1、1. 连续函数的四则运算,2. 反函数与复合函数的连续性,3. 初等函数的连续性,基本初等函数在各自的定义域上都连续 .,初等函数在其各自的定义域上都连续 .,这里定义,区间指包含在其定义域内的区间 .,4. 闭区间上连续函数的性质,1.11 连续函数的运算与性质,一、连续函数的算术运算,定理1,则,例如,故,在其定义域内连续.,二、复合函数的连续性,定理2,若,连续,则有,证,恒有,又,对上述,当,时,恒有,结合上述两步得,当,时,恒有,意义,1.,2.,极限符号可以与连续函数符号互换;,定理3,且,则复合函数,注意,定理4是定理3的特殊情况.,例如,例 1,完,求,解,例,完,求,解,例
2、2,完,求,解,因为,所以,三、初等函数的连续性,的;,且连续;,调且连续;,在,内连续.,在它们的定义域内是连续,初等函数的连续性,定理4,基本初级函数,定理5,一切初级函数,定义区间是指,注意,1.,但在其,定义域内不一定连续.,例如,在这些孤立点的领域内没有定义.,及,在定义域内是连续的.,在其定义区间内都是连续的.,包含在定义域内的区间.,初等函数仅在其定义区间内连续,在这些孤立点的领域内没有定义.,及,在0点的领域内没有定义,2.,定义区间).,连续.,初等函数求极限的方法(代入法),完,例 3,完,求,解,且,是其定义区间内的点 ,处连续 ,于是,幂指函数,因为,故幂指函数可化为复
3、合函数.,易见:,若,则,即,注意公式成立的条件,例6,求,称为幂指函数.,解,完,定义,如果,有,例如,四、闭区间上连续函数的性质,定理6 最大值和最小值定理,在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值.,定理7 有界性定理,在闭区间上连续的函数,证,使得,有,取,完,一定在该区间上有界.,定义,的零点.,定理8零点定理,且,(即,即至少有,一点,使,那么在开区,定理9介值定理,且,在这区间的端点取不同的函数值,推论1,在闭区间上连续的函数,必取得介于最大值,例 5,完,证,证明方程,少有一个实根 .,令,又,由零点定理 ,使,即,方程,根,例 6,完,证,且,证明 :,使得,令,而,由零点定理 ,使,即,1.,设,试研究复合函数,2.,课堂练习,1.,设,试研究复合函数,解,又,故,是它的可去间断点 .,2.,解,设,由于,根据介值定理的推论可知，,内至少各有一个根 .,完,又因为三次方程的根最多有三个，,内容小结,1. 连续函数的四则运算,2. 反函数与复合函数的连续性,3. 初等函数的连续性,基本初等函数在各自的定义域上都连续 .,初等函数在其各自的定义域上都连续 .,这里定义,区间指包含在其定义域内的区间 .,4. 闭区间上连续函数的性质,
