圈耦合的越紧密。 当K=1时， 说明21=11， 12=22, 此时没有漏磁通， 两线圈处于全耦合状态。 又因为21=Mi1, 12=Mi2, 11=L1i1, 22=L2i2代入式(7-4)整理后， 得,(7-5),7.1.4 互感电压根据电磁感应定律， 当互感电压与互感电动势的参考方向一致时， 即互感电压与产生它的磁通也满足右手螺旋关系时， 有,(7-6),若i1、 i2均为正弦量， 不难推出互感电压的相量式为,(7-7),若令XM=M(XM称为互感抗)， 上式又可表示成,图7.2 互感线圈,7.1.5 互感线圈的同名端1. 同名端的概念及意义如图7.2所
5、示， 我们根据自感电压和互感电压的公式来判断各线圈自感电压和互感电压的实际极性。 设i1从a端流入， 且不断变大， 则在线圈1产生自感电压uL1， 在线圈2产生互感电压u21。 选i1与其磁通满足右手螺旋关系(如图7.2所示)， 当自感电压uL1与i1选为关联参考方向时， 有(7-8),选互感电压u21的参考方向与产生它的磁通也满足右手螺旋关系时， 有,(7-9),因为i1变大， 即di1/dt0， 所以uL10, u210。故uL1 和u21的实际方向与所选参考方向一致, 即uL1为 a正、 b负； u21为c正、 d负。,2. 同名端的判断方法已知同名端后， 感应电压实际极性的判断会容易得
6、多， 互感线圈的表示方法也可简化。但如何判定互感线圈的同名端呢？下面介绍两种方法。(1) 两个互感线圈被封装或绕向无法确定。 如图7.4所示， 在线圈一相绕组端接一直流电源， 另一相绕组端接一检流计， S突然闭合， 则线圈1中电流增大， 可以判断线圈1中自感电压实际极性为a正、 b负。,图7.4 实验法判断同名端,(2) 线圈绕向能确定。 当线圈绕向确定时， 我们可根据同名端的一个重要特性来确定同名端， 即当两互感线圈中分别有电流i1和i2流入时， 若i1、 i2的流入端是同名端， 则两电流产生的磁通一定是相互增强的。 如图7.5所示， 我们假设有一电流从线圈1的a端流入， 又一电流从线圈2的
7、d端流入， 用右手螺旋关系可判定， 这两电流产生的磁通方向均向右， 故a与d为同名端。 同样方法可判断图7.6的同名端为a、 c或b、 d。,图 7.5 同名端判定,图7.6 同名端的判断,3. 同名端的应用由互感现象可知， 当某线圈中有电流的变化时， 该电流在自身线圈会产生自感电压， 同时也会在与之有磁耦合的其他线圈上产生互感电压。 当线圈的同名端确定后， 我们应正确选择各电流与其产生的各感应电压的参考方向。,图7.7 同名端的应用1,各电压参考方向规定如下：,(7-10),和 相对同名端一致（或 与 相对同名端一致）， 则有,(7-11),和 一致（关联)， 则有,(7-12),(7-13
8、),两电感的端电压为,图7.8 同名端的应用2,图 7.9 题1图,图 7.10 题2图,7.2 互感线圈的串联,两个无互感的线圈串联时， 其等效电感为L=L1+L2。 若这两个线圈存在互感， 则其等效电感不仅和L1、 L2有关， 而且还和它们的互感系数M有关。 互感线圈的串联分为顺向串联和反向串联。,7.2.1 互感线圈的顺向串联顺向串联是指电流从各线圈的同名端流入。 若两线圈是顺向串联， 则这两个线圈一定是异名端连在一起， 如图7.11所示。,图7.11 顺向串联,选定自感电压， 互感电压参考方向如图7.11所示， 则有,故顺向串联时， 等效电感为L顺=L1+L2+2M (7-14),7.
9、2.2 互感线圈的反向串联反向串联是指电流从各线圈的异名端流入。 若两线接为反向串联， 则这两线圈一定是同名端连在一起， 如图7.12所示。,图7.12 反向串联,选定自感电压， 互感电压参考方向如图7.12所示， 则有,同理可得反向串联时， 等效电感为L反=L1+L2-2M （7-15）,7.2.3 互感与等效电感的关系两互感线圈串联时， 其等效电感L=L1+L22M， 说明顺接时等效电感增加， 反接时等效电感减小， 即反接时互感有削弱自感的作用。 互感的这种作用称为“容性”效应。 但这种削弱作用有多大， 会不会使L反=L1+L2-2M0呢？我们前面曾介绍过， 耦合系数K1， 由式(7-5)
10、可知,整理后， 得,所以L反=L1+L2-2M0 因此说， 互感的这种“容性”效应不会使等效电感为负， 即两互感线圈串联后， 无论何时总是感性的。,又由式(7-14)和式(7-15)可知L顺-L反=4M 即,L顺-L反,4,(7-16),例7.2 如图7.13所示， 两互感线圈串联， 已知R1=3 ， R2=5 ， L1=L2=2 mH， M=1 mH， 接在电压为u= sin(1000t+30) V的电源上， 求回路电流i的表达式。,图7.13 例7.2图,例7.3 如图7.14所示的电路接在了频率为60 kHz、 电压为100 V的正弦交流电源上， R=100 ， L1=0.5 H, L2
11、=0.4 H, M=0.1 H， 若使回路发生谐振， 求C应为多大？电容两端的电压值为多少？,图7.14 例7.3图,例7.4 如图7.15所示的电路中， L1=20 , L2=30 , M=15 , R1=3 , R2=4 ， 电源电压U10=220 V， 求电流I及输出电压U20。,图7.15 例7.4图,图 7.16 题2图,图 7.17 题3图,7.3 互感线圈的并联,7.3.1 互感线圈等效电感的计算两个无互感的线圈并联时， 其等效电感为L=L1L2/(L1+L2)。 若两个互感线圈并联， 其等效电感不仅和L1、 L2有关， 还和其互感系数M有关。互感线圈并联分为同名端相连和异名端相
12、连两种接法， 如图7.18所示。,图 7.18 互感线圈并联,互感线圈的等效阻抗及等效电感可按下述公式计算（推导过程略）： 等效复阻抗为,(7-17),或,等效电感为,(7-19),7.3.2 互感消去法互感消去法是将有互感耦合的电路等效成无互感的电路， 再根据无互感电路的分析方法来求解。 这个消去互感后的等效电路又叫去耦电路。 下面就以图7.18(a)为例求其去耦电路。 图7.18(a)的电路方程为,再将 代入上述各式得,(7-20),由式（7-20）可模拟出图7.18(a)的去耦电路如图7.19(a)所示， 同理可求出图7.18(b)的去耦电路如图7.19(b)所示。 因此对于两互感线圈的
13、并联电路， 不仅可以通过求其等效电感进行分析， 还可以用这种互感消去法求其去耦电路后进行分析。 电路中的电感参数具有负值， 它只是计算上的意义， 而没有物理意义。,图 7.19 去耦电路,用互感消去法还可以分析有互感的两电感只有一端相连的电路， 如图7.20所示， 正确标明各感应电压的参考方向， 考虑到有同名端相连和异名端相连两种形式， 可列下列方程：,(7-21),式中互感电压前的正号表示同名端相连， 而负号表示 异名端相连。,由此可得如图7.21所示的去耦电路， 其中互感系数前面的符号表示同名端相连， 而下面的符号表示异名端相连。,图7.20 一端相连的互感线圈并联电路,图7.21 去耦电
14、路,7.3.3 举例例7.5 如图7.22所示两互感线圈并联， 已知L1=5 H, L2=3 H， M=2 H， 求同名端相连和异名端相连两种情况下的等效电感。,图7.22 例7.5图,解 同名端相连时， 有, 异名端相连时， 有,例7.6 如图7.23所示的电路中， 已知L1=L2=10 ， M=5 ， R1=R2=6 ， U1=6 V， 求开路电压UK的大小。,图7.23 例7.6图,图7.24 例7.6的去耦电路,解 用互感消去法求出去耦电路如图7.24所示。 其中,由于a、 b端开路， 因此L2上无电流。,所以 UK=3 V,图 7.25 题2和题3图,7.4 空 心 变 压 器,7.
15、4.1 空心变压器变压器是利用互感现象来实现从一个电路向另一个电路传递能量或信号的一种器件。 它由两个具有互感的线圈构成。 一个线圈与电源相连， 称为初级线圈（或原线圈）， 它所构成的回路称为初级回路； 另一个线圈与负载相连， 称为次级线圈（副线圈）， 它所构成的回路称为次级回路。 电源的能量就是通过两线圈的磁耦合传递给负载的。,图7.26 空心变压器电路,图7.26为空心变压器的电路图， R1、 L1为初级线圈参数， R2、 L2为次级线圈参数， RX、 LX为变压器所带负载， 为初级电流， 为次级电流， 下面用列方程的方法分析空心变压器电路。 正确标明原、 副线圈上各感应电压的参考方向后，
16、 可得,(7-22),式中， Z11、 Z22分别表示初、 次级回路内的所有复阻抗， 称为各自的自阻抗； ZM称为互阻抗。 利用式(7-22)便可求得初、 次级电流。 除此之外， 空心变压器还可利用反射阻抗的概念求出其初、 次级等效电路后， 再来分析初、 次级电流。,7.4.2 反射阻抗由式(7-22)可知,则,(7-23),由式(7-23)看出， 从电源两端看进去的输入阻抗除了包含初级回路的自阻抗Z11外， 又增加了一个Z1f， 它体现了次级回路对初级回路的影响。,（7-24）,Z1f称为次级反射到初级的反射阻抗， Z1f不仅和互 感抗有关， 还和次级回路的自阻抗Z22有关。,当Z22=R2
17、2+jX22时， （R22、 X22分别为次级回路的总电阻和总电抗）， 有,R1f为反射电阻， X1f为反射电抗。 可以看出， R1f总为正， 它所吸收的功率代表初级回路通过互感M的作用向次级回路传递的功率; 而X1f表达式前却有一负号， 表明反射电抗的性质与次级回路的性质总是相反的。,7.4.3 空心变压器的等效电路由式(7-23)可知， 从电源两端看进去的输入阻抗为,由此我们可画出初级等效电路， 如图7.27（a）所示， 很容 易便可求其初级电流为,图 7.27 等效电路,再由式(7-22)求次级电流 为,我们可以获得空心变压器的次级电路， 如图 7.27（b）所示。 其中, Z2f=X2
18、M/Z11为初级反射到次级的反射阻抗。,此时可求次级电流为,再由式(7-22)求初级电流 为,例7.7 如图7.28(a)所示的电路中， 已知L1=3.185 H， L2=0.1 H， M=0.465 H， R1=20，R2=1， RL=42， 电压u1=115 sin314t V， 求 及 。,图 7.28 例7.7电路图及初级等效电路,例7.8 如图7.29(a)所示的电路中， 已知L1=L2=1 H， RL=10 ， =10 rad/s， =1000 V， 若K=0.5, 求 和 。,图 7.29 例7.8电路图及初级等效电路,例7.9 如图7.30(a)所示的电路中， 电源角频率=10
19、0 rad/s， L1=1 H， L2=0.1 H， M=376 mH， R=10 ， 若使初级回路发生谐振， 求C值应为多大？,图 7.30 例7.9电路图及初级等效电路,7.5 磁场知识简介,7.5.1 磁场的基本物理量1. 磁场与磁力线我们知道， 当小磁针放在磁铁周围时， 磁针就会受到它的力的作用而发生偏转， 而这种力来自于磁体周围空间的一种特殊物质， 这种物质称为磁场。 磁场具有力和能的特性。 磁场是有方向的， 我们规定： 将小磁针放在磁场中某一点上， 当磁针静止时，N极所指的方向即为该点磁场的方向。,磁场也有强弱， 通常可用磁力线的疏密来体现， 磁力线越密说明磁场越强。 磁力线是无头
20、无尾的闭合曲线， 从磁体外部来看磁力线是从N极到S极。 不仅磁体周围有磁场, 还可以证明通电导体周围也存在磁场， 电和磁是不能分割、 紧密联系在一起的。,图7.31 通电导体在磁场中受力,2. 磁感应强度通电导体在磁场中要受到力的作用(如图7.31所示)， 而在磁场中的位置不同， 其受力大小和方向也不同。 这表明磁场强弱和方向也不同， 为了表示磁场强弱和方向这一性质， 引入磁感应强度这一物理量， 其定义为： 在磁场中某一点， 与磁场方向垂直的载流体受到的电磁力为F， 则F与载流体的电流强度I和导体长度l的乘积之比叫做该点的磁感应强度， 用B表 l,(7-25),磁感应强度的单位为特斯拉(T)。
21、,磁感应强度的方向与该点磁场方向一致。 如果某一磁场中， 各点磁感应强度大小相等， 方向相同， 则称这个磁场为均匀磁场。,3. 磁通在均匀磁场中， 我们把磁感应强度B和垂直于磁场方向的面积S的乘积称为该面积的磁通， 用表示， 即=BS (7-26)磁通的单位为韦伯(Wb)。 磁通又可理解为垂直穿过面积S的磁力线的总数。,4. 磁导率图7.32所示为无限长直载流导体周围的磁场， 其磁力线是以导体轴线为中心的同心圆。 磁场中某一点的磁感应强度B的大小与导体电流I成正比， 与该点到轴心的距离成反比，还与周围的介质有关， 即,（7-27）,式中, 为介质的磁导率， 其单位为享利/米(H/m)。,图7.
22、32 长直导体周围的磁场,磁导率是描述物质导磁能力的重要参数， 真空中心的磁导率为0=410-7 H/m通常我们习惯用相对磁导率r来描述介质的导磁能力， 即,5. 磁场强度由式(7-27)可知， 磁感应强度与介质有关， 而介质的影响常常使磁场的分析计算复杂化， 为此我们又引入一辅助量磁场强度。 其定义是： 磁场中某点的磁场强度H等于该点磁感应强度B与该处介质的磁导率的比值, 即,由式(7-27)可知,磁场强度的单位为安/米(A/m)。,7.5.2 铁磁性物质的磁化曲线工程上常用磁化曲线表示各铁磁性物质的磁化特性。 磁化曲线即用B-H曲线来表示, 这种曲线可通过实验来测得。 如图7.33所示，
23、这种从H=0， B=0开始的B-H曲线叫做起始磁化曲线。,图7.33 起始磁化曲线,由曲线可知， 随着H的增大， B也将以不同的速率增大， 当H增到一定程度后， B将趋于饱合。 由于H=B/， 而铁磁性物质的磁导率不是常数， 其随H变化曲线如图7.33所示， 因此B-H也为非线性关系， 用铁磁性物质做铁心的电感也是非线性电感。,图 7.34 磁滞回线,图7.35 基本磁化曲线,7.5.3 交流铁心线圈在电工设备中， 为了增大电感， 常在线圈中放入铁心， 如图7.36所示， 由法拉第电磁感应定律可知,当磁通按正弦规律变化时， 令=m sint, 则有,令Um=Nm， 则u=Um sin(t+90
24、),图7.36 交流铁心铁圈,由此可得如下结论： (1) 线圈感应电压u与磁通为同频率的正弦量。 (2) u与的大小关系为Um=Nm=2fNm或,（7-28）,(3) 相位关系： u超前 90。,7.6 理 想 变 压 器,7.6.1 理想变压器的条件理想变压器的电路模型如图7.37所示， 理想变压器应满足下列条件： (1) 变压器的原、 副线圈为全耦合状态， 耦合系数K=1。 (2) 原、 副线圈内阻为零， 无有功功率损耗。,(3) 交变磁通在铁心中不产生铁损， 无无功功率损耗。 (4) 铁心的磁导率趋于无穷大， 次级开路时， 初级回路磁化电流为零。,图7.37 理想变压器的电路模型,7.6
25、.2 原、 副线圈的电压与电流关系如图7.37所示的电路中， 原、 副绕组匝数分别为N1、 N2。 当铁心中磁通为正弦量时， 令=m sint。 由第7.5.3节结论可知， u1、 u2将为同频率的正弦量， 且电压超前磁通90， 即,全耦合时， 无漏磁通， 穿过原、 副线圈的磁通完全相同， 即m1=m2。,(7-29),当n1时， U1U2, 此时为降压变压器； 当n1时， U1U2， 此时为升压变压器, 且理想变压器只能改变电压的大小， 而无法改变其相位。 由于理想变压器无有功功率损耗， 也无无功功率损耗， 因此原、 副线圈的视在功率一定相等， 即U1I1=U2I2 (7-30),(7-31),又由于初、 次级有功功率和无功功率分别相等， 则有U1I1 cos1=U2I2 cos2U1I1 sin1=U2I2 sin2,(7-32),7.6.3 理想变压器的等效变换如图7.37所示的电路中， ZL为理想变压器所带负载， 由前面分析可知,则从原线圈端看进去的初级输入阻抗为,即Zi=n2ZL (7-33),图7.38 理想变压器的初级等效电路,
