1、2.3离散型随机变量的均值和方差,高二数学 选修2-3,一、复习回顾,1、离散型随机变量的分布列,2、离散型随机变量分布列的性质：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,二、互动探索,1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1
2、，1，1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？,（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列,权数,加权平均,1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,E=7.5,则a= b= .,0.
3、4,0.1,则 P(Y)=P(aX+b)=P(X= xi)=pi , i=1,2,3,(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn,若Y=aX+b，其中a, b为常数，X为随机变量;,(1)写出随机变量Y的分布列；,(2)求Y的均值。,解:(1)由题意,知Y也为随机变量,所以，Y的分布列为：,=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+pn),=aE(X)+b,即 E(aX+b)= aE(X)+b,例1 篮球比赛中,罚球命中一次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?,解:,于是有若X服从二点分布，,一
4、般地，如果随机变量X服从二点分布，那么,E(X)=1p + 0(1-p)=p,则E(X) = p.,若X B(n, p),若X服从二项分布，则 E(X)= nP。,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：,、确定离散型随机变量可能的取值。,、写出分布列，并检查分布列的正确与否。,、求出均值(期望)。,1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：,从以数据你能否说明谁的射击水平高？,解,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，,2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你
5、是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,3、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是
6、和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1: 运走设备,搬运费3 800元;方案2: 建保护围墙,建
7、设费为2 000元.但围墙只能防小洪水.方案3: 不采取措施.试比较哪一种方案好?,解:用X1, X2和X3分别表示三种方案的损失,采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元,即X1=3 800,采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;,没有大洪水时,损失2000元,即,于是,E(X2)=62000P(X2=62000)+2000P(X2=2000),E(X1)=3800,E(X3)=60000P(X3=60000)+10000P(X3=10000)+0P(X3=0),采用第3种方案, 有,方案3: 不采取措施.,=620000.01+2000(1-0.01
8、)=2600,=600000.01+100000.25=3100,显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2.,所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的,值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的,一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：,假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小,由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，,1口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则E值的是( ) A4 B4.5 C4.75 D5,3若随机变量B(n,0.6)，且E3，则P(1)的值是( ) A20.44 B20.45
9、 C30.44 D30.64,B,A,C,4已知X的概率分布如下，E(X)7.5，则a_.,7,5若随机变量X的分布列是P(xk) 0.1k0.94k，k0,1，2,3,4.则EX_.,0.4,离散型随机变量的均值的理解 (1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均 (2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均状态 (3)变量YaXb的均值 E(aXb)aE(X)b说明随机变量X的线性函数YaXb的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：,离散型随机变量的方差,三维目标: 1.通过实例理解离散型随机变量方差的
10、概念，能计算简单离散型随机变量的方差 2.理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项分布的方差 3.会利用离散型随机变量的方差 ，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题. 教学重难点 ： 重点：离散型随机变量方差的概念与计算方法 难点：离散型随机变量方差的性质及应用题 教学时间：2012年5月7日第十四周星期一,课题：离散型随机变量的方差,温故而知新,1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）,2、均值的性质,3、两种特殊分布的均值,（1）若随机变量X服从两点分布，则,（2）若 ，则,反映了离散型随机变量取值的平均水平.,发现两个均值相等,因此只根据均值不能区分这两名同学的射
11、击水平.,探究,（1）分别画出 的分布列图.,（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？,第二名同学的成绩更稳定.,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2 ,xn 中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,新课,离散型随机变量取值的方差和标准差:,定义,注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值,稳定性越大,练习,因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击 成绩稳定性较好，稳定于8环左右.,理解概念,可能取值的方差为,随机变量X的方差与X可能取值的
12、方差何时相等,?,可能取值的方差为, 随机变量的方差是常数, 样本的方差是随机变量; 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差,随着不同样本值的变化而变化,是一个常数,随着不同样本值的变化而变化，反映数据偏离平均数的平均程度，方差越小，偏离程度越小.,是一个常数，反映随变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，偏离程度越小.,1. 已知随机变量X的分布列,求DX.,解：,2. 若随机变量X 满足P（Xc）1，其中c为常数，求EX 和 DX.,EXc1c,DX（cc）210,练习,小结：,(1)若 X 服从两点分布，则,（2）若 ，则,解：
13、,结论1： 则 ;,结论2：若B(n，p)，则E= np.,可以证明, 对于方差有下面三个重要性质：,结论,结论2：若服从两点分布，则 E= np.,（2）若 X 服从两点分布，则,（3）若 ，则,例如：已知某离散型随机变量的分布列如下，则a_，数学均值(期望)E_，方差D_.2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX_. 3一般地：随机变量与随机变量满足关系ab，其中a，b为常数，则D_.,n6 p0.4,0.4,1,0.8,p(1p),a2D,4若B(n，p)，则D_. 例如：设B(n，p)，且E2.4，D1.44，求n，p.,np(1p),例题,例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向
14、上一面的点数X的均值、方差和标准差. 课本P66例4,解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为,从而,例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,比什么？,怎么比？,1 比均值,2 比方差,(1200-1400)20. 4 + (1400-1400 )20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400)20.1= 40 000,12000.4+14000.3+16000.2+18000.1=1400,E(X1)=,E(X2)=,10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400,D(X1)=,(100
15、0-1400)20. 4+(1400-1400)20.3 +(1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l=160000 .,D(X2)=,因为E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2)，,所以两家单位的工资均值相等，,但甲单位不同职位的工资相对集中， 乙单位不同职位的工资相对分散,这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位,1已知随机变量的分布列为：P(k) ，k1,2,3，则D(35)( ) A6 B9 C3 D4,2设B(n，p)，且E12，D4，则n与p的值分别为( ),A,C,4设随机变量XB(n，
16、p)，且EX1.6，DX1.28，则( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45,A,3.已知3 ，且D13，那么D的值为( ) A39 B117 C39 D117,解析：DD(3 )9D913117. 答案：B,5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.,题型四 期望与方差的综合应用 【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位
17、：万元）为. (1)求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.,解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)= =0.63,2 P(=2)= =0.25,3 P(=1)= =0.1,4 P(=-2)= 5 故的分布列为7,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 9 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01 =4.76-x(0x0.29).12 依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多为3%14,
