1、第一讲 集合与容斥原理,主讲： 罗老师,摩根定律,1、设全集为U，其子集为A、B，则有,称为摩根定律，又叫反演律。,摩根定律用文字语言可以简单的叙述为：,两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集； 两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集。,2、摩根定律的一般形式设全集为 ，其子集为则：,称为摩根定律，又叫反演律。,摩根定律交 集的补集韦恩图,摩根定律并 集的补集韦恩图,3、应用举例,求集合,范例解答：如图,由摩根定律,又,有限集元素的数目容斥原理,按照集合的元素个数是否为有限集，集合可分为有限集和无限集，若集合A是有限集，用 表示它的元素个数或用 表示 。,定理1 设A、B都是有限集，则
2、,定理2 设A、B、C都是有限集，则,例题精讲,例1、在1，2，1000中，有多少个正整数既不是2的倍数，又不是5的倍数？,解 设,则,于是,例2 集合A的元素都是正整数，其中最小的是1，最大的是100，除1以外，每一个元素都等于集合A中的两个数（可以相同）的和，求集合A的元素的个数的最小值。,解 设,其中,则,若n=6,则,由于,所以,又,所以,而,所以,矛盾,若,则由上可知，,不可能。,综上可知，,又当,时，集合A满足题述性质，且,故集合A的元素个数的最小值为9。,例3 设,项的数列,有下列的性质：对于S的任一非空子集B（B的 元素个数记为 ），在该数列中有相邻的,项恰好组成集合B，求 的
3、最小值。,解 首先，S中的每个数在数列,中至少出现2次，事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而不可能3个含这个数的二元子集都在数列相邻两项中出现。,由于S中的每个数在数列 中至少出现2次，所以，,下面，我们构造一个n=8且满足题设条件的例子，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4,就是满足条件的一个数列。综上所述，n的最小值为8。,例4 设,B是A的一个子,集，且B中的任意三个不同元素,都有,求 的最大值。,解 设,则,设,其中,且,由题设知,其中,（否则集B中就,有三个元素,使得,且,即,所以,是E中
4、互不相同的元素，故,又当,时，B中任意两,个不同元素,都有,从而,B满足题意。,综上所述，|B| 的最大值为n+1.,说明：例2，例3，例4，我们都是先求出一个上界或下界，然后再构造一个具体的例子来说明这个上界是可以达到的，这是,处理这种最值问题的常用手法，在实际解题时，我们往往先通过具体的例子猜出这个上界，然后再设法证明。,例5 设 对X的任一非空 子集M，M中的最大数与最小数的和称为M的特征，记为 ，求X的所有非空子集的特 征的平均数。,解 设,令,于是 是X的非空子集的全体（子集组成的集）Y到Y自身的满射，记X的非空子集为 （其中 ），则特征的平均数为,由于 中的最大数与 中的最小数的和
5、为101， 中最小数与 中的最大数的和也为101,故 从而特征的平均数为,例6 某班语文、数学、外语三门课程其中考试成绩统计结果：至少有一门课程得满分的学生只有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，外语得满分的有8人，语文、数学都得满分的有5人，数学、外语都得满分的有3人，语文、外语都得满分的有4人。问：,（1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有多少人？ （2）语文、数学、外语三门课程都得满分的学生有多少人？,解 设该班期中考试语文、数学、外语得满分的学生的集合分别为A、B、C，由题意知,（1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有,（人）,（2）语文、数学、外语都得满
6、分的学生有,（人）,例7 考虑集合 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则求“好子集”的数目。,解 方法一：,设一个“好子集”中有,个偶数，,则奇数的数目可以有,个，因此,“好子集”的数目为,方法二：,S的非空子集共有 （个），根据子集中偶数与奇数个数的多少可分为三类： （1）偶数多于奇数；（2）奇数多于偶数；,（3）奇数与偶数个数相等。由于S中的10个元素 偶数与奇数的个数相等，所以（1）、（2）的子 集数相等，现考虑第三类，分别考虑含有2、4、 6、8、10个元素子集的数目，则共有子集数为,所以，第一类子集数为,因此，“好子集”的数目为38
7、6+251=637（个）,例8 将集合 分拆为k个互不相交的非空子集 的并，并且对于每一个,其中任意两个不同的元素的和都不是完全平方数，求k的最小值。,解 首先，考虑数6、19、30，因为,所以，这3个数必须属于3个不,同的子集，于是,另一方面，集合 可以分拆为3个 互不相交的非空子集 的并，使得它们满,足题设条件，令,由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，所以，容易证 满足题设条件。,综上所述，k的最小值为3。,例9 将与105互质的所有正整数从小到大排成数 列，求这个数列的第1000项。,解 设,且,且,且,则,在1到105中，与105互质的数有,设与105互质的正整数按从小到大的顺序排列为,则,因为 所以,由于,所以,
