1、初一数学一 1本文由 HeatherLL 贡献doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。代数初步知识（ 代数初步知识（一）一、本单元教学内容及要求单元节次知识要点 （1）用字母表示数的意义教学要求 B C C B C B C代数式（2）说出一个代数式所表示的关系 （3）运算律代数式列代数式（1）代数式的概念 （2）列代数式 （1）代数式的值的概念代数式的值（2）求代数式的值说明：教学要求分以下几个层次： 说明 1、理解字母可以表示我们学过的任何数，并了解用字母表示数的优越性. 2、明确字母表示数时,在同一问题中,不同的量必须用不同的字母表示,
2、相同的量必须用相 同的字母表示. 3、明确字母表示数时,在字母许可的取值范围内可以任意取值. 4、了解：对知识的涵义有感性的，初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会） 在有关的问题中识别它。 5、理解：对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概 念和规律是什么， 而且能够知道它是怎样得来的， 它与其它概念和规律之间的联系， 有什么用途。 6、掌握：一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够（或会）用它去解决1一些问题。 7、灵活运用：是指能够综合运用知识并达到了灵活的程度，从而形成了能力。二、技能要求 1了解代数式、代数式的值的概念，方程，方程的解
3、，解方程的概念 2会列出代数式表示简单的数量关系 3会求代数式的值三、重要数学思想 初步渗透转化的思想，渗透化“未知”为“已知”的“化归”思想，渗透特殊与一般的辨证 关系思想，培养实事求是的科学态度。四、主要数学能力 1通过列代数式，培养独立分析问题，解决问题的能力和逻辑思维能力。 2通过求代数式的值，培养运算能力。 3通过基本数量关系的语言表述与代数式表示之间的互化及运用公式解决比较简单的实际 问题，培养分析问题和解决问题的能力，培养创造性思维的能力。五、例题分析第一阶梯1代数式 例 1下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式。(1)(2)a(3) 26+38(4) s=vt(5) a +2
4、ab+b22(6)2(7) 2+3=5(8)3a4b(9) 5n+2(10) 2(x-y)+3分析：教科书中明确指出：用运算符号把数字或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。 分析：教科书中明确指出：用运算符号把数字或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。单独的一 个数或者字母也是代数式，在理解这个定义时，应注意下述几个问题：个数或者字母也是代数式，在理解这个定义时，应注意下述几个问题： （1）运算符号是指加，减，乘，除，乘方和开方（乘方开方运算以后再讲）这六种运算，不再包含 运算符号是指加， 乘方和开方（乘方开方运算以后再讲）这六种运算， 其它运算。 其它运算。 （2）等号不是运算符号，所以
5、代数式中不允许有等号，同样不等号“”或“4b 中分别有“=” 、 “”，它们分别 (4)题 表示等式和不等式，也不是代数式。表示等式和不等式，也不是代数式。解：(1)是代数式；(2)a；(3) 26+38；(5) a +2ab+b ；(6)22；(9)5n+2；(10)2(x-y)+3 都(4)s=vt，(7)2+3=5，(8)3a4b 不是代数式。 点评：本题考查对代数式概念的理解。要注意含有等号和不等号的式子都不是代数式。 点评 2 “字母表示数”的意义 字母表示数” （1）从知识上看，用字母表示数体现了算术与代数的本质区别。 （2）从思维方法上看，用字母表示数体现了直观形象思维向抽象思维
6、的过渡，是认识上的 一个飞跃。3（3）用字母表示数具有两个特点： 第一，不确定性：字母表示数但并不代表某一个具体的数。例如字母 a 可以表示整数，也可 以表示分数，零，也可以表示以后要学的负数等等，这反映了特殊与一般的关系。 第二，抽象性：用字母表示数，是数的概念的发展，是更高层次上的抽象，这反映了现象与 本质的关系。 从确定的数到字母表示数， 是数学方法由低级向高级， 从具体到抽象， 由特殊到一般的过渡， 是学习代数的重要方法，应在学习中逐步体会。从算术到代数的过渡，就是要完成字母表示数的 过程，在这个过程中要不断地摆脱具体数字概念的束缚，才能提高概括水平。 例 2填空：（1）y7用代数式表
7、示一般要写成；2（2）长方形的面积是 acm ，它的宽是 bcm，那么它的长是cm，周长是 cm； （3）某校同学向希望工程捐献图书，其中有 m 个人每人捐献 4 本书，有 n 个人每人捐献 a 本书，那么他们一共捐献图书本； （4）一批冰箱原价每台售价 m 元，现在八折出售，出售了 9 台，销售额为元。解：(1) (2)y，或 );y 或；, 2(b+(3)(4m+an);(4)9m, 或 980%m.点评：本题考查书写代数式。这类问题的关键是准确理解题意，明确运算关系及运算顺序。 点评 书写代数式时要注意以下几点： 在同一个式子中，不同的字母表示不同的数，相同的字母表示相同的数。 在同一个
8、问题中， 不同的量必须用不同的字母表示。 如长方形的长和宽必须用不同的字母4来表示。 在数字和表示数的字母相乘时，乘号可以省略，但要把数字因数写在字母因数的前面。若字母因数是带分数，要化成假分数。如(1)题 y7写成y 或。在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数形式如(2)题中，长方形的长为不写成 ab 的形式。1a 写成 等。列代数式时不写单位名称，单位名称在答案中写出来，如果代数式是乘、除关系，单位名称写在式子后面，如(2)题中 等；cm,(4)题中 9m 元如果代数式是加，减关系，必须把代数式用括号括起来以后再写单位名称，如(3)题中的 (4m+an)本. 在不同的问题中，要注意
9、字母的取值范围。如(3)中 n,m,a 均为自然数。（自然数就是大于等于零的整数）中学的数学课,是从学习代数开始的,在代数课上,都学习些什么呢?初中代数和小学数 例 3、 学有什么关系呢?让我们先 看下面的例子.一列汽车保持一定的速度行驶,每小时行使 60 千米,这列汽车行使的路程与时间如下表:时间(时) 路程(千米)1 602 1203 1804 2405 300 你能发现汽车行驶的路程与时间存在什么规律吗?并用数学表达式表示出来.5探索指南: 探索指南 如果用字母 t 表示汽车行驶的小时数,那么汽车在这段时间行驶的千米数是 当 t=1 小时, 当 t=2 小时, 当 t=3 小时, 当 t
10、=4 小时, 当 t=5 小时, 601=60 千米 602=120 千米 603=180 千米 604=240 千米 605=300 千米. 标准答案: 标准答案 解答说明: 解答说明60t(即 60t) 千米从上例可以看出,用字母表示数可以带来方便.用字母表示数是代数的一个重要特点.小学已 经学习过一些这方面的知识,下面我们就从用字母表示数开始初中代数的学习.例 4、一个长方形的长为 acm(厘米), 长方形的宽为 bcm(厘米),这个长方形的周长是多少? 面积是多少?探索指南： 宽为 bcm 代入公式即可。 探索指南 长方形的周长和面积公式分别是什么？分别将长为 acm， 标准答案：用
11、L 表示周长（单位：cm）,那么 L=2(a+b) 标准答案 用 S 表示面积（单位：cm ） ，那么 S=ab 解答说明：从上面的例子可以看出，用字母表示数，可以把数或数量关系简明地表示出来， 解答说明 在公式与方程中都用字母表 示数，这给运算带来方便。26在上面的例子中出现了 a,b,60,60t,ab,2(a+b),像这样的式子都是代数式。 注意： 注意： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“.”或省略不写。如 4a 写作 4a （2）数字与数字相乘一般仍用“”号。 （3）在代数式中出现的除号，一般按照分数的写法来写.如 st 写作 ，ah2 写作 .例 5选择题（只有一个答案正确）
12、 下列各式中表示方法符合代数式的要求的是（）A、xy3B、15ab2C、1xy2D、分析：用书写代数式应遵循的一般要求进行检验，A、B、C 均不符合要求。 分析 解：应选择 D。第二阶段例 6说出下列代数式的意义： (1) 3a-b (2)3(a-b) (3)a -b2 2(4)(a+b)(a-b)(5)(6)3-a2(7)3a2(8)a-解：(1)3a 与 b 的差；或 3a 减去 b 的差；或 a 的 3 倍减去 b；或 a 的 3 倍与 b 的差； (2)3 与 a-b 的积；或 a 减去 b 的差的 3 倍；或 a 与 b 的差的 3 倍； (3)a 与 b 的平方差；或 a 的平方减
13、去 b 的平方的差，或 a 的平方与 b 的平方的差，或 a，b 两个数的平方差； (4)a，b 两个数的和与这两个数的差的积；(5)x 除以 ab 的商，或 x 比 ab (6)3 与 a 的差；或 3 减去 a 的平方的差；27(7)a 的平方的 3 倍或 3 乘以 a 的平方；(8)a 减去的差；或 a 与 1 除以 a 的商的差；或 a 与 a 的倒数的差。例 7用代数式表示： (1)a 的平方与 b 的 2 倍的差； (2)m 与 n 的和的平方与 m 与 n 的积的和； (3)x 的 2 倍的三分之一与 y 的一半的差； (4)比 a 除 b 的商的 2 倍小 4 的数。解：(1)
14、 a -2b2(2) (m+n) +mn2(3)x-y(4)-4点评： 点评 例 4，例 5 类型不论是说出代数式的意义还是用代数式表示，都要认真审题，弄清题目中 表示的有关的数量关系和运算顺序， 要抓住关键词语， 如和 （加） 差 ， （减） 积 ， （乘） 商 ， （除） ， 大，小，多，少，倍，几分之几，倒数，平方，立方，增加到，增加了等词语的意义。 要注意题目中的“的”字的作用：如例 5(1)题中共有 3 个“的”字，这三个“的”字把 题目分成了三段：a 的平方记作 a ；b 的 2 倍记作 2b；把 a 的平方与 b 的 2 倍的差记作 a -2b。 列代数式抓住“的”字把句子分成几
15、个层次，逐层分析，一步步列出代数式。2 2注意“除”与“除以”的意义是不同的，a 除 b 就是 b 除以 a 的意思，表示为 的商的 2 倍可记作 2 写成。，a 除 b例 8用代数式表示： (1) 偶数，奇数；(2)三个连续整数；(3)被 2 除商 m 余 3 的数 解： (1)2n, 2n+1 或 2n-1 (n 为整数)8(2)n, n+1, n+2 (n 为整数) (3)2m+3 点评： 点评 在处理整数，整除问题时，注意列出的代数式中字母的取值范围。要在代数式后面特别指 明 三个连续整数也可以设中间整数为 x，那么表示为 x-1, x, x+1; 也可以设最大的一个整 数为 n，它们
16、表示为 n-2, n-1,n. 注意连续整数间数差为 1 被除数=除数商+余数，(3)题实质上求的是被除数。例 9说出下列各组代数式的意义有什么不同。(m 为整数)(1) 2(a+b),2a+b,a+2b(2) a -2,(a -b ),22()2解法：(1)2(a+b)是 a 与 b 的和的 2 倍； 解法 2a+b 是 a 的 2 倍与 b 的和； a+2b 是 a 与 b 的 2 倍的和。(2)a -2是 a 与 b 的一半的差；22(a -b )是 a, b 两数平方差的一半; ( ) 是 a, b 两数差的一半的平方222点评：注意理解运算顺序，如“和的积”和“积的和”运算顺序不同，
17、前者是先和后积，后 点评 者是先积后和，又如“两数平方差”和“两数差的平方”运算顺序也不同，前者是先平方后差， 式子是 a -b ，而后者是先做差后平方，式子是(a-b) 。2 2 2910一个两位数，十位上的数字为 a，且十位上的数比个位上数大 3，试用含 a 的代数式 例 10 表示个位上的数和这个两位数。分析：此类问题首先要弄清两位数是怎么回事，例如 36 这个两位数十位上的数是 3，个位 分析 上的数是 6，36=310+6，两位数=十位上的数10+个位上的数，三位数=百位上的数100 +十 位数上的数10+个位上的数 解法：个位上的数为 a-3，这个两位数为 10a+(a-3) 解法
18、第三阶段11 十位数字为 a， 个位数字为 b ,这个三位数为， 例 11 一个三位数的百位数字是 5， 把它的三位数字颠倒过来，这个三位数为。 解法：500+10a+b, 解法 100b+10a+5.12x 表示一个三位数，y 表示一个两位数，如果把 x 放在 y 的左边，组成一个五位数， 例 12 试表示这个五位数。分析：要想把 x 放在 y 的左边组成一个五位数，由于 x 表示一个三位数，y 是一个两位数， 分析 需将 x 乘以 100 成为五位数，100x 实质上是后两位为 0 的五位数，再加上 y 这个两位数，即成 所求的五位数。 解法：这个五位数为 100x+y。 解法 例 13甲
19、、乙两地之间公路全长为 100 千米，某人从甲地到乙地每小时走 v 千米，用代数 式表示：（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？ （2）若每小时减少 2 千米，需要多少小时？10（3）减速后比原来慢多少小时？分析：这个实际问题是研究距离，速度与时间的关系，属于行程问题。它的基本关系是：距 分析离=速度时间或者速度= 代数式。，时间=，按照这个关系来具体分析本题不难找出它们的解法：（1）某人从甲地到乙地需要走 解法小时 小时。（2）若每小时速度减少 2 千米，此时速度为（v-2）千米，需要走 （3）减速后比原来慢（ ）小时。例 14用代数式表示下列问题的答案。（1）甲，乙二人从同一地点出发，甲每
20、小时走 akm，乙每小时走 bkm， （b） ，用代数式表示： 反向行走 t 小时，两人相距多少 km? 同向行走 t 小时，两人相距多少 km？ 反向行走，甲比乙早出发 m 小时，乙走 n 小时，两人相距多少 km? 同向行走，甲比乙晚出发 m 小时，乙走 n 小时(nm)两人相距多少 km? 解法及分析 解法 分析：本题是行程问题 分析 两人从同一地点出发，反向而行，t 小时后两人之间的距离为两人所走路程之和。得 (a+b)tkm 或(at+bt)km 二人从同一地点出发，同向而行，t 小时后两人之间的距离为两人所走路之差得(a-b)tkm 或(at-bt)km. 反向而行，甲比乙早出发
21、m 小时，故甲先走 makm，然后甲、乙又同时走 n 小时，分别走 nakm, nbkm， 这时两人之间的距离为他们所走的路之和。 （ma+na+nb） 或者为ma+n(a+b)km 得 km， 或(m+n)a+nbkm.11同向而行，乙走 n 小时(nm)乙走距离为 nbkm, 甲比乙晚出发 m 小时，那么甲走的路程为 (n-m)akm，甲，乙两人同向而行，两人之间的距离为二人所走路程之差。当(n-m)a时，得nb-(n-m)akm.当(n-m)anb 时得(n-m)a-nbkm. （2）一项工程，甲队单独完成需用 a 天，乙队单独完成用 b 天，若两队全做， 完成这项工程共需多少天？解法与
22、分析 解法 分析：本题是工程问题，工程问题的特点是把完成整个工程看作 1。甲队单独完成需 分析用 a 天，则甲队每天完成工程的两人合作一天能完成工程的，乙队单独完成需用 b 天，则乙队每天完成工程的，甲，乙+。工程问题的基本关系是：工作量=工作效率工作时间，或 。 + 即合作的效率，工作量为 1，由基本关系可者效率=，时间=因为甲，乙两人合作一天能完成工程的得完成这项工程所需时间为天。（3）某轮船在静水中的速度为 vkm/时，水流速度为 dkm/时，求这艘轮船在相距 skm 的两个 码头间往返一次所需时间。 解法与分析 本题为行程问题的特殊问题， 它的特点是 （上） 逆游船速=静水船速-水速；
23、 （下） 解法 分析： 分析 顺游船速=静水船速+水速。这艘船在相距 skm 的两个码头间往返一次，若去时是下游，则返程为 上游；若去时是上游，则返程是下游。故轮船往返一次为上游，下游各一次。上游船速为 v-d， 下游船速为 v+d。所以轮船往返一次所花的时间为(+)小时。（4）m 亩地，一亩产水稻 a 千克，n 亩地一亩产水稻 b 千克，求这些地平均亩产量。12分析：本题为平均数问题，其特点为：平均数= 分析解法：总产量为(ma+nb)千克，总亩数为(m+n)亩 解法平均亩产量为千克。测试填空题 1.n 箱苹果重 P 千克,每箱苹果重千克. 2.甲身高 acm,乙比甲高 bcm,乙身高 cm
24、 3.底为 a,高为 h 的平行四边形的面积是. 4.全校学生总数是 x,其中男生占 45%,女生人数是.选择题 1每包书有 12 册，n 包书有册（ A、12+n B、12n C、12 D、n）2温度由 t下降 2后是（ A、t+2B、(t-2) C、2t D、t-23棱长是 a 厘米的正方体的体积是立方厘米（ A、a2）B、a3C、2aD、3a ）4产量由 m 千克增长 10%，就达到千克（ A、m+10%B、m-10% C、(1+10%)m,D、(1-10%)m5可以表述为（） B、c 除 a 乘 bA、c 除以 ab 的商13C、c 除 a 乘以 b 6a +b 可表述为（ A、a 的
25、平方与 b 的和；2 2D、c 除以 ab 的倒数 ） B、a 加 b 的平方； D、a 的两倍与 b 的两倍的和 ）C、a 的平方与 b 的平方的和；7m 与 n 的和除以 10 的商用代数式表示为（A、m+B、C、D、 ） D、m -5n ）28m 与 5n 的差的平方用代数式表示为（ A、m -5n2 2B、m-5n2C、(m-5n)29a,b 两数的平方差除以 a 与 b 的差的平方的商，用代数式表示为（A、B、C、D、 ）10下面各题后面的代数式中错误的是（ A、a 的 3 倍与 b 的 2 倍的和为 3a+2bB、a 除以 b 的商与 2 的差的平方为(-2)2C、a,b 两数和，
26、乘以 a,b 两数差为(a+b)(a-b)D、a 与 b 的和的为 a+b答案与解析答案： 答案： 填空题 1.p/n 2.a+b 3.ah 4.(1-45%)x14选择题1、B2、B 3、B4、C 5、A6、C7、B8、C9、A10、D解析： 解析： 用代数式表示用语言叙述的数量关系要注意：弄清代数式中括号的使用；字母 与数字做乘积时，习惯上数字要写在字母的前面.代数式考点扫描: 考点扫描: 1掌握用字母表示数的意义 2了解代数式的概念，能用语言准确表达代数式所表示的数学意义 名师精讲: 名师精讲: 1用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的一个重要特点，它的优点在于能简明、扼 用字母表示数
27、的意义： 用字母表示数的意义 要、准确地把数和数之间的关系表示出来，深刻地揭示数量之间的联系，为我们学习数学和应用 数学带来方便 2代数式的概念：用字母表示数以后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起 代数式的概念： 代数式的概念 来的式子，我们把它们称为代数式 代数式单个的数字或字母也可以看作代数式 代数式 注意： 注意：数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间的运算符号是指加、减、乘、除、乘 方及以后将学到的开方运算符号，但不包括=、等表示数量关系的关系符号凡 带有关系符号的式子都不是代数式 3代数式的书写形式： 代数式的书写形式： (1)数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略
28、不写或用“”代替省略乘号时，数 字因数要写在字母因数前面， 数字是带分数时要改写成假分数； 数字与数字相乘仍用 “” 号 (2)代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式 (3)用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号15把代数式括起来 4用语言表达代数式的数学意义时，既要正确表达式子中所含有代数运算以及它们的运算 用语言表达代数式的数学意义时， 顺序，又要注意语言的简练准确 顺序，又要注意语言的简练准确 说明： 说明：本节知识是一些概念性的知识，是以后学习整式、分式、无理式、方程等概念的基础， 在中考中较少单独命题列代数式考点扫描: 考点扫描: 会用代数
29、式表示简单的数量关系 名师精讲: 名师精讲: 列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来 列代数式时需要注意： (1)认真审题，分析问题中的数量关系，正确理解问题中的一些关键性术语，如“和、差、 积、商、倍、几分之几、大、小、多、少、提高了、提高到”等 (2)要注意题目的语言叙述表示的运算顺序，按“先读的先算”(写)的原则，逐步列出代数 式 (3)根据问题中的运算顺序，适当添加括号中考典例: 中考典例: 1(黑龙江省哈尔滨市)我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格某种药 品在 1999 年涨价 30%后， 2001 年降价 70%至 a 元， 则这种药品在 1999
30、年涨价前的价格为 元 考点： 考点：列代数式 评析： 评析：因为该药品经过两次调价后的价格是 a 元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可16用逆向思维的方法来解： 因为 2001 年降价 70%至 a 元， 所以降价前的价格应为用同样的方法可列出第一次调价前的价格为，(1+30%)整理得2(安徽省)某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收 0.8 元，以后每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出的第 n 天(n 是大于 2 的自然数)应收租金 元 考点： 考点：列代数式 评析： 评析：因为租出的第 n 天中包括前两天，所以每天收 0.5 元的天数应是 n-2，那么第 n
31、 天应 收的租金为 1.6+0.5(n-2)整理为 0.6+0.5n 说明： 说明：解答该题时一定要注意条件，n 是大于 2 的自然数 3(福建福州)观察下列各式：1 +1=12，2 +2=23, 3 +3=34， 请你将猜想到的规律用自然数 n(n1)表示出来 考点： 考点：列代数式的运用 评析： 评析：该题是通过观察寻找规律，用代数式表示所得规律的问题，这是近年中考命题的热点 问题，目的是考查学生观察分析及探究的能力通过观察分析，该题的左边是一自然数的平方加 上这个自然数，右边是这个自然数与下一个自然数的积，所以其规律用自然数 n(n1)来表示应 为：n2+n=n(n+1) 4 (北京东城
32、区)第二十届电视剧飞天奖今年有 a 部作品参赛， 比去年增加了 40%还多 2 部 设 去年参赛的作品有 b 部，则 b 是：( )2 2 2A、 考点：列代数式 考点：B、a(1+40%)+2C、D、a(1+40%)-2评析： 评析：因为去年的作品是 b 部，增加 40%后的作品为 b(1+40%)，而今年又比去年增加后的作品多 2 部，所以今年的作品为 a=b(1+40%)+2，所以去年的作品应选 C17选项 A 是把多的 2 部当作了去年增加后比今年多 2 部，选项 B、D 是把 a 当作 b 去理解了，所以都是错误的真题专练: 真题专练: 1(吉林省)有一棵树苗，刚栽下去时，树高 21
33、 米，以后每年长 03 米，则 n 年后的树 高为( )米2(黑龙江省哈尔滨市)“买单价 c 元的球拍 n 个, 付出 450 元，应找多少钱？”用代数式 表示为： 3(湖南长沙)用代数式表示：x 的 2 倍加上 34(安徽省)如图是 2002 年 6 月份的日历，现用一矩形在日历中任意框出 4 个数请用一个等式表示 a、b、c、d 之间的关系： ，5(云南省)a 的 2 倍与 b 的差，用代数式表示是 6( 镇江市)用代数式表示“比 a 的平方的 2 倍小 1 的数”为( A、2a -12 )B、(2a) -12C、2(a-1)2D、(2a-1)27( 广西壮族自治区)某种品牌的彩电降价 3
34、0%以后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台 的原价是( )A、07a 元B、03a 元C、元D、元188( 福州市)随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低 m 元后又降 20%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为( )A、(n+m)元B、(n+m)元C、(5 m + n)元D、(5n +m)元答案： 答案： 1、0.3n+2.1 5、2a-b 2、(450-nc)元 6、 3、2x+3 7、D 4、a+d=b+c 或 b-a=d-c 或 d-b=c-a 8、B代数初步知识（ 代数初步知识（二）一、教学目标： 教学目标： 1.能把用文字叙述的简单的数量关系列成
35、代数式 2.能用文字语言叙述简单的代数式（运算一般不超过三次）所表示的数学关系 3.能用正确的格式书写代数式 4、能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值。 5、能利用公式解决简单的实际问题。 6、学会观察已知的数据，探索已知数据之间的数量关系，提高分析问题、解决问题的能力。 7、会解简易方程。 8、会利用简易方程解决实际问题。二、教学要求 教学要求： 教学要求 1.会列出代数式表示简单的数量关系192.通过基本数量关系的语言表述与代数式表示之间的互化， 运用公式解决比较简单的实际问 题，培养分析问题解决问题的能力。 3代数式的值 代数式的值是由字母所取的值确定的， 当代数式中的字母每取
36、一个值时， 代数式就表示一个 确定的（数）值。因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值， 可进一步理解代数式的意义和作用。三、重点难点 1、学会求代数式的值，正确地把数值代入代数式中。 2、利用分式解决简单的实际问题，逐步学会通过观察、分析，归纳出反映已知数据之间的 数量关系的公式。通过分析正确地推出反映已知数量关系的公式。四、例题分析第一阶段1.说出下列代数式的意义： 例 1.（1）2a+5b（2）2(a-3)（3）（4）（5）a +b22（6）(a-b)2探索指南： 探索指南 把上述代数式翻译成文字叙述形式， 来正确地理解代数式的意义可以按照运算顺序去译成文 字
37、。标准答案： 标准答案 （1）2a+5b 意义是 2a 与 5b 的和20（2）2(a-3)意义是 2 与(a-3)的积（3）a- 意义是 a 减去 的差 （4）2意义是 x 除以 2y 的商2（5）a +b 意义是 a , b 的平方和 （6）(a-b) 意义是 a 与 b 差的平方2解答说明： 解答说明 说出代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而又不引起错误为出发点，如第（1） 题也可以说成 a 的 2 倍与 b 的 5 倍的和，第（4）题可以说成 x 比 2y2.列代数式，设甲数为 x，用代数式表示乙数 例 2. （1）乙数比甲数大 5 （2）乙数比甲数的 3 倍小 2 （3）乙数
38、比甲数小 10% （4）乙数比甲数的倒数大 9探索指南： 探索指南 题中已知甲数为 x，用字母表示甲数，通过乙数与甲数的运算关系采用代数式表示乙数。标准答案： 标准答案（1）x+5 （2）3x-2（3）(1-10%)x（4）+9解答说明： 解答说明 用含有数， 字母和运算符号的式子表示出来， 列代数式的实质所在列代数式时要注意题中的21“大”,“小” ， “倍” ， “倒数”等与代数式中的加，减，乘，除的运算之间的关系，如第（4）题不能写成。3.用代数式表示 例 3. （1）比 a 的 2 倍大 3 的数（2）比 b 的小 1 的数（3）比 a 的 2 倍小 2 的数的平方（4）比 a 的大
39、2 的数与比 b 的 2 倍小 1 的数的商（5）被 3 整除得 n 的数 （6）被 5 除商 m 余 2 的数探索指南： 探索指南： 上述题中可以设这个数为 x，然后按照题目中运算顺序来写，但（5） （6）是从整除的意义 出发，还要考虑逆运算问题。标准答案： 标准答案：（1）2a+3（2）b-1 （3）(2a-2) （4）2（5）3n （6）5m+2解答说明： 解答说明 语言与代数式的互译核心问题在于用字母， 用代数式来表示一句话， 把这句话翻译成数学语 言，这样可以达到使字母与文字互译的目的，便于理解代数式与文字之间的互译关系。22例 4求下列代数式的值：(1) a 解法： 解法2+2 其
40、中 a=4, b=12；(2)其中 a=, b=(1)当 a=4, b=12 时, a -2+2=4 -2+2 =16-3+2=15(2)当 a=，b=时，=点评： 点评：（1）求代数式的值的解题步骤是：指出代数式中的字母所取的值； 抄写原代数式； 把字母的值代入代数式中； 按规定的运算顺序进行计算。（2） 代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义。 （1）题中的 a 不能取 0，因为当 a 取 0时，的分母为零，代数式无意义。 （2）题中 a+b 不能为 0。 （3）求代数式的值要注意三点：一是正确代入，二是
41、准确进行运算，三是注意书写格式。例 5、按下列条件求代数式(a+b)(a -ab+b )与 a +b 的值，并根据计算的结果写出你发现的 结论。 (1) a=3, b=22233(2)23思路分析： 思路分析： 首先将两组不同的字母取值代替两式中相应的字母，分别计算出结果，再比较计算的结果， 发现相应的结论。解： （1）当 a=3, b=2 时 (a+b)(a -ab+b )=（3+2） （3 -32+2 ） =5（9-6+4）=57=35 a +b =3 +2 =27+8=353 3 3 3 2 2 2 2（2）当 (a+b)(a -ab+b )2 2时，比较（1） 、 （2）计算的结果，不
42、难发现：(a+b)(a -ab+b )=a +b2233例 6、如图，梯形 ABCD 中，上底 AD=b，下底 BC=a，高 AE=h，梯形的面积为 S。24（1）若 a=6，b=4，h=3，则 S=. （2）若 S=15，b=4，h=3，则 a=. （3）若 SABC=9,a=6,b=4,则 S=.思路分析: 思路分析:第(1)题只需将已知字母(量)的值对应代入梯形面积公式进行代数式求值的运算即可解决;第(2)题要熟练地对公式进行变形,即由得到,再代入已知量进行计算,亦可先代入已知量再求 a;第(3)题要利用三角形的面积公式,先求三角形 ABC 的 BC 边上的高 AE,此即为梯形 ABCD
43、 的高 h 再计算 S. 答案(1)15 答案 (2) 6 (3)15例 7、当时,求代数式的值.分析: 分析:将已知带分数化成假分数再代入.解: 当时,25注意: 注意:分数代入平方后要加括号.第二阶段3公式用字母表示数的一类重要应用就是公式，在小学同学们已经学过许多公式，在解决实际问题时，都要 用到有关公式。在学习该节内容时，同学们要自己整理一下已学过的公式，以便准确的进行运用。 例 1某商店进了一批货，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其数量 x 与售价 C 如下表：数量 x（千克） 1 2 3 4 5售价 C（元） 5+0.3 10+0.6 15+0.9 20+1.2 25+1.5
44、（1）写出用数量 x 表示售价 C 的公式；（2）计算 10 千克货的售价。 分析与解法 分析 解法： 解法 （1）从售价栏内可以看出，售价是由进货的价钱和利润两部分组成。数量 1 千克的售价为(5+0.3)元， 数量 2 千克售价为(10+0.6)元=(5+0.3)2 元， 数量 3 千克售价为(5+0.3)3 元 依此类推可归纳为当数量为 x 千克时，售价为(5+0.3)x 元26数量 x 表示售价 C 的公式为：C=(5+0.3)x （2）当出售 10 千克时（即 x=10 时）售价 C 的值为 C=(5+0.3)10=53（元） 。 例 23 个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都
45、与其它所有的队各赛一场） ，总的 比赛场数是多少？4 个球队？5 个球队呢？写出 m 个球队进行单循环比赛时总的比赛场数 n 的公 式（课本第 23 页习题 1.4B 第 3 题）分析与解法 分析 解法： 解法 （1）3 个球队的情况： 每一个球队都要和其余的两个队即（3-1）个队比赛，所以共有 3（3-1）=6 场比赛，但这 6场比赛中，既有甲队对乙队的也有乙队对甲队的，因此有重复的，所以实际上要进行的比赛场数应该再除以 2 才对。3 个球队总的比赛场数为：n=（2）4 个球队的情况：=3（场）每一个球队都要和其余的三个队即（4-1）个队比赛，因此共有 4（4-1）场比赛，除去重复的，所以实
46、际比赛的数为 n=（3）5 个球队的情况=6（场）每一个球队都要和其余的四个队即（5-1）个队比赛，因此共有 5（5+1）场比赛，除去重复的，所以实际比赛场数为：n=（4）m 个球队的情况=10（场）每一个球都要和其余的队即(m-1)个队比赛，因此共有 m(m-1)场比赛，除去重复的所以实际比赛的场数n=（场）对于 m 个球队的情况，完全可以按上面的方法推出结果，事实上，只要用字母 m 去代替前面27的数字（3，4，5）就可以了。 此题提供了一种推导公式的方法，这是一种从特殊到一般的方法。4简易方程这部分知识同学们在小学都已学过，不再作详细指导。 解简易方程的新方法是从初中代数的角度来解的，新
47、方法采用的两点就是课本第 27 页讲的两点，请仔细阅读。注意第二点中的适当的数不能包括零。例 3列方程解应用题：甲乙两人在 400 米环形跑道上练长跑，同时从同一起点出发，甲速度为 6 米/秒，乙速度为 4 米/秒，乙跑几圈后甲可超过乙一圈？分析： 分析：设乙跑 x 圈后甲可超过乙一圈。（1）乙跑 x 圈就是跑了 400x 米，所用时间为 （2）这段时间内甲跑了 6（秒）（米）（3）甲超过乙一圈即在这段时间内甲比乙多跑 400 米，由此作为等量关系列出方程为：6-400x=400 解方程时可先将方程两边同除以 400 后再计算简便。解得 x=2（圈）列方程解应用题的一般步骤： 列方程解应用题的
48、一般步骤 （1）设未知数：题中只有一个未知数用字母 x 表示； （2）列方程：根据题中给出的条件，寻求包含所设未知数 x 在内的等量关系，写成含有未知数 x 的等式；（3）解方程求得 x 的值 （4）把 x 的值代回原方程进行检验 （5）写答案。28例 4、填空 填空(1)已知 (1)则(2)若 (2)则思路分析 (1)中代数式里有三个字母,但只给两个条件,不能用常规方法代入求值,此时可结合已知,将三个字母中的一个“y”作为已知量,可得 x=2y, z=6y,再将其代入(2)中亦要打破常规方法,此时需观察待求式与已知式之间关系,发现可变形为故可将已知整体代入为:这种方法就是求代数式的值常用的整
49、体代入法.答案(1) 2 答案(2)例 5、平面上有 n 个点,其中任意三个点都不在同一条直线上,过其中两点画直线,所画直线 条数 m 与点的个数 n 之间关系如下表: (1)写出用 n 表示 m 的公式; (1) (2)计算当平面上有 20 个点时,所画直线的条数. (2)点的个数 n 2画直线条数 m293 4 5 思路分析: 思路分析: 表格也是反映数量关系的一种方法,将表格中的特例数量关系抽象为一般形式并用公式表示 时,要仔细观察.此题中,右栏的每一个算式均由两部分构成,第一部分与左栏 n 的值之间关系为:第二部分为 n,故找到 m 与 n 之间的关系式为:.解 (1)用 n 表示 m 的公式为: (2)当 n=20 时,某企业生产一批电视机,每天生产 m 台,计划生产 a 天,为适应市场需求,需提前 3 天完 例 6、 成,用代数式表示
