1、眼科病床的合理安排1眼科病床的合理安排摘要首先，建立评价模型，模型包含四个主要指标（病床使用率 、病床周转w率 、患者等候入院的时间 、患者等候手术的占床位时间 ） 。利用这四个指n1t 2t标可以评价出安排模型的具体优缺点，然后考虑一个综合的评价方法对模型进行改进，建立改进模型，对这四个指标进行定量分析，利用偏大型柯西分部隶属函数确定权值，给出一个综合评价指标 ， 的值越接近 1 说明医院资源得到了越好的利用，模型越合理。其次，分别计算出 FCFS 模型的 、 、 、 得出 FCFS 模型的优缺点，wn1t2然后计算出 ，综合评价模型安排还是比较理想，但是还有很大改进714.0的空间。据此我
2、们针对 FCFS 模型缺点进行完善，将各类病患者入院先后问题进行量化，得出一个简化标准指数 ，由 ，得出在星期一和ijA31412A星期二优先青光眼和视网膜疾病的优先安排模型，利用新模型对题中还未住院的门诊患者做出安排对模型进行检验，计算出新模型的 、 、 、 进行比wnt2较得出新模型各方面都有所改善，然后计算出 比 高出 2.4 个百分786.0点，说明我们新模型较 FCFS 模型有了很大的提高，也验证得出新模型是非常合理的。再次，考虑到置信区间中的概率必须大于等于 95%，我们利用两种方式进行分类讨论说明，分析得出各种患者入院时间的区间。接着，考虑在双休日不安排手术的情况，由 ，得出在星
3、24134AA期四优先考虑让白内障患者入院。为了使青光眼和视网膜疾病的手术安排不受星期的影响，得出在当双休日不安排手术时需要将手术时间进行调整（调为星期二、四做白内障手术） 。最后，在对床位进行分类安排的时候，我们在保证外伤患者能得到及时医治的前提下，尽量缩小其它各种患者的等待时间，建立数据处理模型，统计出各种患者分配的床位数。同时，我们采用就诊流水线和谐模型优化，使得在整个就诊过程中，患者入院按照一定的模式正常运转而不发生中断，既增强了医院的资源有效利用，同时也简化了医院病床的安排方式。实现了医院与患者之间的和谐关系。关键词： 评价指标 隶属函数 FCFS 规则 条件优先规则 流水线眼科病床
4、的合理安排2一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤，题中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类患者的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类患者的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的患者比做一只眼的要多一
5、些，大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症患者是按照FCFS（First come, First serv
6、e）规则安排住院，但等待住院患者队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院患者数来确定第二天应该安排哪些患者住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。问题三：作为患者，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院患者及等待住院患者的统计情况，在患者门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时
7、间安排是否应做出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类患者占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有患者在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。眼科病床的合理安排3二、问题的分析与问题的准备问题分析：本题主要讨论的问题是如何确定指标用来评价病床安排模型的优劣，并根据该指标建立较好的模型来解决该眼科医院等候床位问题，要同时考虑到医院和患者双方，使医院的资源得到最有效利用的同时使患者等候的时间最短。从而达到一个双方都满意的结果。据此我们可以就患者方面考虑到患者的等待住院时间和患者等待手术的时间，然后就医院资源
8、利用方面考虑到病床的周转次数和病床的有效使用率。并就此四个指标综合考虑得到一个综合评价指标。问题一要求我们评价现在医院按FCFS的规则安排床位的优劣，这就需要对题中所给的数据进行整理和分析，根据数据分析整理后的结果，并就我们的评价指标来评价这个模型。问题二要求建立模型合理安排床位，模型必须解决 FCFS 模型的不足之处，又要继承其好的方面即要求我们扬其长避其短。我们可以从它的不足之处着手，着重于改进其不足。题中强调白内障患者只在星期一和星期三做手术且白内障（双眼）的患者只能是在星期一做第一只，星期三做第二只，并且同时其他非急诊手术不安排在这两个时间，考虑到白内障的手术准备时间是 1-2 天，所
9、以在安排时可以对这两者采取优先考虑星期天、星期一、星期二、星期六的方法。为了较好的比较这两种模型，我们可以利用题中所给的还未出院和未安排住院数据用新模型予以安排，根据我们得出的指标值，对比两者的优劣，来检验我们的模型，并据此评价新模型。问题三是要给出患者大概的等待时间，这个可以就上一问所作的安排表给出答案。问题四是在新模型的基础上，考虑双休对模型的影响，通过是否需要对手术时间的做出一种更接近现实的改进。问题五给出了根据各类患者的比例分配床位的方案，需要我们设计出使患者平均逗留时间最短的模型，此问题可以类比为公平席位分配的模型。我们可以根据各类患者的相对比值进行床位分配，得出一个最有效的分配关系
10、我们采用流水线和谐模型进行优化使得整个就诊过程按照一定的模式正常运转而不发生中断。问题准备：首先对题中所给的数进行分析，整理出按照出院时间顺序统计的患者住院的总时间（附表1）；每日出院人数、住院人数和门诊人数（附表2）；根据分类考虑各种病得到的数据（附表3）眼科病床的合理安排4三、符号说明符号 符号说明w病床的使用率n病床的周转次数1t患者平均等待住院的时间2患者平均等待手术的占床时间患者等待手术的占床时间r术前占床时间的有效利用率医院病床安排的综合指标1R实际占用总床日数0实际开放总床日数iN第 天的开放病床数iiM第 天的出院人数i第 个单一指标计算值ii第 个单一指标权重ijA为第 种病
11、的患者在第 天住院的简ijAj化评价指数m考虑对象的总人数四、基本假设1. 假设不考虑病床的消毒等清洁处理的时间2. 假设不考虑患者因其它原因不能及时手术或不能及时入院的状况3. 不考虑某些特殊原因的插队现象4. 假设医院的手术安排不会因任何外在因素而改变5. 假设题目所给的数据是普通随机数据，没有社会因素的影响（如奥运会）眼科病床的合理安排56. 假设患者一住进医院就可以进行手术准备，不考虑住院手续及整理的时间五、模型的建立与求解问题一的求解：病床利用情况包含：病床使用率、病床周转次数、床位利用效率、平均手术前准备时间（从住院到手术的中间时间）、平均住院日、平均开放病床数、实际开放总床位日数
12、、实际占用总床位日数、出院者占用总床位日数等指标。这些指标中以病床使用率、病床周转次数、平均等待时间（从问诊到入院的时间）和平均手术前准备时间（从住院到手术）这四项在考核评价过程中最为重要。首先我们分析该医院这四个指标。（1） 病床使用率（ ）w病床使用率是指患者实际占用总床位数 与医院实际开放总床数 的)(1R)(0R比值，它是说明病床使用程度的一个重要指标。卫生部门对医院管理评价的参考值为病床使用率90%。一般来说, 病床使用率在 93%左右时我们建议卫生部门对床位使用率的管理采用双侧临界值, 限定为 90%病床使用率120%, 这样对医院的医疗质量、服务质量等更具有约束力。具体公式表示为
13、：（1）01Rw通过附表1中的数据进行计算可以得出：从7月13日到8月8日中，由于之前的患者占据着一定数量的病床使得统计数据不精确，考虑到住院时间最长时间为18天，那么从7月31至8月8的数据很准确，用逆推得方式计算出实际占用总床位日数为603，实际开放总床数为711，计算得出 ；就采用在8月9日之后，出院人数和住院人数进入饱和状态，实%.4w际占用总床位日数N 1=实际开放总床位日数N 0，即每天退房后就有患者入住，病床利用率为100%。取两者的平均值： %7.96w由此可以看出FCFS模型对医院床位利用率是很好的。（2） 病床周转次数（ ）n病床周转次数是指一段时间内出院人数与病床开放数的
14、比值，它是说明病床使用程度的另一个指标。我们以每个月为单位时间进行计算，采用计算公式：(2)30301iiiiNMn那么利用附表2中的数据可以得出：从7月14日到8月12日的一个单位时间中眼科病床的合理安排6， ，3019iiM301478Nii 01.2n从8月13日到9月11日的一个单位时间中, ,30125ii301ii 6.3由于在8月9号之前的病床中出院的人数有很大部分不在本题统计患者的范围内，使得前一个月的统计数据有很大误差，我们以第二个月的统计数据为准，所以我们取 6.3n白内障患者的手术准备时间是1-2天，外伤是1天，其他患者的手术准备时间是2-3天，据此标准和统计的各类患者的
15、平均手术后留院观察时间及其所占的比例，计算得到医院的最优周转次数 的期望值介于3.3822-3.7406之间。与这个n标准相比，得到n的相对误差为6.57%，显示出FCFS模型的床位周转次数还有一定的提高空间，需要改进。当某医院开放床位不变,平均病床工作日增加时,实际病床使用率随之升高,而病床周转次数不一定增加。这样尽管病床使用率很高,实际服务的患者却不多。为了综合反映床位使用的频率、容量的比较, 我们通过对各种患者的平均等待住院时间和从住院到手术准备的平均占床时间进行统计。（3） 各类患者的平均等待住院时间 1t患者用于等待手术的占床位时间 2越长，患者就越不满意，而 过长则不仅会加重患者的
16、经济负担，也会1t降低医院的病床有效利用率。我们需要就题中的信息计算出着两个指标，整理题中所给的数据，记录分析的结果（附表 3），然后计算出均值整理如下表 1：表 1外伤 白内障（双眼） 白内障 青光眼 视网膜疾病(天)1t1 12.68 12.68 12.31 12.73(天)21 3.63 2.38 2.42 2.37白内障患者的手术前准备时间只需 1 或 2 天。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，按照此种标准，除外伤患者的两种时间均完全合理外，其他各种患者的 都大于 12 天，算到 平1t 1t均值为 12.6 天。白内障（双眼）患者的 超
17、过 2 天左右，白内障单眼的超过t1 天左右，其它两种病符合标准。的大小直接影响到等候队伍的长短。 超过的时间越大就越不利于床位t有效利用，直接影响到医院资源的有效利用。从这个指标的结果显示出 FCFS 模型的安排对于这两个方面因素考虑的是比较不理想。我们分别考虑了四个指标值，可以从不同的方面反映安排模型的优劣，能分门别类的评价出安排模型的优缺点。然而任何一个复杂的问题好坏都不是一个单一因素可以表述的清楚的，我们的评价模型单一的考虑四个指标，没有一个综合考虑的标准，也就是说我们不能对模型总体做出一个量化的评价，只能眼科病床的合理安排7是一个模糊的好坏概念。而且这个概念还带有很强的主观性。为了完
18、善模型，我们就模型的缺点就对模型进行了改进，在四个指标的基础上再增加一个综合指标。将这四个指标作为综合指标的四个影响因素，对其进行定量分析，利用偏大型柯西分部隶属函数确定的权值，给出一个综合评价指标 ， 的值越接近1说明医院资源得到了越好的利用，模型越合理。首先我们对四个评价指标作相应的规范化处理：显然病床的使用率是符合规范化的，因此，在这里我们也就可以不作相应的处理。周转次数进行规范化后：(3)ns1通过卫生部对眼科患者调查得到等待入院时间规范后的满意度如表 2：表 2等待天数（天）1 2 3 4 5 6 7 8满意度 100% 98% 95% 93% 88% 80% 72% 65%等待天数
19、（天）9 10 11 12 13 14 15 16满意度 60% 55% 48% 40% 30% 20% 10% 0从而得到平均的满意度是：（4）mii1平每种疾病的手术准备时间是不同的，因此我们分类讨论多余时间对医院有效资源产生的影响。显然我们可以知道多余的时间越小就是越好的利用到医院的资源。 1）考虑白内障的情况：(5)322,11)( （ ） （ ttg2）考虑青光眼和视网膜疾病的情况：(6)） （ ） （ 43,211)(2 ttg3）考虑外伤的情况：眼科病床的合理安排8(7)1)(3tg从而得到总的等待手术的占床时间的有效利用率：(8)mtgtrtt112)()(确定各个指标的权重：
20、首先对所确定的主要指标进行量化处理,从而给出评价指标的量化值,不妨设强度集为很强,较强,强,稍强,不强,对应的数值为 5,4,3,2,1。根据际情况取偏大型柯西分布隶属函数 2（9）11(),3()ln,5axbxfxcd其中 为待定系数，实际上强度为“很强”时则隶属度为 1，即 =1；,abcd (5)f当强度为“强”时，则隶属度为 0.8，即 ；当强度为“没有”时，(3)0.8f则认为隶属度为 0.01，即 ；于是可以确定出 ，(1)0.f.6a， ， 。将其代入（6）式可得隶属函数；0.8942b0.395c39d211.08(.94),3()395ln,5xxfx（10）经计算 则强度
21、集很强,强,较强,稍强,不强的(2)0.54,()0.9126ff量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01） 。利用此量化值对评价指标进行赋权处理结果见表 3；表 3 影响因素的权值表影响因素 病床的利用率 周转次数 等待住院时间 等待手术时间赋予值 很强 强 较强 稍强隶属值 1 0.9126 0.8 0.5245归一权值 0.308 0.281 0.249 0.162综合考虑以上各指标的影响，给出医院病床安排合理与否的综合指标 ：（11）41ii 显然， 的值是在区间0，1之间， 越趋近于 1，医院的病床安排越合理，反之越不合理。利用 MATLAB 软件计算，通过附表 3
22、 中的数据进行统计来求出综合指标：取表 3 归一后的权值得到 T62.0,492.,0眼科病床的合理安排9由前面得到： ， ，%7.961w683.02s通过统计得到等待入院时间和人数的关系如表 4：表 4等待时间（天）10 11 12 13 14 15 16人数 7 32 132 127 48 16 3将数据代入公式（4）中，可以得到结果： 325.03657.183 平我们先考虑白内障与等待手术时间的关系如表 5：表 5等待手术时间（天）1 或 2 3 4 5 6 7白内障人数63 26 23 27 9 6此时外伤等待手术的时间都是 1 天，青光眼和视网膜疾病等待的手术时间都是 2 或 3
23、 天，没有多余的等待，所以等待手术的占床有效率都为 1。将数据代入公式（8） ，可以得到： 832.0425.374r即得到： .,.0,6897.带入公式（11）中得到 714.062.98.3*.0,325.,6897. 从 的值为 0.7147，我们可以得到本题中的眼科医院病床安排的是比较合理的，但同时可以看到患者等待的时间太长了和病床的周转次数不大，使得综合指标具有一定的上升空间。问题二的求解：经过我们以上的分析和评价，我们知道 FCFS 模型在手术前等待时间的处理上不是很好，我们知道手术前的等待时间是关系到患者和医院两方面的一个重要指标，这个指标的计算值不高直接的影响是导致综合指标相
24、对较低，为此我们从这个方向着手，建立一个新安排模型。在 FCFS 的规则下，考虑到每周一、三做白内障手术，此类患者的手术前准备时间只需 1 或 2 天。做两只眼的患者比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。青光眼和视网膜疾病大眼科病床的合理安排10致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。外伤是一种急症，并且偶然性太大了。现我们把问题一中的评价引入问题二，进行简化来安排病床，在四个指标中，根据八月份的进院和出院人数相等，使用
25、率一直是在 100%，对评价指数的影响是相同的，在这里就可不在进行考虑进去，所以就只考虑后面三者的影响。为第 i（i=1,2,3,4）种病的患者在第 j（j=1,2,3,4,5,6,7）天住院的简化ijA评价指数。其中 i=1 为白内障（双眼） ，i=2 是单眼白内障，i=3 为青光眼，i=4为视网膜疾病。第 j（j=1,2,3,4,5,6,7）天是相应的从星期一到星期天。通过计算得到公式： ） （ ） ， （ 7,6*249.0368. 54321208.1 jjAj ） （ ） （ 5,432319.0*4.8*162.0 212 jjj ） （ 7,6,29.34. jAj ） （ 54
26、31*205j由上面的公式得到：青光眼和视网膜疾病的简化评价指数仅与等待入院时间的满意度有关系，而且青光眼的简化评价指数比视网膜疾病的简化评价指数更大，也就是能达到更好的效果，白内障不仅和满意度有关系，而且受具体哪天的影响，在相同星期几时，单眼白内障的简化评价指数比白内障（双眼）的简化评价指数更大，也是能达到更好的效果。由等待时间我们可以得到平均的满意度 代入公式得到结果是 ，因此，当在星%40,1 31412AA期一或星期二有白内障（双眼）的患者时，我们不按照 FCFS 规则，而是先让青光眼患者和视网膜疾病患者入院再让双眼的白内障患者等到星期天入院。通过上面的分析：我们可以得到如何进行病床的安排，通过计算 的大小，ij然后进行比较，把 值更大的先安排，具体的过程是先把白内障（双眼）患者ijA安排在星期天，若是星期天的人数安排满了时，我们可以再把白内障（双眼）患者安排在星期六，这样往后进行推理安排，当白内障（双眼）患者考虑完时，我们再进行考虑单眼的白内障患者，单眼白内障患者的入院时间可以在星期一，星期二，星期六，星期天，到底安排在星期几，主要是使患者入院的等待时间更短，在安排青光眼和视网膜疾病的床位时，因为其它的影响是一定的，我们
