1、广东省成人高考网 第 1 页 版权所有 不得复制年 级 高升专/本 学 科 数学 版 本 广东成人高考专用教材内容标题 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性编稿老师 广东省成人高考网教材编写组数学组【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三. 教学重点：函数性质的运用四. 教学难点：函数性质的理解。学习过程一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：换元法（ 注意新元的取值范围）待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）整体代换（配凑法）构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（
2、x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域求用解析式yf（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集 R；若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集；若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符
3、合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数） ；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函数）)0(kxy（4）函数的单调性：特别关注 的图象及性质)0(kxy广东省成人高考网 第 2 页 版权所有 不得复制（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法： （3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差
4、是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（x）的关系。f（x） f（ x）0 f（x） f（x） f（x）为偶函数；f（x）+f（x）0 f（x ） f（x） f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）f（x）
5、 ，则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意 x满足：f （x+a）f（xa） ，则 2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例 1. 若集合 Aa 1，a 2，a 3，B b 1，b 2 求从集合 A 到集合 B 的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A 、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f 叫做从集合A到集合B 的映射。这里要掌握关键的两个词“任何” 、 “唯一” 。对于本例，集合Aa 1，a 2，a 3中的每一个元素的象都有
6、b 1 或b 2 这两种情形，由乘法原理可知，A到B 的映射的个数共有N2 228 个。例 2. 线段|BC|4，BC 的中点为 M，点 A 与 B、C 两点的距离之和为 6，设|AM|y ，|AB|x，求 yf（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，广东省成人高考网 第 3 页 版权所有 不得复制x22 2+y24ycosAMB （6x） 22 2+y24ycos（180AMB） + x 2+（6x） 22y 2+8 y 2x 26x+14又 x26x+14（x3） 2+5 恒正， 146x又三点A、B、C能构成三角形x)6(41x52若三
7、点A、B、C共线，由题意可知，x+46x，x1 或 4+6xx x5综上所述： 1462y)(说明：第一，首先要分析三点A 、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例 3. 设 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x1 时，yf（x）的图象是经过点（2，0） ，斜率为 1 的射线，又在 yf（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2） ，且过点（1，1）的一段抛物线，试写出函数 f（x）的表达式，并在图中作出其图象。 解：（1）当x1 时，设f（ x）x+b射线过点（2
8、，0） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 02+b即b2，f （x）x+2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）当10，b0）是奇函数，当 x0 时，x2f（x）有最小值 2，其中 b N 且 f（1）0，b0，x0，f（x） 2 ，1a当且仅当x 时等号成立，于是 2 2，ab 2，a1由f（1） 得 即 ，2b 25b+20，解得 b2，又25bb151bN，b1，a1，f （x）x+ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）设存在一点（x 0，y 0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x 0，y 0）也在yf（x ）的
9、图象上，则00201)(yx消去y 0 得x 022x 010，x 01 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j yf（x）的图象上存在两点（ 1+ ，2 ） ， （1 ，2 ）关于（1，0）对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 10. 已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）在 0，+）上是增函数，是否存在实数 m，使 f（cos23）+f （4m2mcos）f（0）对所有 0， 都成立？若2存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 广东省成人高考网 第 7 页 版权所有 不得复制解
10、：f（x）是R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 于是不等式可等价地转化为f （cos2 3）f（2mcos 4m） ，即cos232mcos4m，即cos 2mcos+2m 20 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设tcos，则问题等价地转化为函数g（t） t 2mt+2m2（t ） 2 +2m2 在0，1上的值恒为正，又转m4化为函数g（t）在0，1上的最小值为正 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 0 m1 与m02 4242 1，即m2 时，g（1）m10 m1 头htp:/w.
11、xjkygcom126t:/.j m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是 m4 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 另法（仅限当m能够解出的情况） cos2mcos+2m20 对于0， 恒成2立，等价于m（2 cos2）/（2 cos） 对于0， 恒成立2当0， 时， （2 cos2）/（2cos） 42 ，m42 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 11. 设 a 为实数，记函数 f（x）a 的最大值为 g（a） 。211xx（1）设t ，求 t的取值范围并把f （x）表示为t 的函数m（t） ；（2）求g（a） ；（3）求满足g（a）g（ ）的
12、所有实数a.a解：（1）t 1x要使t有意义，必须有 1+x 0 且 1x0，即1x1.t 22+2 2 ，4，t0 2t的取值范围是 ，2由得 x21m（t）a（ t2） t at2+ta， t ，2 11（2）由题意知g（a）即为函数m（t） at2+ta， t ，2 的最大值.2注意到直线t 是抛物线 m（t） at2+ta的对称轴，分下列情况讨论.1a1当a0 时，函数ym（t） ， t ，2 的图像是开口向上的抛物线的一段，由广东省成人高考网 第 8 页 版权所有 不得复制t 当a0 时，m（t）t， t ，2， g（a）2.2当 a 时，g（a ）a+2 ，123当 时，a ， ，
13、所以 ，1,2a2,112ag（a） 2 .因此当a 时，g（a） .12)(当a0 时， 0，由g（a）g（ ）知a+2 +2 解得a1.1a当a1 时f （x）等于（ ）A. f（x）（x+3） 21 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j. f（x）（x3） 21C. f（x）（x3） 2+1 D. f（x）（x1） 215. 函数 的值域是 （ ）42)(xyA. （，1） B. 1，+ C. （0，1） D. 0，16. 的值域是 （ ）)28(3logxA. y2 B. y 2 C. yR D. y0（二）填空题7. 若f（x）为奇函数，且在（0，+ ）内是增函数，又
14、 f（3）0，则xf（x）0 ，b0）是奇函数，当x0 时，2f（x）有最小值 2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x） 2 ，xx12a当且仅当x 时等号成立，于是 2 2，ab 2，a1由f（1） 得 即 ，2b 25b+20，解得 b2，又25bb151bN，b1，a1，f （x）x+ 。（2）设存在一点（x 0，y 0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x 0，y 0）也在yf（x ）图象上，则00201)(yx消去y 0 得x 022x 010，x 01 。 yf（x）图象上存在两点（ 1+ ，2 ） ， （1 ，2 ）关于（1，0）对。14. （1）证明：y
15、f（x）是以 5 为周期的周期函数，广东省成人高考网 第 12 页 版权所有 不得复制f（4）f （45）f （1） ，又yf（x） （1x1）是奇函数， f （1）f（1）f（4） ，f （1）+f（ 4）0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）解：当x1，4时，由题意，可设f（x）a（x2） 25（a0） ，由f（1）+f（4）0得a（12） 25+a （42） 250，解得a2，f（x）2（x2） 25（1x4） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （3）解：yf（x） （1 x1）是奇函数，f（0）f（0） ，f （0）0，又yf（x） （0x1）是一次函数，可设f（x）kx（0x1 ） ，f（1）2（12） 25 3， f（1）k1k， k3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 0x1 时，f（x） 3x，当1x0 时，f（x） 3x，当 4x6 时，1x51，f（x）f （x5） 3（x5）3x+15，当 6x9 时，1x54，f（x）f（x5）2（x5）2 2 52（x7） 25 f（x） )96( )7(4 3x资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客 http:/
