1、圆与圆位置关系单元试题一、选择题1(2009海南、宁夏)已知圆 C1：( x1) 2(y1) 21，圆 C2 与圆 C1 关于直线xy10 对称，则圆 C2 的方程为( )A(x 2)2(y2) 21 B(x2) 2( y2) 21C(x2) 2( y2) 21 D( x2) 2(y2) 21解析：设点(x， y)与圆 C1 的圆 心( 1,1)关于直线 xy10 对称，则Error!解得Error!从而可知圆 C2 的圆心为(2， 2)，又知其半径为 1，故所求圆 C2 的方程为(x2) 2( y2) 21. 答案：B2(2009重庆)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2) 的圆的方
2、程是( )Ax 2(y2) 21 Bx 2( y2) 21C(x1) 2( y3) 21 Dx 2( y3) 21解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为 x2(y2) 21. 答案：A3当 a 为任意实数时，直线(a1) xy a10 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 为5半径的圆的方程为( )Ax 2y 22x4y 0 Bx 2y 22x4y0Cx 2 y22x4y 0 Dx 2y 22x4y 0解析：由(a1)x y a10 得 a(x1) (xy1)0，直线恒过定点(1,2)，圆的方程为(x1) 2(y 2) 25，即 x2y 22x 4y0. 答案：C4方程 x2y 24kx2y
3、 k0 表示圆的充要条件是( )A. k1 Bk 或 k114 14Ck R Dk 或 k114解析：此方程表示圆的充要条件是(4k) 2(2) 24k 0，即 4k2k10.(*)1 244 10，(*)式恒成立， k R. 答案：C5过点 A(1， 1)，B(1,1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( )A(x 3)2(y1) 24 B(x3) 2( y1) 24C(x1) 2( y1) 24 D( x1) 2(y1) 24解析：由题意得线段 AB 的中点 C 的坐标为(0,0) ，直线 AB 的斜率为 kAB1，则过点 C 且垂直于 AB 的直线方程 yx，圆心坐标(x，y)满足
4、Error! 得 yx1，从而圆的半径为 2，1 12 1 12因此，所求圆的方程为(x 1) 2(y1) 24. 答案：C6(2011福州模拟)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)，且被 x 轴分成两段弧长之比为 2，则圆的方程为( )A. 2y 2 B. 2y 2(x 33) 43 (x 33) 13Cx 2 2 Dx 2 2(y 33) 43 (y 33) 13解析：(排除法)由圆心在 y 轴 上， 则排除 A、B，再由过(1,0)，故半径大于 1，排除 D. 答案：C二、填空题7若圆 x2y 2(a 21)x2aya0 关于直线 xy 1 0 对称，则实数 a 的值为_解析：
5、依题意知直线 xy 10 经过圆 x2y 2(a 21) x2aya0 的圆心，( a2 12 ， a)所以 a10，解得 a3 或 a1，a2 12当 a1 时，方程 x2y 2(a 21) x2ay a0 不能表示圆，所以只能取 a3. 答案：38若圆 x2(y1) 21 上任意一点( x，y) 都使不等式 xym0 恒成立，则实数 m的取值范围是_解析：据题意圆 x2( y1) 21 上所有的点都在直线 xym0 的右上方Error!m 的取值范围是 m1 . 2答案：m1 29(2011南通调研)已知 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)是圆 x2y 22 上两点，O 为坐标原点，
6、且AOB120，则 x1x2y 1y2_.解析：O (x 1，y1)，O (x 2，y2)，O ，O 120，A B A B 则 x1x2y 1y2O O |O |O |cos1202 1. A B A B ( 12)答案：1三、解答题10(2010衡阳模拟)根据下列条件求圆的方程(1)经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x3y10 上；(2)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)；(3)过三点 A(1,12)，B(7,10) ，C (9,2)解析：(1)设圆的标准方程为( xa) 2(yb) 2r 2，由题意列出方程组Error!解之得 Erro
7、r!圆的标准方程是(x4) 2(y3) 225.(2)方法一：设圆的标准方程为( xa) 2(yb) 2r 2，则有Error! 解得Error!圆的方程为(x1) 2(y 4) 28.方法二：过切点且与 xy 10 垂直的直线为 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1， 4)半径 r 2 ，1 32 4 22 2所求圆的方程为(x1) 2(y4) 28.(3)方法一 设圆的一般方程为 x2y 2Dx Ey F0，则Error!解得Error!所求圆的方程为 x2y 22x 4y950.方法二：由 A(1,12)，B(7,10)，得 A、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ，则 AB
8、的中垂线方13程为 3xy10.同理得 AC 的中垂线方程为 xy30.联立Error! 得Error!即圆心坐标为(1,2)，半径 r 10.1 12 2 122所求的圆的方程为(x1) 2 (y2) 2100. 11设定点 M(3,4) ，动点 N 在圆 x2y 24 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解析：如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐 标为 ，线段 MN 的中点(x2，y2)坐标为 .(x0 32 ，y0 42 )因为平行四边形的对角线互相平分，故 ， ，从而 Error!x2 x0 32 y2 y0 42N(x
9、3，y4)在圆上，故(x3) 2(y4) 24.因此所求轨迹为圆：(x3) 2 (y4) 24，但应除去点 和 (点 P 在 OM( 95，125) ( 215，285)所在的直线上的情况). 12(2010烟台一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 的2圆 C 与直线 y x 相切于坐标原点 O.(1)求圆 C 的方程；(2)试探求圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)设圆心为 C(a，b)，由 OC 与直线 yx 垂直，知 O、C 两点的斜率 kO
10、C 1，故 ba，ba则|OC| 2 ，即 2 ，2 a2 b2 2可解得Error! 或Error!结合点 C(a，b)位于第二象限知Error!故圆 C 的方程为(x2) 2(y 2) 28.(2)假设存在 Q(m，n)符合题意，则Error! 解得Error!故圆 C 上存在异于原点的点 Q 符合题意. (45，125)自助餐选做题1若圆 x2y 23n 2 至少覆盖函数 f(x) sin 的两个最大值点和两个最小值点，则3xn正整数 n 的最小值为( )A1 B2 C3 D4解析：因为 f(x) sin 为奇函数，图像关于原点对称，令 ，解得 f(x)距原点最3xn xn 32近的一个最小值点 P ，由题意 3n2 2( )2，得正整数 n 的最小值为 2.(3n2， 3) (3n2) 3答案：B2以点 A(3,0)，B(0，3)，C 为顶点的三角形与圆 x2y 2R 2(R0)没有公(157，247)共点，则圆半径 R 的取值范围是_解析：如图，若圆与ABC 没有公共点，需考 虑两种情况：圆在三角形内部；圆在三角形外部当圆在三角形内部时，圆与 BC 边相切时，半径最大， 为 ；当圆在三角形外部时，圆31010过点 C 时半径最小，为 . 3897答案： (0，31010) (3897 ， )
