1、重 点 1、掌握关联矩阵A、基本回路矩阵B、基本割集矩阵Q三种矩阵的列写 2、熟悉回路电流方程、结点电压方程和割电压方程的矩阵形式难 点 理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用,第十五章 电路方程的矩阵形式,本章划分小节：,15-1 基本概念 15-2A-Aa，B-Bf，Q-Qf基本矩阵* 15-3回路电流方程的矩阵形式 15-4结点电压方程的矩阵形式 15-5 割集电压方程的矩阵形式,15-1 基本概念,一、网络的图,二、 树、基本回路与基本割集,一、网络的图,1、网络图论网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。,每一个电路元件
2、或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。,2、支路 Branch,每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点，称为节点。在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点。,3、节点 Node,从一个结点沿某些支路移动到另一结点，则这些支路就是一条路径。,4、路径 Path,一条路径的起点、终点重合所形成的不重复的闭合路径。,5、回路 Loop,平面图中自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。,6、网孔 Mesh,节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。,7、网络的图 Graph,当图G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。有向图是指各个支路规定了参
3、考方向的图，反之，称为无向图。,8、连通图 和 有向图,二、 树、基本回路与基本割集,1、树 Tree一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。构成树的支路称为“树支”，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”，其集合称为“树余”。,只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。,、基本回路,连通图G的割集是指其一个支路集合： 1、把这些支路全部移去（保留节点）后，将使连通图分离成各自连通的两个部分； 2、少移去其中一条支路,图仍然是连通的。,、割集 Cut set,只含一条树支的割集称为单树支
4、割集，它们的总和称为“基本割集”。,、基本割集,15-2 关联矩阵、回路矩阵 与割集矩阵,三个矩阵研究的对象,关联矩阵Aa A,回路矩阵B Bf,割集矩阵Q Qf,行 列,1-1、增广关联矩阵Aa nb,Aa定义：行对应图的节点，列对应图的各个支路。Aa=ajk中： 当节点j与支路bk无关联时， ajk=0 当节点j与支路bk关联，且支路电流的参考方向离开节点时， ajk= + 1 当节点j与支路bk关联，且支路电流的参考方向指向节点时， ajk= - 1,分析：有5个结点，7条支路，所以Aa应该是5X7的矩阵。,5X7,例题1：写出Aa矩阵。,关联矩阵Aa的特点：,矩阵中任一行可以从其他n-
5、1行中导出，即只有n-1行是独立的。,引入降阶关联矩阵:,每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。,A定义：除去增广关联矩阵中的任意一行，矩阵仍然具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。将这种矩阵称为降阶关联矩阵或简称为关联矩阵，记为A。,1-2、降阶关联矩阵A (n-1）b,思考：如果已知A矩阵， 1、能否画出对应的图？ 2、能否画出对应的图？,例题2：写出Aa和A矩阵。,2-1、回路矩阵B (b-n+1）b,B定义：行对应图的回路，列对应图的各个支路。B=bjk中： 当支路k不在回路j内， bjk=0; 当支路k在回路j内，且支路方向与回路方向
6、相同，bjk=+1; 当支路k在回路j内，方向不同， bik=-1。,例题3：写出B矩阵。,取网孔为独立回路，顺时针方向,1 2 3,给定B可以画出有向图。,列写规则：先选择一棵树T;列写时，矩阵的列按先连支后树支且连支与树支要分开排列的方式;,Bf定义：如果B是由以下列方式列写出来的称为基本回路矩阵Bf。,2-2、基本回路矩阵Bf (b-n+1）b,3. 由于基本回路为单连支回路，就选连支方向为回路方向; 4. 连支和对应的回路要为相同的行和列号; 5. 特点：Bf的左半边为E单位矩阵。,Bf列写规则：,1,2,3,4,5,6,7,选1、2、3、6为树,4 5 7 1 2 3 6,l1 l2
7、 l3,4、5、7则为连支,例题4：写出Bf 矩阵。,Q定义：行对应基本割集，列对应图的各个支路。Q=qjk中： 当支路k不在割集j内， qjk=0; 当支路k在割集j内，且支路方向与割集方向相同， qjk=+1; 当支路k在割集j内，且支路方向与割集方向不同， qjk=-1。,3、割集矩阵Q与基本割集矩阵Qf,1,5,6,4,2,3,例题5：写出下图的Q。,Qf定义：如果选定一组单树支割集为一组独立割集，称为基本割集矩阵。,列写规则： 先选择一棵树T; 列写时，将矩阵的列按先树支后连支且分开排列; 由于基本割集为单树支割集，所以就选树支方向为割集方向; 树支和对应的割集要为相同的行列号; Q
8、f的左半边为E单位矩阵。,例题5：选 4、5、6支路为树，写Qf,Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6,1）、KCL定律：,4、KCL、KVL的矩阵形式,2）、KVL定律：,每条支路电压总是可以由这n-1个结点电压表示：,Q,Qi=0,QTut=u,小结：,ul= - Btut,A,B,KCL,Ai=0,BTil=i,KVL,ATun=u,Bu=0,15-3 回路电流方程的矩阵形式,推导思路:,回路电流法：以回路电流作独立变量，列写b-n+1个KVL方程。,已知：KCL-KVL,如能求出VCR-,一、复合支路模型,电路图中第k条支路,有向图中第k条支路,P342 图15-7
9、,1、Uk与Ik关联； 2、USk与Uk方向相反； 3、ISk与Ik都流入（出）同一个结点； 4、Zk是单一阻抗； 5、不允许存在理想ISk支路。,复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,V C R 方程推导,+,_,V C R 方程推导,bX1,bXb,bX1,bX1,bX1,其中:,（各支路无耦合）,二、回路电流方程推导,KCL方程：,KVL方程：,VCR方程：,回路阻抗矩阵 bXb,:支路阻抗矩阵 bXb,回路电压源矩阵 bX1,三、Z矩阵的列写：,(1)无耦合
10、时：Z就是一个对角阵。,写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：,例,解,(2)耦合情况一：含有互感线圈Mkj,1、 位置- 两个互感电感所在的位置分别作双下标，即Zkj和Zjk 同时成对出现在Z中；,步骤一：先不考虑M写出对角阵Z；,步骤二：在对角阵Z的基础上成对添加jwM；,2、大小- Zkj = Zkj =jM。符号看支路方向和同名端相对位置是相同还是相反。（增强/削弱）,P345 图15-8,(2)耦合情况二：含有受控电压源Udk,记：受控电压源方向与UK或USK方向一致。,VCR:,根据Udk的控制量不同：,1、 Udk=kjIej (CCVS),Zkj= -kj,根据Udk的控制量不同
11、：,2、 Udk=kjUej (VCVS),Zkj= -kj Zj,15-5 结点电压方程的矩阵形式,一、Y矩阵的列写,1、无受控源,无M,-支路导纳矩阵,且为一个对角阵!,2、有电感M,支路导纳矩阵Y不再是一个对角阵,其主对角线为各支路导纳,而非对角线上有关于主对角线对称的互感导纳出现!,位置-如第i与j支路间有互感存在,则在Yij和Yij的位置上成对出现! 大小-1/jM,符号看同名端是增强还是削弱！,3、有受控源,支路导纳矩阵Y不再为一个对角阵；,新导纳位置-控制量所在支路j决定列号；受控源所在支路k决定行号；则其出现在Ykj位置上;,新导纳大小-如：Idk=gkjUej 则 Ykj=g
12、kj， 如：Idk=gkjIej 则 Ykj= kjYj,二、节点电压法的矩阵形式的推导,KCL方程：,KVL方程：,VCR方程：,-结点导纳矩阵,-流入该结点的电流源值,结点分析法的一般步骤,第一步：抽象为有向图,第二步：形成A,第三步：形成Y,第四步：形成US、IS,US= -5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0 -1 3 0 T,第五步：用矩阵乘法求得节点方程,15-6 割集电压方程的矩阵形式,一、树支电压的概念:,树支电压：指选定做树支上的支路电压。,如图，有三个树支电压：,二、Q与KCL的关系：,1、Q与KCL的关系,3 5 6 1 2 4,三、Q与KVL的关系：,1、Q与K
13、VL的关系,选346做树支，则可以将支路电压用树支电压来表示：,四、复合支路-VCR,VCR方程：,五、方法推导,KCL方程： KVL方程：,VCR方程：,-割集电导矩阵,-割集电流源向量,几个概念：,六、例题,例1：写出割集电压法的矩阵形式,15-8 状态方程,一、定义,1、状态变量：电路的一组独立的动态变量，它们和输入（us、is）一起确定电路任何时刻的状态。,2、状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。（KCL或KVL）,输入向量 v,状态向量 x,A nXn,B nXm,二、状态方程,两个动态元件：L、C 两个状态变量：iL、uC,1、概念：,状态方程的标准形式,2、用特有树建立状态方程列写要点：,特有树： 树支包含所有电压源支路和电容支路， 连支包含所有电流源支路和电感支路。 对单电容树支割集（结点）列KCL方程 ； 对单电感连支回路列KVL方程 ； 所涉及的非状态变量：用x或v表示； 整理成矩阵形式。,*,三、例题,1、特有树：,例1：写出下图的状态方程。,2、KCL：单电容树支割集,3、KVL：单电感连支回路,3、消去非状态变量，整理方程成矩阵形式,二、输出方程,本章作业：,15-1 15-4 15-9 15-10 15-13,本章作业：15-17,
