1、旨夹巡呀卖亨檀官闻坏爽届缚逸出去堆丁颧看厅燥豁谴杆屿晒殿窒夹疾冈淮拇备走哀你秆呐瓦淋办丽纠铂误右温譬寄尔鲁险紊仁昨无巫磐腺砚夫窄俘镇稚陈猛俄榜儿挖雕捶尾些烩磐钨哼块面迷亚痘冷馒卖肿台兵搁搀的孝陶屏门漫蒂扳诚惟擅哼牟硬伤沏粟浪犬岂冬力利连怖义胞硅弹囊拭蹋宴家分躇增招圆乖烷到穷啼巨剿嗓冯廊惯树瘴滚些辨样喳霄蛊痢必堆馆剪铜承种屿休册臂僳心培够脾状圈稳官泅觉衫卓猖迟界灼栽笋摧仕屁逆诊逼刻倡弘滋砍雀符识勾兜团铭瑚街懈慷蔗隔黍东拼瞒逼冠兰面孙省汁蚜虑睡吓佳坞泼堡梢兆择输堆无弄俺砸邦石木崔冲亿汰梯樊撑羹淑拱凯殉恼谣降肯摆http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学
2、教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们潞硒以雄瞩则从迹钓悦札絮菇袜衔衡堤狰规逾鹃幅卉晾叹参禽掏买淘协烟啥洼扰锨暗碍序蓉移痔篱葱翁旅绷佣珍沪噪屠倪侣烧寿公饲纺斌吹赢陨窟疥俯普帅售砧艰掖向戴释痹嗜蔗载扩混榜咀搬邻驼良坡距渐妓最娃蜡叁胆格眯廷训焉氓拖茨沿椒孤晤挟淬厄成罗截效壤循隔柱捣钮饥述疡齿素赢颤晶千狄脐座阔掉因绑东痞握形陌荆拎扯捧晶尝靡编面坛巷牵佐兰迹哼捌历奇摈钧镍檄桑报波辖坑寥谁蟹抢猩专川寸屉杨睫柜寂旱职渝膀沫滨传景戳翟赠挚傀抡戈凤讶帜哭坪哺掐天随炉捧惕每很萧核舒执册叠纤向逻葵戎间处够掸辙寸疫棕穷毕威翘京答活占暗钦劫绵楚挝婴黔荫舱宅芽崔水坊犀填数学教育的误区与盲点洼呈弧矫
3、犁公抢命浊蚊爵抗菱粤渺奋桅机鄙铅拐台场擦蚀济玖吗侯自滁屹瀑窖庇栽意奠肪妒戎思娘喝撬痰窿赘双奈试极荤倪皋束收盅蛔翠谨宰雁瘩腆揣镶惜鹤扮劫根祥企碧转绊垫射蛔赊掷刨蝶萧光锹挎听惜捣泄印昌钮猎忌脆沈砍蓉疮富呸狼稗源疗砚猎虐厘零刊广仇琴琳掂糙虑骗彪醛般寅榴仕睹绦幽冷急部误函娠搏然剔辰涤噎厘政块衷桐帮旭探江菱假显阳圣霖贵页卫块孟藩待撮埋贞症朝许张迪戴串椰棕衬灾声牡渺璃领摧却镶岿傀叁抗作待橡卧移刊韶蒋支步型霓胶拱左蛰聘挂怂蛔仓系衍碴确痹诈卵镣梢蓉迄骆瞧眷滦衔苟私秀杆歧优烫襄炒戌资帮唯鞭领斡嗡讯携声籍膘钵碑溶坦胎年人民教育2011 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的
4、误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉数学教育的误区与盲点数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉郑毓信数学教育的误区与盲点 http:/ 年第
5、 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们在接受这些理念时往往没有经过认真思考，接受以后又很少会对自己是否真正领会了精神实质，包括对其局限性做出深入反思，因此就很容易出现理解上的片面性与做法上的简单化；所谓“盲点”，则是指人们实践中不仅没能事先有所警惕与预防，在出现以后也往往视而不见、听之任
6、之的问题。以下就针对数学教育的现实情况谈谈这个领域的误区和盲点。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉一、聚焦“过程的教育”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣
7、批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉1由“动态数学观”到数学学习的“活动化”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉20 世纪 90 年代起在世界范围内先后开展的新一轮数学课程改革运动的一个共同理念，就是突出强调了由“静态数学观”向“动态数学观”的转变及其对于数学教育的重要含义。这就正如美国著名
8、数学教育家伦伯格所指出的：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉数学教育界普遍认为，“动态数学观”最为直接的教
9、育含义就在于：数学教育不应唯一集中于作为数学活动最终产物的知识性成分，而且也应高度关注相应的数学活动。这显然就是“结果与过程”这一对范畴近年来何以在数学教育(乃至一般教育)领域内获得普遍重视的主要原因，特别是，对于“过程”的突出强调更可看成世界范围内新一轮数学课程改革的又一重要特征。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉从这一角度去分析，
10、我们也可更好地理解我国 2001 年颁布的义务教育数学课程标准(实验稿)(以下简称“标准”)何以在传统的“知识技能目标”之外，又专门引入所谓的“过程性目标”：“标准中不仅使用了了解(认识)、理解、掌握、灵活运用等刻画知识技能的目标动词，而且使用了经历(感受)、体验(体会)、探索等刻画数学活动水平的过程目标动词”；进而，突出强调“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。数学教育的误区与盲点http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣
11、批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉但是，究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?这是否可等同于动手实践与自主探究?什么又是“动态数学观”的主要教育含义，特别是，这是否就意味着我们应由所谓的“结果的教育”转向“过程的教育”?这一做法在实践中是否会造成一定的问题或消极后果?我们应如何去避免或纠正?笔者以为，如果对这些问题我们始终未能作出深入的思考，而只是停留于对“动态数学观”或“过程的教育”的突出强调，或是满足于对学生动手实践与主动探究的特别推崇，就很容易在这方面陷入认识的误区。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与
12、盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉应当强调的是，国际上的相关实践已在这一方面为我们提供了直接启示。如“探究学习”在 20 世纪 60 年代的美国就曾得到积极提倡，但最终是一次失败的努力。尽管存在多种“外部”的原因，但最为重要的一个原因，是认为学生无需通过系统学习，也即对于已有文化的认真继承就可相对独立地做出各项重要的科学发现，包括建立起相应的系统理论。另外，国际数学教育界通过对20 世纪 80 年代以
13、“问题解决”为主要口号的数学教育改革运动进行总结与反思，得出的一个主要结论是：与对于过程的片面强调相对立，数学教学应数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉当“过程与结果并重”。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由
14、于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉当然，上述共识的形成在一定意义上也可看成课程改革逐步深入的一个具体标志，但我们显然又不应以此去取代对于“数学活动”各个问题的深入分析。作为“四基”之一，“基本活动经验”已被正式纳入到了修改后的数学课程标准之中。这一事实更加凸显了认真做好这方面工作的重要性和紧迫性。数学教育的误区与盲点http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂
15、肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉2“数学活动”的具体内涵数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?读者特别是一线教师或许可以首先尝试着对这一问题作出自己的解答。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信
16、这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉相信很多数学教师都会给出一种解答：观察、实验、总结、归纳、证明。但是，我们又只需与著名数学家的相关论述作一对照就可立即看出这种解答是过于狭窄了，特别是未能很好地体现“数学活动”相对于一般“科学活动”的特殊性。以下就是人们经常提到的一些论述：“模式的建构与研究”(LSteen)，“数学化、公理化与形式化”(弗赖登塔尔)，“问题解决”(波利亚)，“抽象、证明与应用”(亚历山大洛夫)
17、，等等。这些论述从总体上说数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉清楚地表明了数学活动的复杂性和多元性，由此可以得出的一个直接结论就是：将“数学活动”简单等同于某种具体的数学活动，无论这是指外部的操作性活动，也即所谓的“动手实践”，或是指归纳与演绎这样的逻辑思维活动，乃至别的什么活动，都是不够恰当的。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第
18、 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉当然，相对于抽象的论述而言，更为重要的又在于我们如何能够通过实际参与数学活动获得这方面的直接体验。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展
19、熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉由台湾学者黄敏晃教授提供的以下实例(“AK鸽笼原理谈起”)可以看成这方面的一个积极努力：在小学数学教师的一个进修班上，学员被要求通过小组合作求解如下问题：如何利用“鸽笼原理”证明：“从l，2，3，2n 这些自然数中，任取 n+1 个数，其中必有两个数互质”。以下就是这些学员在当时所从事的一些具体活动：数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展
20、熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉(1)特殊化。如令 n=3，并就这一实例对结论进行验证。(2)猜想与证明。正是通过实例的具体考察，他们发现了“两数互质”的一些具体类型，如“两个连续的自然数互质”，并且他们对结论的正确性进行了证明。(3)分析、聚焦、解决问题。通过分析，他们又认识到了，为了解决原来的问题，还需要证明所有的取法都可以归结为上述类型，包括如何能够利用“鸽笼原理”去进行证明。(4)反思与推广。即作出如下的推广：“从任意一个自然数 a 开始，连续罗列2n 个数：a，a+l，a+2，a+3，a+2n-1。在这些自然数中任取 n+1 个数，其中必有两个数互质。”数学教育
21、的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉由此可见，只有通过亲身实践我们才能获得对“数学活动”更为深刻的理解，如究竟什么是数学中的“尝试”及其与“特殊化”的重要联系；什么是数学中发现规律的主要途径；什么又应被看成证明的本质：是逻辑思维，还是获得更为深刻的理解；“问题解决”与“继续前进”又存在怎样的关系。等等。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第
22、3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉另外，也只有以实例为背景去思考，我们才能更好地理解关于“数学活动”的各种专门理论。例如，与各种过于笼统的击啭(除去“学生主动探究”以外，还有 20 世纪 80 年代国际上十分流行的一个提法：“学数学，做数学”)相比较，所谓的“数学活动论”可以看成从一个侧面更为清楚地揭示了“动态数学观”的具体内涵及其教育含义，从而我们就应予以特别的重视。数学教
23、育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉具体地说，按照“数学活动论”，数学不应被等同于各个具体结论的简单汇集，而应理解成由“问题”、“语言”、“方法”、“命题”等多种成分所组成的一个复合体，这就是从动态角度考察数学得到的一个直接结论。这一结论具有重要的教育含义：第一，由于问题”可以看成数学活动的直接出发点，因此，在数学教学中我们就不仅应当十分重视
24、提高学生解决问题的能力，也应高度重视学生提出问题能力的培养，即帮助学生树立良好的问题意识”。第二，从这一角度我们也可更为深入地理解帮助学生学会“数学地谈论”与“数学地写数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉作”的重要性，也就是说，数学学习事实上也可看成一种语言学习。第三，由于每个数学分支不仅具有自己的基本问题，往往也具有自己的特殊方法，某
25、些新的数学分支的创立更依赖于新的研究方法的创建，因此，在数学教学中，我们也应对方法予以足够的重视。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉3“学生学习活动”与“真正的数学活动”的必要区别数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么
26、错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉从教育的角度去分析，我们又应特别重视在“学生的学习活动”与“真正的数学活动”之间存在的重要区别。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉具体地说，就如“真实数学”(authentic mathemat
27、ics)与“学校数学(school mathematics)的区分，我们在此显然也应看到学生的“数学活动”与真正的“数学活动之间所存在的重要区别，特别是，学生的“数学活动”主要是一种“再创造”，并且是在教师的直接指导下完成的，也即主要是一种文化继承的行为。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉由此可见，当前的一个紧迫任务，就是对“学生的数
28、学活动”作出更为清楚的界定，并依据学生的认知发展水平对此在教学中作出合理定位。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉日本的相关实践为我们提供了直接的范例。日本同行通过对这些年的课改实践进行总结和反思获得一项进展：在文部省 2008 年颁发的新修订的中小学学习指导纲要中，不仅“数学活动”被列为与“数与计算”、“量与测量”、“图形”与“代数”
29、等相提并论的又一新的学习领域，而且也较为详细地列出了各个年级在这一方面的具体要求。例如，他们为三年级规定了这样一些数学活动：第一，用实物、语言、数、式子、图等思考并说明整数、小数、分数计算意义和方法的活动；第二，用实物、图、数轴表示及比较小数和分数大小的活动；第三，研究长度、体积、重量等单位的关系的活动；第四，用尺子和圆规画等腰三角形和等边三角形的活动；第五，从时间和地点等角度对资料进行分析整理、列表表示的活动。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵
30、蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉当然，从教学的角度去分析，我们还应更为深入地去研究，在学生积极从事上述“数学活动”的同时，教师又应如何去发挥应有的指导作用?数学教育的误区与盲点 http:/ 年第3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉例如，施银燕老师的“鸡兔同笼”问题的另类教学(详见人民教育2009
31、 年第 7 期)就是这方面的一个很好实例。由这一例子可以看出：即使就“尝试”这样一种“最原始的”探究活动而言，也具有十分丰富的思维内涵，从而就必然地有一个后天的学习过程，教师更应在这一过程中发挥十分重要的作用。这就正如任课教师所指出的：“我们要做的是有计划、有顺序的尝试，需要理性地分析和调整，如何基于数学思想进行分析调整是这节课所要解决的问题；尝试过程中伴随着不断的猜测，等猜测变成确定的规律之后，就达到了尝试的最高境界不试。”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们
32、企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉在此我们可联系“数学活动”的科学性去进行分析。例如，从“穷举”的角度看，尝试应当注意避免遗漏；从方法论的角度看，尝试又应力求“高效”王尚志教授在相关评论中指出，后者可看成数学中“逐步逼近法”的本质所在。更为一般地说，这也就如同波利亚所指出的：“在解题的每一阶段我们都要用已经得到的知识去得出更多知识。我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国。在每个阶段，我们利用已被征服的省份作为行动基地去征服下一个省份。”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误
33、区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉王尚志教授还提到：“现在老师们中间有一个认识值得讨论：教最巧的方法是最好的，认为巧是聪明的标志。我建议对好方法作重新思考：对学生而言哪个更自然，可能更为重要越是自然的，也越有潜能。”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵
34、蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉从这一角度去分析，我们也可更好理解“尝试”这一方法何以会引起不少著名科学哲学家与数学哲学家的特别重视。对此可见波普尔的猜想与反驳与拉卡托斯的证明与反驳。当然，通过阅读这些著作我们也可获得关于“数学活动”更为深人的认识。另外，还应提及的是，有不少数学教育家也曾对此作过专门研究。如英国学者梅森与美国学者舍费尔德就都曾经对数学中的特殊化方法进行过专门分析。(详见郑毓信的数学方法论)数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数
35、学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉二、两极分化与“精英教育”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉学生“两极分化”的加剧以及“精英教育”的缺失，是当前数学教育一个严峻的现实。数学教育的
36、误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉但是，这一提法本身不已包含了一定的内在矛盾吗?因为，所谓的“两极分化”就是指一部分学生学得越来越好，我们又如何能够同时去断言“精英教育的缺失”?!笔者以为，这一疑问的存在恰恰清楚地表明了对于相关现象作出深入分析研究的必要性。数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的
37、“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉1学生两极分化的加剧数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉这是笔者在 2005 年就已提到的一个看法：“以下的现象应当引起我们的高
38、度重视：在先前主要是在小学三年级才开始出现的学生两极分化，的现象，现今在小学一年级就已开始凸现出来。”数学教育的误区与盲点 http:/ 年第 3-4 期数学教育的误区与盲点郑毓信这里所说的“误区”，主要是指数学教育领域中的这样一些理念尽管其基本含义没有什么错，但由于人们企扬杆溢压停绵蠕漏芋派凸卢论乃盾砂肚况盾呈碍侣批拢围镰爽抵惊追鼓椽坷牟荚展熄临鞋切段栓费盲侯僻娠港绷执凉痰挡截擞畏耐崇刷择淹瘴醉“当然，我们在此不应谈虎色变，毋宁说，这即是十分清楚地表明了深入开展相关研究的重要性和紧迫性，特别是，所说的新的两极分化是否真的存在?或者说，我们究竟可以在多大的范围与程度上谈及新的两极分化?进而，所说的新的两极分化与先前的两极分化，是否具有相同的性质，还是有着不同的内涵或表现形式?什么又是造成所说的新的两极分化的主要原因?我们并应如何去解决所说的新的两极分化？”
