1、第一章 随机事件及其概率1. 1) 010,.nn2) ,23,10.Zn3) 以 分别表示正品和次品，并以 表示检查的四个产品依次为次品，“,“正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果 ，根据条件可得样本空间 。S,.S 4) 2(,)1.xy2. 1) ， 2) ， 3) ， 4) ABC()ABCABC， 5) ， 6) ，()()7) ， 8) .ABCABC3. 解：由两个事件和的概率公式 ，知道()()()PPBA又因为 所以()()()1.3,PP(,P（1）当 时， 取到最大值 0.6。0.7AB()A（2）当 时， 取到最小值 0.3。()1()B4. 解：依题意所求
2、为 ，所以PC()()()()()()11000485.8PABCAPCBPAC5. 解：依题意，()()() ()()()0.750.26PBAPBPB BAPAB6. 解：由条件概率公式得到 1()1()(),),34PBA所以 1()() .462PAB7. 解：1) ， 2028811()45CP2) ， 202_812211(|)45CPPAA3) ，2_8281212210106()()45PP4) ._82812121210()C8. 解：（1） 以 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件， 表示后从乙袋中取A B得白球这一事件，则所求为 ，由题意及全概率公式得()PB1()() .
3、1nNmNPBAMn（2） 以 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和123,A两个白球， 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件，则容易推知 21255441239990(),(),(),8818CCCPPAPA12367|,|,|.BBB由全概率公式得 315105()()|) .8819iiiPAP9. 解：以 表示随机挑选的人为色盲， 表示随机挑选的人为男子。则所求AB就是 . 由贝叶斯公式可得(|)PB()()| 0.520| .|(|)1PAP 10. 解：（1） 以 表任挑出的一箱为第一箱，以 表示第一次取到的零件是一等AB品。则所求为 ，由全概率公式
4、得()PB1082()() .2535AP（2） 以 表示第二次取到的零件是一等品。则所求为 ，由条件C (|)PCB概率及全概率公式得 22108530()()( 69(|) .14PABCPAPB 11. 解：以 分别表示三人独自译出密码，则所求为 。由事件,AC()PABC的运算律知道 ，三个事件独立的性质，知道 也相互独立。从而()B,423()11()1()()1.5PPPABCB第二章 随机变量及其分布1 解： 的分布规律为X2135,45kCP或 X3 4 5kp1/10 3/10 6/12 解： 的分布规律为31250,12kCP或 X0 1 2kp22/35 12/35 1/
5、353解：设 表示在同一时刻被使用的设备数 则 XB(5,0.1)2350142355501232505.9.7311.9.086.90.544PxCpxPxPxCx CPx4解：设 次重复独立试验中 发生的次数为 , 则nAX(,.)Bn:32415055(,0.) .70.3.7.1638XBxCC0716257 7(,.) 12.0.3.0.3290PxPxC5解:设每分钟收到的呼唤次数为 , X(4):44 489(1) 0.297(2)30.563! !kk kxe Pxe 6 0.431.2(1)31PxFe0.41.624()xFe0.4.3.2.()()31()x e1.2.6
6、3PPxe(5)2.(.5)(2.0)xF7 ； ；1ln3201xF525/2lnl41,()0xPxefF， 其 他8解: (1) xpfd当 时: 1x0xxFfd当 时: 2 2112xxxfddx当 时: x122100xx xFfd所以: 0,12,xx(2)当 时:00xxFfd当 时: 1x 201xxf dx当 时: 20 210 1xx xFfddx当 时: x21011x所以: 2,1,2,xFx9解: 每只器件寿命大于 1500 小时的概率2150150()()3PXfxddx则任意取 5 只设其中寿命大与 1500 小时的器件为 只则Y23(5,)B:051452()
7、yyPC10解: （1） 532().)(0.5)Px0.84.691.84()()(3.5)120.981.96 22-1(5)(2)0.57xx1x32P(2) ； (3) 则 且 ，有 C0.9Pxd0.1Pxd3()0.12d即 得 则 所以31()13()92.94211 解设随机变量 x 表螺栓的长度 .5,6xN10.52011.021.5()()6) .97.46P 12解: 2(,XN201620110x()()44()P要求 则 则 则210.8()0.941.29即4.93第三章 随机向量1解：2471 1232 347247230,; 0,; 056 6,;,;5,0;
8、 2, ;5,;PXYPXYCCPXYPXYC31471247 ,0;5,; 3,25CYY2解： 24013021.541.5020(1),)(,)(6)1883(2),(6)8273.5(.,)()()3(4)(6)8FfxydkxydkkPXYxyFdyxxdxy 24 20 0(468x 3解： 201 2.().()01()(,)4.8(2).4(3)()(,)xXyY dxxfxfdyyfyfx 其 它其 它4解： 0 0()(,)()(,)yxxXyyY edfxffyf 其 它其 它5 解：2 22211 1200 010() 101,(,)()4()().45X yXYyx
9、xxxfx exyYffYPXededed 其 它因 为 相 互 独 立 ,所 以 其 它()方 程 有 实 根 则 =即6 解：（1） 故 21(,)1xFdcy 21c（2） 2241()4,()80Xx xxf其 它2527,1()1Yyyxfd其 它7解：（1）由于 在 上服从均匀分布X(0,1)故 则,1xfx其 它 ye又 单调递增且可导，其反函数为：xyeln设 的概率密度为：Y()gy于是1,(ln)()0egy:其 它（2）由于 ，故 的反函数为XYl212()yhe故 21(),0()0yfhyeg:8解法 1： 由于 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，由卷积公式 可得
10、()()(ZYfzfzyfd当 时， =00Z当 时， 1z0()1zyzfe当 时，由 ，知 ，即：xyz11()zyzZfede解法 2：可有求密度函数的定义法计算得到。9解：（1） ()0 1,0()0()(,)22,xy xX edefxfydx 同理 1()()00yYefy由于 ，故 和 不相互独立的。(,)()XYfxfy（2）解法 1，公式法： 2010()(,)2zzzz edxeffxzd解法 2，定义法：当 ， ；0z()()0ZFzPzXYz当 ， ()0zxxyed21,0,() .zzZefz第四章 随机变量的数字特征1 解：令 表示一次检验就去调整设备的事件，设其
11、概率为 ， 表示每次检验发现的ApT次品个数，易知 ，且 。 得，(10,.)TB(4,)XBp。010191()1(.)9(.)0.263pPATPC因为 ，得 。4,XB()4.56EXp2 解：。150302215()() (30)5105xxExfdddx 3 解： ；1()().4.2kiXp221()030.8kiEx221(35)(35)17.45.17.34kkiXp。22.E4解：（1） .00()()2()2(|)2xxxYEXxfdeed（2） .223301()()|xxxefe 5解：（1） .3311() .420.42iiijjEXp.3311() .3.13jj
12、ijYy（）。 71 1()0.2(.51).05.0.35iEZzp（3）ZX-1 -0.5 -1/3 0 1 0.5 1/3kP0.2 0.1 0.0 0.4 0.1 0.1 0.12)(YX4 9 16 1 0。51()40.39.416020.15iEZzp6解： 1204()(,)5xXxfydyd130()(,)xEYf1301()(,)2xXxyfdyd122 22016()()(,().075xEYxyfyydx7解： 的分布密度为 。 由题意知 ，则X1/,()0xfx其 他 (1)AX.2222016()10)()()873EAfdxd.22 432014()5Xx2296
13、(.5DAEA8解：以 和 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则 ，由条件概12 12TX率知 的概率密度为(,)iX5,0,()xief .两台仪器五故障工作的时间 和 显然相互独立。1X2利用两独立随机变量和密度函数公式求 的概率密度，对 ，有T0tkP0.3 0.4 0.0 0.2 0.15()5120()() 2.xt tftfxtdede当 时，显然 于是，得0,5,()0.teft 由于 服从指数为 的指数分布，知(1,2)iX1,()(,2).55i iEDXi 因此，有1212()(),5TEX 由于 和 相互独立，可见1X21212()()DXD. 9 解：93 年考研数
14、学一。(1) 0, 2 (2) 不相关 (3)不独立10解：207()(,)()86XExfdxfydxyd+-（ ） =2222015()(,)()3Xff x+-（ ）则 . 221()36DE由联合概率密度函数中 、 的对称性，得 Y71(),()63EYD，2014()83XYxyd（ ） =, 6covXXEY ， .cov,1()XYD 5()()2cov(,)9DY第五章 大数定律和中心极限定理1 2 C3解：设第 个数相加时的舍入误差为 ，则 。i iX1()0,()2iiEDX（1） 150150 150 15022iii ii i XPXPXP 。2(1.34)0.8（2）
15、 ，1100()1.9012nn iiii XPXPn 即 ，得 。3().95n43n4解：设 是装运的第 箱的重量（单位：千克） 。 是所求箱数。由条件可把(1,2)iX i n视为独立同分布随机变量，而 箱的总重量(,)in n12nTX是独立同分布的随机变量之和。由条件知 ()50,()5;()0,()5.i iEDETnDn 由中心极限定理知 近似服从正态分布 。nT,N箱数决定于条件50051050().97(2)nn nnnPT由此可见 12从而 ，即最多可以装 箱。98.01n98第六章 数理统计的基本知识1 ； 。1022()10(,)()ixfxe 2()1*0(,xfe=
16、2 分布；9.t3 ,2.01 4解： (0,1).3iXN102().i1010222.4.4()(10)6.1.3ii iXPXPP解： 可参考书中 页(,)5N:67（1） ；12()10.322PX（2） =125max(, 551255,110.932PXXP（3） =125in,)0 10ii5551()10.843i第七章 参数估计1 样本均值 74.02X样本方差82 61().85710iiS样本二阶中心矩 :82261()iiX均值与方差的矩估计值分别为： :2674.0102 （1）矩估计 (1)()cccEXxdxd令 ，得 的估计量为 ， 的估计值为1cXXc1nii
17、xc（2）极大似然估计 (1)(1) (1)1() (nnnLcxcxcx 1lnl()lii令 1llnl0iiLcx得 的估计值为 ， 的估计量为1llnniixc1lnliiXc3 （1） 矩估计243X2()(1)3()E令 得 的估计值为 56极大似然估计 2256123()()()(1)LPXxPXx令 ，得 的估计值为ln5056（2）矩估计量 1niiX极大似然估计 1112 1()().().!.inxxxnneLPxPe 令 ，得 的似然估计值为 ，ln0ii从而 的似然估计量为 。1niiX4解： 当 时, 的概率密度为1X他他10,),(1xxf() 由于 11,);(
18、 dxdfEX令 ， 解得 参数 的矩估计量为 。1 X() 对于总体 的样本值 ，似然函数为Xnx,21 ni ini nxfL1 121 .,0),2,1(,)();()( 他当 时， ，取对数得),2(1ixi)(，niixnL1lll对 求导数，得，niixd1l)(ln令 ， 解得 的最大似然估计量为 。0l)(l1niiLdniix1l( ) 当 时, 的概率密度为2X他他xxf0,2),(3对于总体 的样本值 ，似然函数为Xn,21ni ini nxxxfL1 321 .,0),2,1()();()( 他当 时， 越大， 越大, 即 的最大似然估计值为),21(nixi)(L，,
19、mi21nx于是 的最大似然估计量为 。,i21nX5 （1） ， 是无偏估计量123(),(),()ETET13T（2） 2221541()36986DD所以 ，因此 较有效。1()36 （1） 已知时，置信区间为22,Xun， ，621.9置信区间为（5.608，6.392）（2） 未知时，置信区间为2 2(),(1)SSXtnXtn = ，1()niiS0.570.25(8).36t得置信区间为（5.5584，6.4416） 。7解：由于 均未知，则 的置信区间为 ，2,2 2(1),(1)SSXtnXtn 的置信区间为 ，亦即2221()(),iixxnn。2 21(1),()()SS
20、n （1） ， ， 所以 的置信区间为0.5.t6.78X0.387（6.6750，6.6814），-51()7.48310niiX220.50.95()1.,()1.所以 的置信区间为（ ， ）2-6. -.78（2） ， ， 所以 的置信区间为0.5(4)2.13t6.4X0.3S（6.6611，6.6671），-51().0niiX220.50.95().,(4).71所以 的置信区间为（ ， ）2-63.791-.78解：（1） ；12()()()yyYEXefdeb（2）置信区间 为 ，代人样本数据得 ；22(,nnu(0.97,)（3）由（1）式 与 的关系及（2）中 的置信区间得
21、 的置信区间为 。b 0.471.9(,)e第八章 假设检验1 D2解：（1）提出假设 ：均值 ， ：0H0.6181H0（2）在原假设 成立的条件下，构造统计量0 0(9)2XttS:（3）查 分布表，得拒绝域 和 ，其中t2,(1)t2(),t。20.25(19)().93t（4）由样本值得 ， ；得统计量值 ，不在065x0.7s2.05.93t拒绝域中，故不能拒绝假设 。H3 (1)XtnQ4 解：（1）提出假设 ：均值 ， ：均值 0H011H0（2）在原假设 成立的条件下，构造统计量0 0(9)2XttS:（3）查 分布表，得拒绝域t,(19)t0.5(19).72tt（4）由样本值得 ， ；得统计量值 ，不在拒绝0.2x.5s.41.9t域中，故不能拒绝假设 。H
