1、第八章,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1. 空间直线与平面的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 相关的几个问题,(1) 过直线,的平面束,方程,机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束,(2)点,的距离为,到平面 ：A x+B y+C z+D = 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到直线,的距离,为,(3) 点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九章 一,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路
3、全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,3. 在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章 一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要
4、少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或重心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,4. 利用重积分换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章 一、曲线积分的计算法,1. 基
5、本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,练习题: P184 题 3 (1), (3), (6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一
6、类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章 一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,机动
7、 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,P257 题7. 求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法, 直接展开法, 间
8、接展开法,练习:,1. 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数的幂级数展开法,2. 函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,P323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数,它在,第七章 一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可
9、分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同学们再见！ 2009年6月28日 通讯地址：徐州师范大学数学科学学院 刘永民 办公室地址：徐州师范大学泉山校区21世纪大楼1401室 Email: ,
