1、第五章 相似矩阵及二次型,向量的内积 矩阵的特征值与特征向量的概念及计算 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型,5.1 向量组的正交化,一、向量内积,三、正交矩阵,二、正交向量组,空间解析几何向量运算回顾,一、向量内积,1. 内积的定义,例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T。则a和b的内积为,=(-1)2+10+0(-1)+23,=4,设a，b，g为Rn中的任意向量，则(1) a，b = b ， a ；(2) ka，b = ka，b ；(3) a+b， g = a，g + b ，g ；(4) a，a 0，当且仅当a=0时，有a，a =
2、0。,下页,2. 内积的性质：,3. 向量的模：,【定义】对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，数,称为向量a的模（长度），也称为向量范数。,例如，a=(-3, 4)T的长度为：,(1)|a|0，当且仅当a=0时，有|a|=0；(2)|ka|=|k|a| (k为实数)；(3) |a+ b | |a| |b|。(4)对任意向量a，b，有| （a，b） |a|b|。,下页,向量模的性质：,长度为1的向量称为单位向量。记为：0,4. 单位向量：,如果向量a与b的都不是零向量，它们的夹角定义为：,5. 两个非零向量的夹角：,二、正交向量组,1. 几个概念,对于n维向量、 ，若a，b =0
3、，则称向量与是互相正交(垂直)的。如 零向量与任意向量正交。又如,正交向量：,正交向量组：若Rn中，s个非零n维向量 a1，a2，as两两正交，即 (ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组。,如：Rn中的单位坐标向量组e1，e2，en，是两两正交，(ei,ej)=0(ij)，且均为单位向量。,下页,正交规范向量组： 如果正交向量组a1，a2，as的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。,例1、已知两向量,解、,(例1的一般化, 也称正交基的扩张定理),设 是 中的一个正交向量组, ,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基.,记,必有非零解.,其任一非零解即为所求的
4、,证明：设a1，a2，as为正交向量组，且有数k1，k2，ks，使k1a1+k2a2+ +ksas=0。,【定理】Rn中的正交向量组是线性无关的向量组。,2.正交向量组与线性无关向量组,Kiai, ai=0，,上式两边与向量组中的任意向量ai作内积，,ai , k1a1+k2a2+ +ksas=0 (1is)，,可得,于是 a1，a2，as是线性无关的向量组。,但 ai0，有ai,ai0。 所以 ki=0 (1is)，,正交向量组,线性无关向量组,？,对任意一个线性无关向量组可以找到一个与它等价的正交向量组，即向量组的正交化。,五、施密特正交化过程,找与 等价的正交向量组,以三个向量 为例,
5、从几何直观上去求.,上式两边与 做内积, 注意 得,从而,我们已求得 已正交, 再求构造,(1)式两边与 内积, 注意,得,(1)式两边再与 内积, 类似可得,从而,对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，as，令,b1=a1，,向量组b1，b2，bs是正交向量组，并且与向量 组a1，a2， as可以相互线性表示。 并且这两个向量组等价。,下页,3. 施密特正交化方法,例2 试用施密特方法化向量组为正交向量组,解 令, 1,2,3是正交向量组, 10,20,30是正交规范向量组,三、正交矩阵,1. 定义 如果 n 阶实矩阵 A 满足 ATA =E，则称 A 为正交矩阵。,例如，单位矩阵E为正交矩
6、阵；,（4）. 若A为正交矩阵，则AT（ A 1，A*）也是正交矩阵,（2）若A为正交矩阵，则A可逆，且A-1=AT,（3）若B、 A都是正交矩阵，则BA也是正交矩阵,事实上 (AT )TAT= A AT=E,(A*)T A*=(|A | A-1 )T( |A | A-1 )= |A | 2 （A-1）T A-1 =E,2. 正交矩阵的性质,（A-1）T A-1 = （A-1）T AT= （A A-1）T=E,（1）若A为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1；,ATA =E，,|AT|A| =|E|=1，,|A|2=1,证明,定理,为正交矩阵的充要条件是 的行(列)向量都 是单位向量且两两正交,正交矩阵与正交规范向量组,例,解,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,施密特正交化公式,正交矩阵的特征,作业： P137：1 （2）， 3，4,要求：,
