1、18.2 .2 菱形的判定,菱形,活动一 复习与回顾：,想一想： 1.菱形的定义？ 2.它比平行四边形多了哪些性质？,菱形的定义,有一组 的 叫做,邻边相等,平行四边形,A,D,C,B,四边形ABCD是平行四边形AB=BC 四边形ABCD是菱形,菱形,菱形的性质,边,角,对角线,对称性,菱形的两组对边平行且相等,几何语言,四边形ABCD是菱形,菱形的四条边相等, AB=BC=CD=DA,菱形的两组对角分别相等, DAB=DCBADC=ABC,菱形的邻角互补, DAB+ABC= 180,菱形的两条对角线互相平分, OA=OC;OB=OD,菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。,
2、ACBD 1=23=4 5=67=8,菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。,菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。,1,2,4,3,5,7,6,8,活动二 想一想,同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？,一组邻边相等的平行四边形是菱形.,根据定义得：,探究一,用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?,猜想：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,命题：对角线互相垂直的
3、平行四边形是菱形.,证明：, ABCD是菱形,又 AC BD;,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,BA=BC,O,定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,(一组邻边相等的平行四边形是菱形),判定方法2：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,在ABCD中，ACBD, ABCD是菱形,数学语言,应用新知,例1 如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、 BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6（1）AC、BD互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),OA=OC=4 OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分),
4、解：, AB=5,ACBD, AOB=,（2） 四边形ABCD是平行四边形,ACBD,（1） 四边形ABCD是平行四边形,AB2=OA2+OB2,(勾股定理的逆定理),例2. 已知：如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F 求证：四边形AFCE是菱形,10、已知：如图, ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形,EF垂直平分AC,AO=CO, AOE=90,FOC=AOE=90,四边形ABCD是平行四边形, ADBC AEFC,AEO=CFO,AEOCFO,证明：,OE=OF,又AO=CO,四边形AFCE是平
5、行四边形,又EFAC,四边形AFCE是菱形,例2. 已知：如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F 求证：四边形AFCE是菱形,已知：线段a，求作：一个菱形ABCD， 使AB=a，ABC=,B,C,A,D,作法：1.作 B =,2.在B的两边上分别截取 AB=BC=a，,3.分别以A、C为圆心，a长 为半径画弧，两弧交于点D， 连结AD、CD,四边形ABCD就是所作的菱形,这样作出的四边形ABCD真的是菱形吗？,你会证明吗？,你能否用一句话来概括？,四边相等的四边形是菱形,数学语言, AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形,命题：有四条边相等的四边形
6、是菱形。,已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形,证明：,AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,又AB=AD,四边形ABCD是菱形,四条边都相等的四边形是菱形.,在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形,判定方法3：,数学语言,命题：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形,2,如图，已知四边形ABCD中，对角线AC平分DCB和DAB，BD平分ADC和ABC，试证明四边形ABCD是菱形。,证明：在ABD 和 CBD中，5= 6， 7= 8， BD是公共边， ABD CBD. AD=DC, AB=BC. 同理 ADC ABC
7、. AD=AB,DC=BC. AB=BC=CD=AD. 四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）,每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.,判定方法4：,数学语言,AC平分BAD和 BCD,BD平分 ABC和ADC 四边形ABCD是菱形,菱形常用的判定方法：,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有四条边相等的四边形是菱形。,归纳：,老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有四条边相等的四边形是菱形。,活动四 学以致用,1.判断对错： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2
8、）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （ ） （3）对角线垂直的矩形是菱形。 （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 （ ）,轻松过关:,2、下列命题是假命题的是（ ） A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. C.四条边相等的四边形是菱形. D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形.,3、对角线垂直且互相平分的四边形是（） A.一般的四边形 B.平行四边形 C.矩形 D. 菱形,D,D,2.ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则ABCD是 形； （2）若AC=BD，则AB
9、CD是 形； （3）若ABC是直角，则ABCD是 形； （4）若BAO=DAO，则ABCD是 形。,菱,矩,矩,菱,3.下列命题中正确的是（ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形,C,4.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A.ACBD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且ACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBD,C,6 已知：如图，AD平分BAC，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F求证：EFAD；,大显身手,一个平行四边形的一条边长为9，
10、两条对角线长是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积。,请你动脑筋,把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？,A,C,D,B,活动五:,一组邻边相等,对角线互相垂直,四条边相等,六种判定方法,四边形,菱形的判定方法：,知识再现,小结：,菱形的证明方法,判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形,判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形,判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形,2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC,CE BD. 求证：四边形OCED是菱形,3.如图，ABC中，AC的
11、垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形,B,C,N,如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于D, CE平分ACB,交AD于G,交AB于E,EFBC 于F,四边形AEFG是菱形吗?,3 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，ACBDq，求菱形ABCD的面积（提示： 利用两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）,如图，RtABC中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。,如下图在ABC中，BAC90，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于C，EFBC于F，四边形AEFG是菱形吗?,2.如图，已知在ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF， 证明:CEDF.,习题巩固：,
