数学建模_投资最优问题.docx

1、数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 姓名 1： 吴深深 学号： 201420181013 姓名 2： 许家幸 学号： 201420180422 姓名 3： 王鑫 学号： 201420181220 专 业 软件工程班 级 1421801Z指导教师 朱 琳2016 年 6 月 9 日摘要本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用 Lingo 软件进行编码求解。根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。此模型适用于一般简单

2、的银行投资问题。 这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。关键字： 最优投资 线性规划 Lingo 求解 一、问题重述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按 50%的税率纳税。此外还有以下限制：政府及代办机构的证券总共至少要购进 40

3、0 万元，所购证券的平均信用等级不超过 1.4（数字越小，信用程度越高） ，所购证券的平均到期年限不超过 5年。证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益 / %A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5.0D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5二、模型假设假设 :1.假设银行有能力实现 5 种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的；6.假设各种证

4、券是一直存在的。 三、符号约定符号 含义iXi 取 1-5，表示从 AE 中证券的投资额（百万）cii 取 1-5，表示从 AE 中证券的平均信用等级dii 取 1-5，表示从 AE 中证券的到期时间ibi 取 1-5，表示从 AE 中证券的税前收益率四、问题分析综合分析：这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元，所购证券的平均信用等级不超过 1

5、.4（数字越小，信用程度越高） ，所购证券的平均到期年限不超过 5年。问题一: 若该经理有 1000 万元资金，应如何投资? 针对这个问题，只需要限制投资综合小于等于 1000 即可。问题二：如果能够以 2.75%的利率借到不超过 100 万元资金，该经理应如何操作？针对这个问题，我们在问题一的基础上把金额增加 100 万，再考虑贷款利率和证券到期年限时间问题更改目标函数即可。问题三：在 1000 万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，投资应否改变？若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应否改变？此问题树模型数据的更改，不用更改模型，直接更换数据重新求解即可。五、模型的

6、建立根据问题的综合分析 设 (i=15)表示从 AE 中证券的投资额（百万） ， Xic(i=15) 表示从 AE 中证券的平均信用等级， (i=15) 表示从 AE 中证券的到d期时间， (i=15) 表示从 AE 中证券的税前收益率。b所以，在 0 的情况下，政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万iX元的约束是 + + 4 ；所购证券的平均信用等级不超过 1.4（数字越23小，信用程度越高）的约束是 既是 ；所购证券的5iiX1.c55ii1.4Xc平均到期年限不超过 5 年的约束是 既是 ；而整个问5iidX55iid题就是求 的最大值。5i234X0.(b+X)问题一：若该经理

7、有 1000 万元资金，增加约束条件 即可，最终5iX10模型的确立为： 5i2342345ii 55ii5ii 55ii5iimaxX0.(b+),10,Xd. Xd1.41.4X0stcc目 标 函 数 ： =或 者 ， 或 者 问题二：受益增加 100 万元，把问题的一的约束条件换为 即可。5iX1最终模型的确立为：5i2342345ii 55ii5ii 55ii5iimaxX0.(b+X),1,Xd. dX1.41.4X0stcc目 标 函 数 ： =或 者 ， 或 者 问题三: 目标函数的系数和个别约束条件的系数发生改变，不必改变模型，模型与问题一一致。六、模型求解6.1 代码求解问

8、题一：根据上述模型，用 Lingo 编辑代码如下：model:Title 投资最优问题 LINGO模型;SETS: SITE/15/:credit,deadline,benifit,X;!credit表示信用等级 ;!deadline期限;!benifit受益率 ;!X表示投资; ENDSETSDATA:credit=2 2 1 1 5;deadline=9 15 4 3 2;benifit=0.043 0.054 0.050 0.044 0.045;ENDDATAmax=SUM(SITE:X*benifit)0.5*(X(2)*benifit(2)+X(3)*benifit(3)+X(4)*

9、benifit(4); !目标函数;X(2)+X(3)+X(4)4;SUM(SITE: X)SUM(SITE: X*credit);SUM(SITE: X)*5SUM(SITE: X*deadline);for(SITE:X0);end问题二、三模型类似，只需要在代码中更改约束条件相关参数，更改数据域中的数据即可。6.2 具体的方案问题一：Lingo 求解结果为：Global optimal solution found.Objective value: 0.2983636Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Model Titl

10、e: 投资最优问题LINGO模型Variable Value Reduced CostX( 1) 2.181818 0.000000X( 2) 0.000000 0.3018182E-01X( 3) 7.363636 0.000000X( 4) 0.000000 0.6363636E-03X( 5) 0.4545455 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.2983636 1.0000002 3.363636 0.0000003 0.000000 0.2983636E-014 0.000000 -0.6181818E-025 0.000000 -

11、0.2363636E-026 2.181818 0.0000007 0.000000 0.0000008 7.363636 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.4545455 0.000000即证券 A，C，E 分别投资 2.182 百万元，7.364 百万元，0.454 百万元，最大税后收益为 0.298 百万元。问题二：Lingo 的求解结果为 证券 A、C 、E 分别投资 2.4 百万元，8.1 百万元，0.5 百万元，最大税后收益为 0.298 百万元。问题三：由问题一的结果中目标函数的取值范围（最优值不变）可知，证券 A 受益可增加 0.35%，故证券 A

12、 的税前收益增加 4.5%，投资不应该改变；证券 C 的税前收益可减 0.112%（注意按 50%的纳税率） ，故若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。七、模型的评价兼于银行投资问题对银行的重要性，本题中我建立了相应的投资决策最优化模型，为银行在投资过程的决策提供了参考，我的模型有以下优点： 对问题一，兼于银行的 1000 万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整。对于问题二，我根据银行可能借到的和银行本身有的钱，制定了算法，充分利用银行所借的钱来获得更大的收益，利用那些限制条件，建立了数学模型。本模型具有很

13、强的参考价值。 对于问题三，于银行的 1000 万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整以确定银行是否改变投资方案。本模型具有很强的参考价值。八、模型的改进与推广本文建立了一个线性规划模型，运用这相模型 ，我们可以解决很多的实际问题，例如在国民生产中的材料分配问题，在出口贸易中经常遇到配额的问题，我们可以根据这个模型确立一个最佳的配额分配方案。九、结论分析由以上的结果中目标系数的允许范围可知,证券 A 的税前收益可增加0.35%，故证券 A 的税前收益增加 4.5%，投资不应改变；证券 C 的税前收益了减 0.112%（按

14、50%纳税） ，故证券 C 的税前收益可减 4.8%，故投资应改变。 附一：参考文献：1 姜启源 谢金星数学建模案例选集 ，高等教育出版社，2006 2 董瑧圃数学建模方法与实践 ，国防工业出版社，2006 3 陈伟忠组合投资与投资基金管理 ，中国金融出版社，2004 4王五英， 投资项目社会评价方法 ，经济管理出版社， 1993.8 5 姜启源 数学模型 高等教育出版社 6 萧树铁 大学数学实验 高等教育出版社 附二：问题二的 Lingo 求解结果Global optimal solution found.Objective value: 0.3007000Infeasibilities:

15、0.000000Total solver iterations: 3Model Title: 投资最优问题LINGO模型X( 1) 2.400000 0.000000X( 2) 0.000000 0.3018182E-01X( 3) 8.100000 0.000000X( 4) 0.000000 0.6363636E-03X( 5) 0.5000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.3282000 1.0000002 4.100000 0.0000003 0.000000 0.2983636E-014 0.000000 -0.618181

16、8E-025 0.000000 -0.2363636E-026 2.400000 0.0000007 0.000000 0.0000008 8.100000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.5000000 0.000000东华理工大学课程设计评分表学生姓名： 吴深深 、 许家幸 、 王鑫（男） 班级： 1421801Z 学号： 201420181013 、 201420180422 、 201420181220 课程设计题目：项目内容 满分 实 评能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求（3 人一题） 5选题 工作量适中，难易度合理 10能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力 10理论依据充分，数据准确，公式推导正确 10能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、制图等 10能力水平能体现创造性思维，或有独特见解 15模型正确、合理，各项技术指标符合要求。 15摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、条理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰15论文主要部分齐全、合理，符号统一、编号齐全。 格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求 10成果质量字数不少于 2000 字，不超过 15000 字 5总 分 100指导教师评语：指导教师签名：年 月 日