1、九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 71抛物线与存在性 -7一、解答题（共 30 小题）1、 （ 2009铁岭）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC ，BCx 轴于点 C、A（1，1 ） 、B（3，1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ垂直于直线 OA，垂足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（0t4 ） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S（1 ）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2 ）求 S 与 t 的函数关系式；（3 ）将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90，是否存在 t，使得OPQ 的顶
2、点 O 或 Q 在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由2、 （ 2009天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OB=OC，tanACO= （1 ）求这个二次函数的表达式（2 ）经过 C、 D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3 ）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两
3、点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4 ）如图，若点 G（2，y ）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时， APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 723、 （ 2009乌鲁木齐）如图，在矩形 OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为 A（4，0 ） 、C（ 0，2） ，D 为 OA 的中点设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合） （1 ）试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等；（2 ）当点 P 运动到与点 B 的距离最小
4、时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式；（3 ）设点 E 是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和 PDE 的周长；（4 ）设点 N 是矩形 OABC 的对称中心，是否存在点 P，使CPN=90？若存在，请直接写出点P 的坐标4、 （ 2009宜宾）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 轴的正半轴上，BCOA，OC=ABtanBA0= ，点 B 的坐标为（7，4 ） （1 ）求点 A、C 的坐标；（2 ）求经过点 0、B 、C 的抛物线的解析式；（3 ）在第一象限内（2）中的抛物线上是
5、否存在一点 P，使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由5、 （ 2009烟台）如图，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点（2，3a ） ，对称轴是直线 x=1，顶点是 M（1 ）求抛物线对应的函数表达式；（2 ）经过 C， M 两点作直线与 x 轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）设直线 y=x+3 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD
6、上任取一点 E（不与 B，D 重合） ，经过A，B ，E 三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断AEF 的形状，并说明理由；（4 ）当 E 是直线 y=x+3 上任意一点时， （3）中的结论是否成立（请直接写出结论） 九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 736、 （ 2009湘潭）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，OA=3，OC=4，P 为直线AB 上一动点，将直线 OP 绕点 P 逆时针方向旋转 90交直线 BC 于点 Q（1 ）当点 P 在线段 AB 上运动（不与 A，B 重合）时，求证：OABQ=APBP；（2 ）在（1 ）成立的条件下，设点 P 的横坐标为 m，线
7、段 CQ 的长度为 l，求出 l 关于 m 的函数解析式，并判断 l 是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3 ）直线 AB 上是否存在点 P，使POQ 为等腰三角形，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由7、 （ 2009枣庄）如图，抛物线的顶点为 A（2 ，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为B（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）在抛物线上求点 M，使 MOB 的面积是AOB 面积的 3 倍；（3 ）连接 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使OBN 与OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由8、 （ 200
8、9营口）如图，正方形 ABCO 的边长为 ，以 O 为原点建立平面直角坐标系，点 A在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，把正方形 ABCO 绕点 O 顺时针旋转 后得到正方形 A1B1C1O（45） ，B 1C1 交 y 轴于点 D，且 D 为 B1C1 的中点，抛物线 y=ax2+bx+c 过点A1、 B1、C 1（1 ）求 tan的值；九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 74（2 ）求点 A1 的坐标，并直接写出点 B1、点 C1 的坐标；（3 ）求抛物线的函数表达式及其对称轴；（4 ）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PB 1C1 为直角三角形？若存在，直接写出所有
9、满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由9、 （ 2009益阳）阅读材料：如图 1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的 “水平宽”（a ） ，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高（h） ”我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点 C（1 ，4） ，交 x 轴于点 A（3 ，0） ，交 y 轴于点 B（1 ）求抛物线和直线 AB 的解析式；（2 ）点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接 PA，PB，当 P
10、点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB；（3 ）是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由10、 （ 2009张家界）在平面直角坐标系中，已知 A（4， 0） ，B（1，0） ，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C（0 ， 2） ，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D（1 ）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2 ）求点 D 的坐标；（3 ）设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由九年级数学
11、中考复习-抛物线与存在性问题 7511、 （ 2009湛江）已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA 所在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P 是 OA 边上的动点（与点 O、A 不重合） ，现将POC 沿 PC翻折得到PEC，再在 AB 边上选取适当的点 D，将PAD 沿 PD 翻折，得到PFD，使得直线PE、 PF 重合（1 ）若点 E 落在 BC 边上，如图，求点 P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2 ）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设 OP=x，AD=y，当 x 为何值时，y 取得最大值？（3 ）在（1 ）的
12、情况下，过点 P、C 、D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使PDQ 是以 PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标12、 （ 2009资阳）如图，已知抛物线 y= x22x+1 的顶点为 P，A 为抛物线与 y 轴的交点，过A 与 y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为 B，与抛物线对称轴交于点 O，过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C，连接 O C，将ACO沿 OC 翻折后，点 A 落在点 D 的位置（1 ）求直线 l 的函数解析式；（2 ）求点 D 的坐标；（3 ）抛物线上是否存在点 Q，使得 SDQC =SDPB ？若存在，求出所有符合条件的点
13、 Q 的坐标；若不存在，请说明理由九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 7613、 （ 2009重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1 ）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2 ）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么EF=2GO 是否成立
14、？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3 ）对于（2 ）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB的交点 P 与点 C、G 构成的PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由14、 （ 2010包头）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，0） ，B（2 ，0） ，C（ 0， 2） ，直线 x=m（m 2）与 x 轴交于点 D（1 ）求二次函数的解析式；（2 ）在直线 x=m（m2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E
15、点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3 ）在（2 ）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由15、 （ 2010百色）已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象过 A（0， 1） 、B（1，0）两点，直线l：x=2 与抛物线相交于点 C，抛物线上一点 M 从 B 点出发，沿抛物线向左侧运动直线 MA分别交对称轴和直线 l 于 D、P 两点设直线 PA 为 y=kx+m用 S 表示以 P、B、C、D 为顶点的九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 77多边形的面积（1 ）求抛物线的解析式，并
16、用 k 表示 P、D 两点的坐标；（2 ）当 0k1 时，求 S 与 k 之间的关系式；（3 ）当 k0 时，求 S 与 k 之间的关系式是否存在 k 的值，使得以 P、B、C、D 为顶点的多边形为平行四边形若存在，求此时 k 的值若不存在，请说明理由；（4 ）若规定 k=0 时，y=m 是一条过点（ 0，m）且平行于 x 轴的直线当 k1时，请在下面给出的直角坐标系中画出 S 与 k 之间的函数图象求 S 的最小值，并说明此时对应的以P、B、 C、D 为顶点的多边形的形状16、 （ 2010巴中）如图，已知ABC 中，ACB=90，以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为y 轴建立平
17、面直角坐标系此时，A 点坐标为（1 ，0） ，B 点坐标为（4，0）（1 ）试求点 C 的坐标；（2 ）若抛物线 y=ax2+bx+c 过ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式；（3 ）点 D（1， m）在抛物线上，过点 A 的直线 y=x1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由17、 （ 2010本溪）如图， OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=5 ，OC=3 （1 ）在 AB 边上
18、取一点 D，将纸片沿 OD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，求点 D，E 的坐标；（2 ）若过点 D，E 的抛物线与 x 轴相交于点 F（5 ，0） ，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3 ）若（2 ）中的抛物线与 y 轴交于点 H，在抛物线上是否存在点 P，使PFH 的内心在坐标轴上？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由（4 ）若（2 ）中的抛物线与 y 轴相交于点 H，点 Q 在线段 OD 上移动，作直线 HQ，当点 Q 移动到什么位置时，O，D 两点到直线 HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点 Q 的坐标及直线HQ 的解析式九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题
19、 7818、 （ 2010赤峰）已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 A（3，3） ，与 x 轴的一个交点为B（1，0） （1 ）求抛物线的解析式（2 ） P 是 y 轴上一个动点，求使 P 到 A、B 两点的距离之和最小的点 P0 的坐标（3 ）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 C在抛物线上是否存在点 M，使得MBC 的面积等于以点 A、P 0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由19、 （ 2010成都）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧）
20、，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（3， 0） ，若将经过 A、C 两点的直线y=kx+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 x=2（1 ）求直线 AC 及抛物线的函数表达式；（2 ）如果 P 是线段 AC 上一点，设ABP、BPC 的面积分别为 SABP 、S BPC ，且 SABP ：S BPC=2： 3，求点 P 的坐标；（3 ）设Q 的半径为 1，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q 的半径为r，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时，Q
21、与两坐轴同时相切九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 7920、 （ 2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H 的坐标为（8，0 ） ，点 N 的坐标为（6，4） （1 ）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C 的坐标（点 M的对应点为 A，点 N 的对应点为 B，点 H 的对应点为 C） ；（2 ）求出过 A，B，C 三点的抛物线的表达式；（3 ）截取 CE=OF=AD=m，且 E，F ，D 分别在线段 CO，OA，AB 上，求四边形 BEFD 的面积 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积
22、S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4 ）在（3 ）的情况下，四边形 BEFD 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时 m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由21、 （ 2010大田县）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 B（2，0 ）和点 C（0，8） ，且它的对称轴是直线 x=2（1 ）求抛物线与 x 轴的另一交点 A 的坐标；（2 ）求此抛物线的解析式；（3 ）连接 AC，BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A，点 B）不重合，过点 E 作EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面
23、积为 S，求 S 与 m 之间的函数关九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 710系式；（4 ）在（3 ）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE 的形状，若不存在，请说明理由22、 （ 2010达州）如图所示，对称轴为 x=3 的抛物线 y=ax2+2x 与 x 轴相交于点 B，O（1 ）求抛物线的解析式，并求出顶点 A 的坐标；（2 ）连接 AB，把 AB 所在的直线平移，使它经过原点 O，得到直线 l点 P 是 l 上一动点设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形面积为 S，点 P 的横坐标为 t，当 0S18 时，求 t
24、的取值范围；（3 ）在（2 ）的条件下，当 t 取最大值时，抛物线上是否存在点 Q，使OPQ 为直角三角形且OP 为直角边若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由23、 （ 2010鄂尔多斯）如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OA=15，OC=9 ，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作 N 点（1 ）求 N 点、M 点的坐标；（2 ）将抛物线 y=x236 向右平移 a（0a10）个单位后，得到抛物线 l，l 经过点 N，求抛物线 l 的解析式；（3 ） 抛
25、物线 l 的对称轴上存在点 P，使得 P 点到 M、N 两点的距离之差最大，求 P 点的坐标若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与 O、C 重合） ，过点 D 作 DEOA 交 CN 于 E，设 CD 的长为 m，PDE 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由24、 （ 2010定西）如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0 ） 、 B（3，0）两点，与 y 轴交于点九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 711C（ 0， 3） ，设抛物线的顶点为 D（1 ）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标；（2 ）以 B、
26、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3 ）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由25、 （ 2010抚顺）如图所示，平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（0 ，4） 、B（2，0） 、C（6，0） 过点 A 作 ADx 轴交抛物线于点 D，过点 D 作 DEx 轴，垂足为点E点 M 是四边形 OADE 的对角线的交点，点 F 在 y 轴负半轴上，且 F（0，2 ） （1 ）求抛物线的解析式，并直接写出四边形 OADE 的形状；（2 ）当点
27、 P、Q 从 C、F 两点同时出发，均以每秒 1 个长度单位的速度沿 CB、FA 方向运动，点 P 运动到 O 时 P、Q 两点同时停止运动设运动的时间为 t 秒，在运动过程中，以P、Q、O 、M 四点为顶点的四边形的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3 ）在抛物线上是否存在点 N，使以 B、C、F 、N 为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点 N 的坐标；不存在，说明理由26、 （ 2010福州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 y=2x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA=5若抛物线 过点 O、A 两点（1 ）求该抛物线的
28、解析式；（2 ）若 A 点关于直线 y=2x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3 ）如图 2，在（2 ）的条件下，O 1 是以 BC 为直径的圆过原点 O 作 O1 的切线 OP，P 为切点（P 与点 C 不重合） ，抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切？若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 71227、 （ 2010恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3 ，0） ，与 y 轴交于 C（0 ，
29、3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1 ）求这个二次函数的表达式（2 ）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3 ）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积28、 （ 2010海南）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C；抛物线 y=x 2+bx+c 经过 B、C 两点，并与 x 轴交于另一点 A（1 ）求该抛物线所对应的函数关系式；（
30、2 ）设 P（x，y）是（1 ）所得抛物线上的一个动点，过点 P 作直线 lx 轴于点 M，交直线BC 于点 N若点 P 在第一象限内试问：线段 PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 x 的值；若不存在，请说明理由；求以 BC 为底边的等腰BPC 的面积29、 （ 2010广安）如图，直线 y=x 1 与抛物线 y=ax2+bx4 都经过点 A（1 ，0） 、C（ 3， 4） （1 ）求抛物线的解析式；（2 ）动点 P 在线段 AC 上，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 E，求线段 PE 长度的最大九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 713值；（3 ）当线段
31、PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点 Q，使PCQ 是以 PC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在请说明理由30、 （ 2010怀化）下图是二次函数 y=（x+m ） 2+k 的图象，其顶点坐标为 M（1 ，4） （1 ）求出图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标；（2 ）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y=x+b；（b1）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围九年级数
32、学中考复习-抛物线与存在性问题 714答案与评分标准一、解答题（共 30 小题）1、 （ 2009铁岭）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC ，BCx 轴于点 C、A（1，1 ） 、B（3，1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ垂直于直线 OA，垂足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（0t4 ） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S（1 ）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2 ）求 S 与 t 的函数关系式；（3 ）将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90，是否存在 t，使得OPQ 的顶点 O 或
33、Q 在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题；动点型。分析：（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式（2 ）求出 S 的面积，根据 t 的取值不同分三种情况讨论 S 与 t 的函数关系式（3 ）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在解答：解：（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为 y=ax2+bx（ a0） 把 A（1，1 ） ，B（3，1）代入上式得：（1 分），九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 715解得 （3 分）所求抛物线解析式为 y= x2+ x （4 分）方法二：A（
34、1 ，1） ，B（3，1） ，抛物线的对称轴是直线 x=2设抛物线解析式为 y=a（x2） 2+h（a0 ） （1 分）把 O（0，0 ） ，A（1，1 ）代入得 ，解得 ， （3 分）所求抛物线解析式为 y= （x2） 2+ x （4 分）（2 ）分三种情况：S= t2，BM=BN=1 （t3）=4t当 0t2，重叠部分的面积是 SOPQ ，过点 A 作 AFx 轴于点 F，A（1，1 ） ，在 RtOAF 中，AF=OF=1， AOF=45，在 RtOPQ 中，OP=t ，OPQ=QOP=45，PQ=OQ=tcos 45= t （6 分）当 2t3，设 PQ 交 AB 于点 G，作 GHx
35、 轴于点 H， OPQ=QOP=45 ，则四边形 OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是 S 梯形 OAGPAG=FH=t2，S= （AG+OP）AF= （t+t2）1=t 1 （8 分）当 3t 4，设 PQ 与 AB 交于点 M，交 BC 于点 N，重叠部分的面积是 S 五边形 OAMNC因为PNC 和 BMN 都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是 S 五边形 OAMNC=S 梯形 OABCS BMN B（3，1） ，OP=t，九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 716PC=CN=t3，S= （2+3 ）1 （4 t）2S= t2+4t （10 分）（3 ）存在 t1=1（12 分
36、）t2=2 （14 分）点评：本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，难度较大2、 （ 2009天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OB=OC，tanACO= （1 ）求这个二次函数的表达式（2 ）经过 C、 D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3 ）若平行于
37、x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4 ）如图，若点 G（2，y ）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时， APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出 A、B、C 三点坐标已知 B 点坐标，且 OB=OC，九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 717可知 C（0 ，3） ，tanACO= ，则 A 坐标为（1，0 ） 将 A，B，C 三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式（2 ）假设
38、存在这样的点 F（m，n） ，已知抛物线关系式，求出顶点 D 坐标，今儿求出直线CD，E 是直线与 x 轴交点，可得 E 点坐标四边形 AECF 为平行四边形，则 CEAF，则两直线斜率相等，可列等式（1） ，CE=AF，可列等式（2 ） ，F 在抛物线上，为等式（3） ，根据这三个等式，即可求出 m、n 是否存在（3 ）分情况讨论，当圆在 x 轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为 r，则 N 的坐标为（r+1，r） ，将其代入抛物线解析式，可求出 r 的值当圆在 x 轴的下方时，方法同上，只是 N 的坐标变为（r+1，r） ，代入抛物线解析式即可求解（4 ） G 在
39、抛物线上，代入解析式求出 G 点坐标，设点 P 的坐标为（x，y ） ，即（x，x 22x 3）已知点 A、 G 坐标，可求出线段 AG 的长度，以及直线 AG 的解析式，再根据点到直线的距离求出 P 到直线的距离，即为三角形 AGP 的高，从而用 x 表示出三角形的面积，然后求当面积最大时 x 的值解答：解：（1）方法一：由已知得： C（0 ，3） ，A（1，0） （1 分）将 A、B、C 三点的坐标代入得 （2 分）解得： （3 分）所以这个二次函数的表达式为：y=x 22x 3（3 分）方法二：由已知得：C（0， 3） ，A（1，0） （1 分）设该表达式为：y=a（x+1） （x3）
40、（2 分）将 C 点的坐标代入得：a=1（3 分）所以这个二次函数的表达式为：y=x 22x 3（3 分）（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2 ）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3 ） （4 分）理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：y=x3E 点的坐标为（3，0 ） （4 分）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AE=CF=2，AECF以 A、C、E、 F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（ 2，3） （5 分）方法二：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：y=x3E 点的坐标为（3，0 ） （4 分）以 A、C、E、 F 为顶点
41、的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2 ，3）或（2 ，3）或（4，3 ）代入抛物线的表达式检验，只有（2，3 ）符合存在点 F，坐标为（ 2，3） （5 分）九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 718（3 ）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R 0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得 （6 分）当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r 0） ，则 N（r+1 ， r） ，代入抛物线的表达式，解得 （7 分）圆的半径为 或 （7 分）（4 ）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为 y=x 1
42、 （8 分）设 P（x，x 22x3） ，则 Q（x，x1 ） ，PQ=x 2+x+2S APG =SAPQ +SGPQ = （x 2+x+2）3 （9 分）当 x= 时，APG 的面积最大此时 P 点的坐标为（ ， ） ，S APG 的最大值为 （10 分）点评：此题考查二次函数与 x 轴，y 轴坐标求法，顶点坐标公式，二次函数图象与平行四边形，圆相结合，重点考查了平行四边形，圆的性质特征3、 （ 2009乌鲁木齐）如图，在矩形 OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为 A（4，0 ） 、C（ 0，2） ，D 为 OA 的中点设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合） （
43、1 ）试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等；（2 ）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式；（3 ）设点 E 是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，PDE 的周长最小？求出九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 719此时点 P 的坐标和 PDE 的周长；（4 ）设点 N 是矩形 OABC 的对称中心，是否存在点 P，使CPN=90？若存在，请直接写出点P 的坐标考点：二次函数综合题。专题：动点型；开放型。分析：本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题（1 ）通过POCPOD 而证得
44、PC=PD（2 ）首先要确定 P 点的位置，再求出 P、F 两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；（3 ）此问首先利用对称性确定出 P 点位置是 EC 与AOC 的平分线的交点，再利用抛物线与直线 CE 的解析式求出交点 P 的坐标进而求的PED 的周长；（4 ）要使CPN=90，则 P 点是以 O 为圆心 OC 长为半径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出 P 点的坐标解答：解：（1 ） 点 D 是 OA 的中点，OD=2 ，OD=OC又OP 是COD 的角平分线，POC=POD=45 ，POCPOD，PC=PD（2 ）过点 B 作 AOC 的平分线的垂线，垂足为 P，点 P 即为所求易
45、知点 F 的坐标为（ 2，2） ，故 BF=2，作 PMBF，PBF 是等腰直角三角形，PM= BF=1，点 P 的坐标为（ 3，3） 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx又抛物线经过点 P（3，3）和点 D（2，0 ） ，有解得九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 720抛物线的解析式为 y=x22x；（3 ）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于AOC 的平分线的对称点即为 C 点连接 EC，它与AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点（因为 PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时PED 的周长最小抛物线 y=x22x 的顶点 E 的坐标（1，1） ，C 点的坐标（
46、0，2） ，设 CE 所在直线的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 CE 所在直线的解析式为 y=3x+2点 P 满足 ，解得 ，故点 P 的坐标为 PED 的周长即是 CE+DE= + ；（4 ）存在点 P，使CPN=90 度其坐标是 或（2，2） 点评：函数与四边形或三角形的综合考查，是近几年中考的一个热点问题对于这类问题，通常需要学生熟悉掌握多边形与函数的概念与性质及两者之间的联系4、 （ 2009宜宾）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 轴的正半轴上，BCOA，OC=ABtanBA0= ，点 B 的坐标为（7，4 ） （1 ）求点 A、C
47、的坐标；（2 ）求经过点 0、B 、C 的抛物线的解析式；（3 ）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点 P，使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平行九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题 721的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）本题可通过构建直角三角形来求解，过 C 作 CDOA 于 D，过 B 作 BEOA 于 E，在直角三角形 OCD 和 ABE 中，可根据 B 点的纵坐标即 CD，BE 的长和两底角的正切值求出AE，OD 的长，即可求出 C、A 的坐标（2 ）根据已知的三点坐标即可用待
48、定系数法求出抛物线的解析式（3 ）应该有两个符合条件的 P 点，以过 P 且平行于 AB 的直线为例说明：可设过 P 且平行于等腰梯形一腰 AB 的直线与 BC、OA 的交点为 M、N，那么平行四边形 MBAN 的面积就是梯形面积的一半，据此可求出 BM，AN 的长，即可求出 BM、 AN 的长，即可求出 M、N 的坐标也就求出了直线 MN 的解析式和抛物线的解析式即可求出 P 点的坐标，根据抛物线和等腰梯形的对称性，求出的 P 点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意解答：解：（1 ）过 C 作 CDOA 于 D，过 B 作 BEOA 于 E，在直角三角形 ABE 中，BE=4，tanBAE= ，AE=3 ，同理可求得 OD=3因此 C（3 ，4） ，A （10，0） （2 ）设抛物线的解析式为 y=ax2+b
