1、第六讲 数列( 等差数列与等比数列)北京十二中特级教师 刘文武清华附中特级教师 张小英 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列a n的第 n 项 an 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1，2，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义
2、、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。 等差数列a n的通项公式为：a n=a1+(n-1)d (1)前 n 项和公式为：(2) 从(1)式可以看出，an 是 n 的一次数函(d0)或常数函数(d=0)，(n ，an) 排在一条直线上，由(2)式知，Sn 是 n 的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为 0。 在等差数列an中，等差中项：，且任意两项 am，a n 的关系为：a n=am+(n-m)d它可以看作等差数
3、列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前 n 项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k 1,2,n 若 m，n，p，qN *，且 m+n=p+q，则有a m+an=ap+aqS m-1=(2n-1)an，S 2n+1=(2n+1)an+1S k，S 2k-Sk，S 3k-S2k，S nk-S(n-1)k或等差数列，等等。 二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示。 等比数列a n的通项公式是：a n=a1qn-1 前 n 项
4、和公式是：在等比数列中，等比中项：，且任意两项 am，a n 的关系为 an=amqn-m如果等比数列的公比 q 满足 0q 1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n 若 m，n，p，qN *，则有：a paq=aman，记 n=a1a2an，则有 2n-1=(an)2n-1， 2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂
5、Can，则C an是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)， “错位相减”( 等比数列) 。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前 n 项和。 三、 范例 例 1设 ap，a q，a m，a n 是等比数列a n中的第 p、q、m、n 项，若 p+q=m+n，求证：apoaq=amoan 证明：设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则a p=a1qp-1，a q=a1qq-1，a m=a1qm-1
6、，a n=a1qn-1所以：a paq=a12qp+q-2，a man=a12qm+n-2，故：a paq=am+an说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a 1+kan-k=a1an对于等差数列，同样有：在等差数列an中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a 1+k+an-k=a1+an例 2在等差数列a n中，a 4+a6+a8+a10+a12=120，则 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由 a4+a12=2a8，a 6+a10 =2a8 及已知或得
7、5a 8=120，a 8=24而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数列a n满足 a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a 1+a1010 B. a 2+a100 0 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a 1+a2+a3+a101故 a1+a101=0，从而 a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选 C 例 4设 Sn 为等差数列a n的前 n 项之各，S 9=18，a n-4=30(n9)，S n=336，则 n 为( ) A.16 B.21 C
8、.9 D8 解：由于 S9=9a5=18，故 a5=2，所以 a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故 n=21 选 B 例 5设等差数列a n满足 3a8=5a13，且 a10，S n 为其前 n 项之和，则 Sn(nN*)中最大的是( )。 (1995 年全国高中联赛第 1 题) (A)S 10 (B)S11 (C)S20 (D)S21解：3a 8=5a133(a 1+7d)=5(a1+12d)故令 an0n20；当 n20 时 an0S 19=S20 最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样
9、的数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1997 年全国高中数学联赛第 3 题 解：设等差数列首项为 a，公差为 d，则依题意有( )即2a+(n-1)don=297 2 (*) 因为 n 是不小于 3 的自然数，97 为素数，故数 n 的值必为 2972 的约数(因数)，它只能是97，297，97 2，297 2 四者之一。 若 d0，则 d1 由(*) 式知 2972n(n-1)dn(n-1)故只可能有 n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：若 d=0，则(*)式化为：an=97 2，这时(*) 也有两组解。故符今题设条件的等差数列
10、共 4 个，分别为：49，50，51，145，(共 97 项)1，3，5，193，(共 97 项)97，97，97，97，(共 97 项)1，1，1，1(共 972=9409 项)故选(C) 例 7将正奇数集合1，3，5，由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组：1， 3，5，7，9，11，13，15，17，(第一组) ( 第二组) ( 第三组) 则 1991 位于第 组中。 1991 年全国高中数学联赛第 3 题 解：依题意，前 n 组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n 2 个 而 1991=2996-1，它是第 996 个正奇数。 31 2=9619961024=32 219
11、91 应在第 31+1=32 组中。故填 32例 8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。 1989 年全国高中联赛试题第 4 题 解：设该数为 x，则其整数部分为x，小数部分为 x-x，由已知得：x(x-x=x 2其中x0，0x-x1，解得：由 0x-x1 知， x=1 ， 故应填例 9等比数列a n的首项 a1=1536，公比 ，用 n 表示它的前 n 项之积，则 n(nN*)最大的是( ) (A) 9 (B)11 (C)12 (D)13 1996 年全国高中数学联赛试题 解：等比数列a n的通项公式为 ，前 n 项和因为故 12 最大。 选(C)例 10设 xy
12、，且两数列 x，a 1，a 2，a 3，y 和 b1，x，b 2，b 3，y，b 4 均为等差数列，那么= 。1988 年全国高中联赛试题 解：依题意，有 y-x=4(a2-a1) ； 又 y-x=3(b3-b2) 例 11设 x,y,Z 是实数，3x,4y,5z 成等比数列，且 成等差数列，则 的值是 。1992 年全国高中数学联赛试题解：因为 3x,4y,5z 成等比数列，所以有3x5z=(4y) 2 即 16y2=15xz 又 成等差数列，所以有 即 将代入得：x0,y0,z064xz=15(x 2+2xz+z2)15(x 2+z2)=34xz 例 12已知集合 M=x,xy,lg(xy
13、)及 N=0,x,y并且 M=N，那么 的值等于 。 解：由 M=N 知 M 中应有一元素为 0，任由 lg(xy)有意义知 xy0，从而 x0，且 y0，故只有 lg(xy)=0， xy=1，M=x,1,0；若 y=1，则 x=1，M=N=0 ，1，1与集合中元素互异性相连，故 y1，从而x=1，x=1；由 x=1 y=1(含)，由 x=-1 y=-1，M=N=0,1,-1 此时，从而注：数列 x，x 2，x 3，x 2001； 以及在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列，S 2n-1=-2，S 2n=0，故 2001 并不可怕。 例 13已知数列a n满足 3an+1+an=
14、4(n1)且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式( )Sn-n-6 的最小整数 n 是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：1994 年全国高中数学联赛试题由 3an+1+an=4(n1)3a n+1-3=1-an故数列a n-1是以 8 为首项，以 为公比的等比数列，所以 当 n=7 时满足要求，故选(C) 注 ：数列a n既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，1 和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前 n 项和Sn 可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。例 14设数列a n的前 n
15、 项和 Sn=2an-1(n=1,2,)，数列 bn满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,)求数列bn的前 n 项和。 1996 年全国高中数学联赛第二试第一题 解：由 Sn=2an-1，令 n=1，得 S1=a1=2a1-1，a 1=1 又 Sn=2an-1 S n-1=2an-1-1 - 得：S n-sn-1=2an-2an-1a n=2an-2an-1故数列 an是以 a1=1 为首项，以 q=2 为公比的等比数列，故 an=2n-1 由 以上诸式相加，得注：本题综合应用了 a1-s1，a 3=Sn-Sn-1(n2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发
16、，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。 例 15n 2 个正数排成 n 行 n 列 a 11，a 12，a 13，a 14，a 1na 21，a 22，a 23，a 24，a 2na 31，a 32，a 33，a 34，a 3na 41，a 42，a 43，a 44，a 4na n1，a n2，a n3，a n4，a nn。 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知1990 年全国高中数学联赛第一试第四题 解：设第一行数列公差为 d，纵行各数列公比为 q，则原 n 行 n 列数表为： 故有： 得 ，代入、得 因为
17、表中均为正数，故 q0， ，从而 ，因此，对于任意 1kn，有记 S=a11+a22+a33+ann - 得：即评注：本题中求和 ，实为等差数列 an=n 与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前 n 项的和，将式两边同乘以公比 ，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前 n 项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本 P137 复习参考题三 B 组题第 6 题为：求和：S=1+2x+3x 2+nxn-1；2003 年北京高考理工类第(16)题：已知数列a n是等差数列，且 a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列an的通项公式；(II)令 bn=anxn(
18、xR)，求数列b n的前 n 项和公式。都贯穿了“ 错项相减”方法的应用。 练习 1给定公比为 q(q1)的等比数列 an，设 b1=a1+a2+a3， b2=a4+a5+a6，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，则数列b n ( ) (A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列(C)是公比为 q3 的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 1999 年全国高中数学竞赛题 2等差数列a n的前 m 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，则它的前 3m 项的和为( ) A130 B170 C210 D260 1996 年全国高考题 3等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且
19、a1，a 3，a 11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于 。 2002 年北京高考理工数学第 14 题 4已知数列a n是等差数列，且 a1=2，a 1+a2+a3=12 (I)求数列 an的通项公式；(II)(文) 令 bn=an3n，求数列b n的前 n 项和的公式；(理) 令 bn=anxn (xR)，求数列 bn的前 n 项和的公式 2003 年北京夏季高考数学第 16 题 5求和： (1)S=1+2x+3x 2+nxn-1 数学教科书第一册(上)P137 复习参考题三 B 组题第 6 题 (2)求数列：1，6，27，n-3 n-1，的前 n 项之和 Sn。 6已知正整数 n 不超过 2000，且能表示成不少于 60 个连续正整数之和，那么这样的 n 的个数是 1999 年全国高中数学竞赛试题 7各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有 项。1998 年全国高中数学竞赛试题 参考答案 1(C)2(C)344(I)an=2n(II)566 个78
