1、实数一、知识要点概述2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系3、有理数都可以表示为 的形式(p、q 为整数且 p、q 互质)；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为 0；开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行5、实数的大小比较有三种方法：数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数差值比较法：对于实数 a，b，当 ab0 时 ab；当 ab=0 时，a=b；当 ab0 时 ab商值比
2、较法：对于两个正数 a，b，当 时 ab；当 时 ab；当 时，a=b6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是 0 的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字7、科学记数法：把一个数记成 a10n 的形式，叫做科学记数法，其中 1|a|10，n 为整数，科学记数法表示的数的有效数字以 a 的有效数字计算8、非负数：正数和零统称为非负数，象|a|，a 2， 形式的数都是表示非负数9、非负数的性质：最小的非负数是零；若 n 个非负数的和为零，则每个非负数都为零二、典例剖析例 1、实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，
3、化简 解：由数轴可知：a0b，|a| |b| 得 ba0，a b0，所以：点评：数形结合的思想是本题的解题关键，应学会从数轴上读出足够多的信息为自己所用，同时要熟记各种法则及应用例 3、(1)如果 ，求 2xyz 的值(2)若|x2y3|x 2y 2=2xy，求 xy 的值点评：算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意几个非负数的和为零时，可得绝对值内代数式为 0，算术平方根的被开方数为 0，平方的底数为 0例 4、填空题：(1)近似数 3.20107 精确到 _位，有_个有效数字(2)将 908070 万保留两个有效数字，用科学记数法表示为 _(3)光的速度约为 3
4、105 千米 /秒，太阳光射到地球上需要的时间约为 5102 秒，则地球与太阳的距离是_千米解：(1)十万，3(2)9.1109(3)31055102=1.5108 千米点评：科学记数法是中考中常考的题目应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值，并会用科学记数法例 5、已知 a、b 是有理数，且 ，求 a、b 的值点评：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于 a、b 的方程组例 6、函数 y=|x1|x2| |x3| ，当 x 取何值时，y 有最小值且最小值是多少？分析：先确定三个绝值的零点值，把 x 的取值范围分为四个部分，然后逐一讨论所求代数式的取值
5、情况从而确定其最小值解：当 x1 时，y=x1x2x3=3x63；当2x1 时，y=x1x2x3=x42；当3x2 时，y=x1x2x3=x，此时无最小值；当 x3 时，y=x1x2x3=3x6，此时无最小值所以当 x=2 时，y 的值最小，最小值是 2点评：解答此类题目的一般步骤是：求零点，划分区间；按区间分别去掉绝对值的符号 整式一、知识要点概述1、代数式的分类2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项合并同类项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变3、整式的运算(1)整式的加减先去括号或添括号，再合并同类项(2)整式的乘除a幂的运算性质a man=amn (
6、a0，m，n 为整数)(a m)n=amn(a0，m，n 为整数)(ab) n=anbn(n 为整数，a0 ，b0)b零指数幂与负整数指数幂(3)乘法公式a平方差公式(ab)(ab)=a 2b 2b完全平方公式：(ab) 2=a22abb 24、基本规律(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则( 字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关)(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似5、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解6、因式分解的基本方法：提取公因式法；公式法；分组分解法；十字相乘法7、因式分解常用的公
7、式如下：a 2b 2=(ab)(ab)a 22abb 2=(ab)2二、典例剖析例 1、填空题(1)如果单项式 与2x 3yab 是同类项，那么这两个单项式的积是_(2)m，n 满足|m2|(n4) 2=0分解因式：(x 2y 2)(mxyn) 例 2、若 3x3x=1，求 9x412x 33x 27x2008 的值分析：此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有 3x3x1 的乘积的代数和的形式，再求其值解：由 3x3x=1 得 3x3x1=0所以 9x412x 33x 27x2008=3x(3x3x1)4(3x 3x1)2012=2012例 3、已知多项式
8、2x23xy2y 2x8y6 可分解为(x2ym)(2xyn) 的形式，求 的值分析：由题设可知，两个一次三项式的积等于 2x23xy2y 2x8y6，根据多项式恒等的条件可列出关于m，n 的二元一次方程组，进而求出 m、n解：由题意得：(x2ym)(2xyn)=2x 23xy2y 2x8y6又因为(x2ym)(2xyn)=2x 23xy2y 2(2mn)x(2nm)ymn根据多项式恒等的条件，得：点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数分析：本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化点评：涉及与乘法有关的复杂计
9、算，要创造条件运用公式简化计算例 5、已知 a、b、c ，满足 ，求(ab) 2(bc) 2(c a) 2 的最大值分析：条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值例 6、若 2x3kx 23 被 2x1 除后余 2，求 k 的值分析：要求 k 的值，需找到关于 k 的方程，由 2x3kx 23 被 2x1 除后余 2，可知 2x3kx 21 能被 2x1 整除，由此可得关于 k 的一次方程点评：关键是利用余数定理找出关于 k 的方程，当 f(x)能被 xa 整除时，f(a)=0 例 7、分解因式(1)a44；(2)x33x24；(3)x2xy6y2x13y6
10、；(4)(xy)(xy2xy)(xy 1)(xy1)解：(1)a44=a44a244a2=(a22) 2(2a)2=(a22a2)(a22a2)点评：本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解(2)解法一：x 33x 24=x 3 x24x 24=x 2(x1)4(x1)(x 1)=(x1)(x 2) 2解法 2：x 33x 24=x 313x 23=(x1)(x 2x1)3(x1)(x1)=(x1)(x 24x 4)=(x1)(x2) 2解法 3：x 33x 24=x 3x 24x 24x4x4=x 2(x1)4x(x1) 4(x1)=(x1)(x
11、 24x 4)=(x1)(x 2) 2点评：这是一个关于 x 的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解(3)设 x2xy6y2x13y6=(x 3ym)(x 2yn)=x22xynx3xy6y23nymx 2mymy=x2xy6y2(nm)x(3n2m)y mn比较左、右两边对应项系数得：x2xy6y2x13y6=(x3y2)(x 2y3).点评：这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式 x2xy6y2=(x3y)(x 2y)，由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可
12、用待定系数法分解(4)设 xy=a，xy=b则原式=a(a2b)(b1)(b1)=a 22abb 21=(a b) 21=(ab1)(a b1)=(xyxy1)(x y xy1)=(x1)(y 1)(x y xy1)点评：整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设 xy=a，xy=b 进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解分式一、知识要点概述1、分式的概念和性质(1)定义：若用 A、B 表示两个整式， AB 可以写成 的形式，若 B 中含有字母，式子 叫做分式说明：1 分式的值为 0 的条件是：分子为零且分母不为 0；2当分母为零时，分式无意义；3 分式的基本性质是分式运算的重要依据，
13、分式的运算方法和顺序与分数的运算类似2、分式的运算法则说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分二、典例剖析例 1、若分式 的值是绝对值最小的实数则 x=_分析：绝对值最小的实数是 0，从而得出分式的值为 0，则分子为零且分母不为 0，故可求出 x解：说明：分式的值为 0，分子为零都知道，但往往忽略分母不为 0，这是此类题目的考察重点例 2、如果 n 为正整数， 是既约分数，那么分析：n2
14、3n10=(n5)(n2)，n2 6n16=(n8)(n 2) 分式，分母有公因式 n2，但此分数为既约分数，从而有 n2=1 ，易可求 n，进而求出此分式值说明：解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定 n 的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分分析：先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通分，然后将原式进行因式分解，以便约分化简例 4、若 x 取整数，则使分式 的值为整数的 x 有（ ）A3 个 B4 个C6 个 D8 个分析：将分式 进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整数的个数解：当 2x1=1 或3 时， x 为整
15、数，0，1，2，1；当 2x1=6 或2 时，x 都不是整数所以符合题意的 x 的取值只有 4 个，应选 B 项说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式分析：由已知可得到关于 a、b、c 的值，然后代入求值解：由 3a2b5=2(a b2)得 a4b9=0 由 2bc1=2(3b2c 8)得 4b3c17=0 由 c3a2=2(2ca b)得 3c5a14=0 解联立组成的方程组得 a=1，b=2，c=3说明：对于含条件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行分析适当变形，并根据需要加以转化说明：添项、拆项是分式计算与证明的常用方法此题可抓
16、住左边分式的分子与分母的特点进行突破，如bc=(ac) (ab)就可以进行分拆二次根式一、知识要点概述1、二次根式：式子 叫做二次根式2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外反之，也可
17、以将根号外的正因式平方后移到根号里面去(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除) 所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，
18、不妨从二次根式定义入手例 3、已知 xy0，化简二次根式 的正确结果是（ ）A B C D分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外) 移到根号( 外)内时必须考虑字母因式隐含的符号例 6、已知 ，求 abc 的值分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a 2n， 是三种重要的非负数表现形式判断一
19、个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简不等式与不等式组一、知识要点概述1、不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去 )同一个数或同一个整式不等号的方向不变(2)不等式的两边都乘以(或除以 )同一个正数，不等号的方向不变(3)不等式的两边都乘以(或除以 )同一个负数，不等号的方向改变2、不等式(组)的解法(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以( 或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分
20、，就得到不等式组的解集(3)设 ab，那么：不等式组 的解集是 xb(大大取大)；不等式组 的解集是 xa(小小取小)；不等式组 的解集是 axb( 大小、小大中间找)；不等式组 的解集是空集 (大大、小小题无解)3、不等式(组)的应用会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组 )；(3)从不等式(组 )的解集中求出符合题意的答案二、典例剖析例 1、(1)已知不等式 3xa0 的正整数解恰是 1，2，3，则 a 的取值范围是_(2)已知关于 x 的不等式组 无解，则 a 的取值范围是_分析：对于(1)，由题意知
21、不等式的解在 x4 的范围内；对于 (2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分解：(1)由题意得 ，9a 12(2)由(1)得 xa ，由(2) 得 x3，因不等式组无解， a3说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有： (1)逆用不等式(组) 解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定例 2、解下列关于 x 的不等式(组) (1)|x2|2x10；(2)(2mx3)n3x分析：对于(1)确定“零界点”x=2(令 x2=0 得 x=2)分 x2和 x2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为 axb 的形式，再就 a 的正负性讨论说明：涉及未知系数或绝
22、对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答例 3、已知 3a2b6=ac 4b 8=0 且 ab0 求 c 的取值范围分析：消去 a，b 得到关于 c 的不等式组，解不等式组得 c 的取值范围分析：已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围) 是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法例 6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元，该商场为促销制定了两种优惠方法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本
23、x(x10)本(1)写出每种优惠办法实际付款金额 y 甲( 元)、y 乙(元) 与 x(本)之间的关系式；(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10 支和书法练习本 60 本设计一种更省钱的购买方案分析：(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3) 中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解解：(1)依题意，可得 y 甲 =25105(x10)=5x 200(x10) ；y 乙 =(25105x)90%=4.5x2
24、25(x10)(2)由(1)有 y 甲 y 乙 =0.5x25当 y 甲 y 乙 =0 时，解得 x=50；当 y 甲 y 乙 0 时，解得 x50；当 y 甲 y 乙 0 时，解得 x50所以，当购买 50 本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在1050 之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于 50 本时，选择优惠办法乙更省钱(3)因为 6050，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买若只用优惠办法乙购买 10 支毛笔和 60 本书法练习本需付款(2510560)90%=495(元)若用优惠办法乙购买 m 支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10m
25、)支毛笔，用优惠办法乙购买 60(10m)=m50 本书法练习本，设付款总金额为 P，则：P=25(10 m)25m5(m50)90%=2m475(0m10)所以，当 m=0 即用优惠办法甲购买 10 支毛笔，再用优惠办法乙购买 50 本书法练习本时，P 取得最小值为：20475=475(元)故选用优惠办法甲购买 10 支毛笔，再用优惠办法乙购买 50 本书法练习本的方案最省钱例 7、我市某化工厂现有甲种原料 290kg，乙种原料 212kg，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 80 件，生产一件 A 产品需要甲种原料 5kg，乙种原料 1.5kg，生产成本是 120 元；生产一件 B
26、 产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料 3.5kg，生产成本是 200 元(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来(2)设生产 A、B 两种产品的总成本为 y 元，其中一种生产的件数为 x，试写出 y 与 x 之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？分析：若设安排生产 A 种产品 x 件，根据题意可建立关于 x 的不等式组，解出不等式组得 x 的取值范围由 x 为整数在取值范围内确定 x 的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出 x 与 y 之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本解：(1)设安排生
27、产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品(80 x)件，依题意，可得：解得：34x36因为 x 为整数，所以 x 只能取 34 或 35 或 36所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：第一种：生产 A 种产品 34 件，B 种产品 46 件；第二种：生产 A 种产品 35 件，B 种产品 45 件；第三种：生产 A 种产品 36 件，B 种产品 44 件(2)设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品(80 x)件，依题意，可得：y=120x200(80x)即 y=80x16000(x 取 34 或 35 或 36)由式子可知，当 x 取最大值 36 时，y 取最小值为8036
28、16000=13120 元，即第三种方案；生产 A 种产品 36 件，B 种产品 44 件，总成本最低，最低生产成本是 13120 元说明：利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数) 的值，是解方案设计型应用题的常用方法方程与方程组一、知识要点概述1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质2、一元一次方程的解法及最简方程 ax=b 解的三种情况(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为 1(2)最简方程 ax=b 的解有以下三种情况：当 a0时，方程有唯一解 ；当 a=0，b0 时，方程无解当 a=0，b=0 时，方程有无穷
29、多解3、一元二次方程的一般形式是 ax2bxc=0(a0)其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法4、一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的求根公式是：注意：求根公式成立的条件为：a0；b 24ac0 5、一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的根的判别式是=b 24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根当=0 时，方程有两个相等的实数根，即 ；当0 时，方程没有实根，反之成立6、若一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的两根为 x1，x 2，则7、以两数 、 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2()x =0 8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减
30、消元法和代入消元法9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“ 降次 ”若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究二、典例剖析点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想例 2、解下列关于 x 的方程(1)4
31、xb=ax8(a4)(2)mx1=nx(3)分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论例 4、已知 m 是整数，方程组 有整数解，求 m 的值分析：先求出 y，运用整除的性质求出 m 的值，需注意所求的整数 m 要使得 x 也为整数解：由原方程组解得 ，若 y 有整数解，则 2m 9=1 或2 或17 或34，经检验当 2m9=1 或17 时，m 为整数且 x 也为整数，得 m=4 或4 或 5 或13例 5、已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等的实数根(1)求 m 的取值范围；例 7、解下列方程(2)3x2x7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注
32、意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式解：(1)原方程化简得方程两边都乘以 12(即去分母) 得3(35x5)=4(5x) 6(25x 5)去括号得：105x15=204x150x30移项及合并同类项得：259x=5例 8、如果关于 x 的一元二次方程 kx22(k2)x k5=0 没有实根，试说明关于 x 的方程(k5)x 22(k2)xk=0 必有实数根分析：由一元二次方程 kx22(k2)x k5=0 没有实数根，可以得出 k0，b 24ac0，从而求出 k 的取值范围，再由 k 的取值范围来说明(k 5)x22(k2)x k
33、=0 必有实数根解：关于 kx22(k2)xk5=0 没有实数根，解得 k4当 k=5 时，方程(k5)x 22(k2)x k=0 为一元一次方程，14x5=0，此时方程的根为 当 k5时，方程(k5)x 22(k2)x k=0 为一元二次方程=2(k2) 24(k5)k=4(9k4)k4 且 k5，=4(9k4)0此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k5)x 22(k 2)x k=0 必有实数根点评：(1)方程“有实数根”与“ 有两个实数根 ”有着质的区别方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”
34、，则表示此时方程一定为一元二次方程点评：构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程2、解分式方程的基本思想方法是：3、解分式方程必须验根二、典型例题剖析例 1、解方程 分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题解：方程两边同乘以(x3)(x2)得：102(x2)=(x3)(x2)化简，整理得：x 2x12=0解之得 x1=3 或 x2=4经检验可知：x 1=3 是原
35、方程的增根，x 2=4 是原方程的根原方程的根是 x=4分析：用换元法解这些分式方程解：(1)设 x2x=y ，则原方程变为解这个方程得 y1=2，y 2=6，当 y1=2 时，x 2x=2，此方程无解；当 y2=6 时，x 2x=6，x 1=2，x 2=3经检验可知：x 1=2，x 2=3 都是原方程的根原方程的解为 x1=2，x 2=3例 3、当 m 为何值时，关于 x 的方程 无实根？分析：先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样 x=0 或 x=1 是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根解：原方程去分母，整理得：x 2x2m=0
36、 (1)若方程有实根，根据题意知，方程的根为 x=0 或 x=1把 x=0 或 x=1 代入方程得 m=2而 x=0 或 x=1 是原方程的增根当 m=2 时原方程无实根(2)若方程(1) 无实根，则=( 1) 24(2m)0解之得当 时，原方程无实根综合之，当 m=2 或 时，原方程无实根例 4、若方程 有增根，试求 m 的值分析：分式方程将会产生增根，即最简公分母 x24=0，故方程产生增根有两种可能：x 1=2，x 2=2由增根的定义知：x 1=2，x 2=2 是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出 m 的值解：将原方程去分母得：2(x2) mx=3(x 2)整理得：(m
37、1)x=10 (1)原方程有增根，x 24=0x 1=2，x 2=2将 x1=2 代入(1) 得 2(m1)=10m= 4将 x2=2 代入(1) 得 2(m1)=10m=6所以 m 的值为4 或 6点评：(1)增根的求法：令最简公分母为 0；(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可例 5、已知 a2a 1=0 且 求 x 的值分析：为求 x 的值，须将 x 与 a2 分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含 ，这样应从条件出发构造倒数关系解：列方程解应用题、知识要点概述1、列方程(组)解应用题的一般步骤审题，设未知数，找出相等关系，布列方程(组) ，
38、解方程 (组)，检验作答，其中找出相等关系，布列方程( 组)是关键，而如何设未知数又是至关重要的开端2、几种常见应用题型的基本等量关系及解题策略(1)和、差、倍、分的有关问题涉及和、差、倍、分问题，一般可直接列出方程但需要抓住关键词：大、小、多、少、增加、减小、几倍、几分之几、几折优惠等如：将若干支铅笔分给几个同学，若每人 5 支，还剩 3 支，若每人 7 支，还差 5 支，问有学生几人？铅笔几支？若设学生有 x 人，依题意得方程 5x3=7x5x=4，则铅笔支数 5x3=23 支(2)等积(面积、体积 )问题涉及等积问题，应依变形前后体(面) 积不变建立等式关系，但需注意单位的统一如要用截面
39、积为 48mm2 的圆钢条锻造成长、宽、高分别为 25mm、8mm、15mm 的长方体钢坯，需要这种圆钢条多少米？解：设需要这种圆钢条 x mm，则 48x=25815解得 x=62.5mm=0.0625 米答：需要这种圆钢条 0.0625 米(3)商品利润问题：商品利润=商品售价商品进价(4)浓度问题：溶液质量=溶质质量溶剂质量(5)工程问题：工程问题中通常把工作量看做“1”工作效率工作时间= 工作量(6)行程问题(又分三类)a相遇(包括环形相遇)问题：两运动物体所走过的路程等于全程(或圈长)b追及问题：分路程相同、时间不同的追及问题和时间相同、路程不同的追及问题，常可画行程示意图帮助分析题
40、意，若甲为快者，则被追路程=甲走的路程乙走的路程c时针问题：注意一圈为 60 分格则分针速度为 1 分格/分钟：时针速度为 分格/ 分钟时间速度=路程（7）航行(或飞行)问题这类问题要注意航行速度与水(风) 速的关系顺水速度=静水速度水速逆水速度=静水速度水速（8）数字问题n 位数（9）增长率问题：（10）投资利润问题：投资总额投资利率= 投资利润二、典型例题剖析例 1、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前 3 个月完成，需要将原定的工作效率提高 12%，问原计划完成这项工程用多少个月？解：设原计划完成这项工程用 x 个月，则实际完成这项工程用
41、(x3) 个月根据题意得解得 x=28经检验，x=28 是原方程的解且合题意答：原计划这项工程用 28 个月点评：分式应用题一定不能忽视两个检验(1)验根；(2) 验题意例 2、有浓度为 60%和 30%的两种硫酸若干，现在要配制成浓度为 50%的硫酸 3000 千克，问两种硫酸各取多少千克？分析：设取浓度为 60%的硫酸 x 千克，则取浓度为 30%的硫酸为 (3000x)千克利用列表法来分析其数量关系：甲种硫酸 乙种硫酸 混合物浓度 60% 30% 50%溶液 x 3000x 3000溶质 x60% (3000x)30% 300050%根据混合前后溶质(纯硫酸 )的重量不变列出方程得x60
42、%(3000x)30%=300050%解：设取浓度为 60%的硫酸 x 千克，则取浓度为 30%的硫酸 (3000x)千克根据题意得：x60%(3000 x)30%=300050%解之得 x=2000 , 3000x=1000答：取浓度为 60%的硫酸 2000 千克，取浓度为 30%的硫酸 1000 千克点评：浓度问题一般抓住配制前后溶质不变的关系来列方程，一般用列表法来分析数量关系例 3、某商店将彩电按原价提 40%进行标价，然后在广告中写上“八折优惠销售” 结果每台彩电比原价多赚了 270元，彩电原价是多少？分析：设原价为 x 元/台，则提价后的标价为 (140%)x，出售价(优惠价)为
43、 x(140%)80%解：设原价为每 x 元/台，根据题意得：x(140%)80% x=270解之得 x=2250 元答：原价每台 2250 元点评：对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系例 4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共 20 万元，甲种存款的年利率为 1.4%，乙种存款的年利率为 3.7%，该公司一年共得利息 6250 元，求甲、乙两种存款各为多少万元？解：设甲、乙两种存款分别为 x、y 万元，答：甲、乙两种存款分别为 5 万元，15 万元点评：利率问题是中考命题的热点问题，应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系：利息=本金利率期数例
44、5、A、B 两汽车站，每隔相同的时间相向发出一辆汽车，A、B 之间有一骑自行车的人，发现每隔 4 分钟迎面开过来一辆汽车，而每隔 12 分钟有一辆汽车从后面开来并超过他，若人与汽车的速度始终是匀速的，问A、B 两站每隔几分钟各发一次车？分析：行程问题也是一类重要的应用题，解题时，一定要透彻理解题意，本题中“每隔 4 分钟迎面开过来一辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行 4 分钟相遇”，而“ 每隔 12 分钟有一辆汽车从后面开过来并超过他”相当于汽车与自行车同向而行，12 分钟汽车追上自行车”解：设汽车速度为 x，骑车人速度为 y，先后两辆汽车的间距为 S，欲求 ，依题意得：答：两车站每隔 6
45、分钟发一次车例 6、某三位数除以它各数位上数字的和的 9 倍得到的商为 3，已知百位上的数字与个位数字的和比十位上的数字大 1，如果把数位上的数字顺序颠倒，则所得的新数比原数大 99，试求这个三位数函数与图形一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x，y，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数，x 叫自变量4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：列表；描点；连线，通常称为描点法6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平
46、行于坐标轴的直线上的点(1)平行于 x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于 y 轴的直线上任意两点的横坐标相同4、对称点的坐标：(1)点 P(a， b)关于 x 轴的对称点坐标是 P1(a，b) 即横坐标相同，纵坐标互为相反数(2)点 P(a， b)关于 y 轴的对称点坐标是 P2(a ，b) 即横坐标互为相反数，纵坐标相同(3)点 P(a， b)关于原点的对称点坐标是 P3(a ，b) 即横、纵坐标都互为相反数5、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数6、点与原点、坐标轴的距离(1)点 P(a，b)与原点的距离是 (2)点 P(a，b)与 x 轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)(3)点 P(a，b)与 y 轴的距离是|a|( 即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例 1、现有点 M(1a，2b1) 在第二象限，则点 N(a1， 12b) 在第_象限分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征由于点 M 在第二
