1、第2章 逻辑函数及其化简,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,教学基本要求,要求掌握：（1）逻辑代数的基本定律和定理。（2）逻辑问题的描述方法。（3）逻辑函数的化简方法。 本章重点：（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。（2）常用公式。（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。（
2、4）最小项和最大项概念。（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。,2.1.1 逻辑代数的概念,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,逻辑代数(布尔代数),逻辑代数(Logic Algebra) 也称布尔代数(Boolean Algebra)，它是英国数学家乔治.布尔(George Boole)于1849年提出
3、来的。,布尔代数简单得不能再简单了。运算的元素只有两个:1 （TRUE， 真) 和 0（FALSE，假)。基本的运算只有“与”（AND)、“或” (OR) 和“非”（NOT) 三种。全部运算只用下列几张真值表就能完全地描述清楚。,布尔的运算,AND | 10 -1 | 1 0 0 | 0 0,OR | 1 0 - 1 | 1 1 0 | 1 0,NOT | -1 | 0 0 | 1,这张表说明如果 AND 运算的两个元素有一个是 0，则运算结果总是 0。如果两个元素都是 1，运算结果是 1。,这张表说明如果OR运算的两个元素有一个是 1，则运算结果总是 1。如果两个元素都是 0，运算结果是 0
4、。,这张表说明 NOT 运算把 1 变成 0，把 0 变成 1。,简单的理论能解决什么实际问题,读者也许会问这么简单的理论能解决什么实际问题。布尔同时代的数学家们也有同样的问题。,事实上在布尔代数提出后80 多年里，它确实没有什么像样的应用。,克劳德.香农,直到 克劳德.香农在1938年麻省理工学院所写的硕士论文A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits（继电器和开关电路的分析）中指出并分析：布尔代数可以由开关电路实现，并可以指导电路设计，才使得布尔代数成为数字电路的基础。所有的数学和逻辑运算，加、减、乘、除、乘方、开方等等，全部能转
5、换成二值的布尔运算。,继电器的使用,继电器的使用：不同于传统开关，继电器用电来控制开关的闭合，所以输出的电压是由输入的电压决定的，而通电为1,断电为0。这样就可以实现布尔代数的基本形式。,于是，自然而然地产生了“与”门，“或”门和“非”门电路，对应于布尔代数基本形式的“与、或、非”三种场景。,*,随之，不考虑进位的“半加器” 和考虑进位的“全加器” ，由门电路（包括与非，或非和非电路）设计出来了，这样，完成了到进位加的上层逻辑。之后，把“全加器”级联，于是8位二进制加法器设计出来了，这样，完成了更上层的逻辑（二进制数加法）。而计算机所做的唯一运算，就是加法运算，其他运算可以由加法运算得出。所以
6、，计算机就是布尔代数的精确演义！从底层逻辑到上层逻辑，非常精密！,*数学理论的魅力,高度的抽象性及其带来的符号化、形式化是数学的基本特征之一。不同的实际问题经抽象、概括后，可得到相同的数学概念、运算法则，乃至同一数学理论。反之，同一数学概念、运算法则和数学理论可应用到表面看来完全不同的实际问题中。,开关电路,布尔代数又称开关函数、逻辑函数，所以 数字电路又称为数字逻辑电路、逻辑电路和 开关电路。(其基本运算由开关电路演义形成）,逻辑代数的形式,逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为 L = K ,+ , - ,0 ,1
7、 ,2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,逻辑变量,逻辑代数和普通代数一样，也是用字母表示其值可以变化的量，即变量。需注意的是：,1任何逻辑变量的取值只有两种可能性：取值0或取值1,2取值无大小、正负之分,基本逻辑运算,基本逻辑运算,逻辑代数中定义了“与”、“或”、 “非”
8、三种基本运算。,与运算:,与运算(逻辑乘)表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。（条件均具备，事件才发生）,与运算,开关电路表示：,开关A，B串联,开关电路表示,两个开关必须同时接通，灯才亮。,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,A、B都接通，灯亮。,功能表和真值表,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。（正逻辑编码）可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,功能表,真值表,这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。,逻辑表达式、运算和波形图,与运算可以用逻辑表达式表示为,波形图,读
9、作A与B（A乘B）,与门,图(a)为我国常用的传统符号， 图(b)为国外流行的符号， 图(c)为国标符号,实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：,与门逻辑符号,或运算,或运算(逻辑加)表示这样一种逻辑关系：当决定一事件结果的所有条件，至少有一个具备时，结果才能发生。（某个条件具备，事件即发生）,功能表、真值表和波形图,真值表,功能表,或运算和逻辑表达式,或运算可以用逻辑表达式表示为,读作A或B（A加B）,或门,图(a)为我国常用的传统符号, 图(b)为国外流行的符号， 图(c)为国标符号,实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：,非运算,开关电路表示：,非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条
10、件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。,非运算的表示,逻辑符号,非运算可以用逻辑表达式表示为,(读作A非),三种基本运算的逻辑符号,基本运算的逻辑符号(教材P15),正逻辑、负逻辑的概念,高有效信号（正逻辑）,低有效信号（负逻辑）,在电路中，用电压的高低来表示逻辑值,2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2
11、.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,逻辑函数的定义,为了刻画各种复杂的逻辑关系，引出了逻辑函数的概念一、逻辑函数的定义,从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下：设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1 、A2 、 、An ，输出逻辑变量为F。如果A1 、A2 、 、An的值确定后，F的值就唯一地被确定下来，则F被称为A1 、A2 、 、An的逻辑函数，记为F = f(A1,A2, ，An),逻辑函数的特点：,逻辑函数具有它自身的特点：,1逻辑函数F = f(A1,A2, ，An)和逻辑变量A1、 A2 、 、 An一样，取值只有0和1两种可能 ； 2函数和变量之间的关系是由“或
12、”、“与”、“非”3种基本运算决定的。,逻辑函数的表示法,二、逻辑函数的表示法,常用的表示方法：真值表描述法逻辑表达式描述法逻辑图描述法波形图描述法,逻辑函数的相等,三、逻辑函数的相等,设有两个相同变量的逻辑函数: F1=f1(A1, A2, An) F2=f2(A1, A2, An)如果对应于A1、 A2、 、An的任何一组取值(共2n组)，F1和F2的值都相等，则称F1= F2，或者F1和F2有相同的真值表。,逻辑函数运算的优先级规定,逻辑函数运算的优先级规定：, F1= F2,真值表,逻辑问题的描述,例：某公司有A、B、C 三个股东，分别占有公司50%、30%和20%的股份。一个议案要获
13、得通过，必须有超过50%股权的股东投赞成票。试列出该公司表决电路的真值表。,解：用1表示股东赞成议案，用 0表示股东不赞成议案；用F表示表决结果，且用1表示议案获得通过，用0表示议案未获得通过。根据这些假定（编码），不难列出该公司表决电路的真值表，如下表所示。,例,真值表,0 0 0,1 1 1,0,0 0 1,0,0 1 0,0,0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,0,1,1,1,例：某公司有A、B、C 三个股东，分别占有公司50%、30%和20%的股份。一个议案要获得通过，必须有超过50%股权的股东投赞成票。试列出该公司表决电路的真值表。,逻辑函数最常用形式,由真值表可以很
14、方便地写出输出变量的函数表达式。通常有两种方法：,这两种形式是逻辑函数最常用形式。,与-或表达式（积之和式） 或-与表达式（和之积式）,与-或表达式(积之和) 与项的逻辑或构成的逻辑函数。,与-或表达式(积之和),1）把每个输出变量F1 的相对应一组输入变量（A，B，C，）的组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变量取值为1，用反变量形式表示变量取值0）； 2）再将所有F1 的逻辑乘进行逻辑加，即得出F的逻辑函数表达式。,表决结果F的表达式,或-与表达式 (和之积) 或项的逻辑与构成的逻辑函数。,或-与表达式 (和之积),1）把每个输出变量F0 的相对应一组输入变量（A，B，C，）的组合状态以
15、逻辑加形式表示（用原变量表示变量取值为0，用反变量形式表示变量取值1）； 2）再将所有F0 的逻辑加进行逻辑乘，即得出F的逻辑函数表达式。,表决结果F的表达式,*课堂练习1,写出教材P21表2-1-12（b）中P的函数表达式,*课堂练习2,写出下述问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。,0 0 0,1 1 1,0,0 0 1,0,0 1 0,0,1,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,0,1,1,1,例：有A、B、C三个输入信号，当三个输入信号有两个或者两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。,2.1.4 复合逻辑运算,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑
16、代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,与非、 或非、 与或非,或非逻辑运算是或运算和非运算的组合， 即,与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即,一、 与非、 或非、 与或非逻辑运算,与非逻辑运算是与运算和非运算的组合， 即,复合逻辑门,异或逻辑,当两个输入变量相异时，输出为1；相同时输出为0。是异或运算的符号。 异或运算也称模2加运算。
17、,异或逻辑真值表,二、 异或和同或逻辑运算,逻辑表达式为,异或逻辑,同或逻辑,同或逻辑与异或逻辑相反，它表示当两个输入变量相同时输出为1；相异时输出为0。 是同或运算的符号。 ,表 2-6 同或逻辑真值表,F = AB,同或逻辑,其逻辑表达式为,异或门和同或门的逻辑符号,异或门和同或门的逻辑符号 (a) 异或门； (b) 同或门,F,B,F,A,(,a,),F,A,A,B,B,1,F,B,F,A,(,b,),F,A,A,B,B,1,异或逻辑与同或逻辑的关系,由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 “互补”,AB,异或逻辑与同或逻辑真值表,*一对特殊函数,异或与同或运算互为对偶式。
18、如果 F=AB, G=AB， 不难证明F*=G, G*=F。 因此可以将“ ”作为“”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。,2.1.5 逻辑代数的基本定律,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,基本定律,取反律,一、变量与常量的定律,0-1律,
19、自等律,互补律,重叠律,非非律,基本定律,二、 类似普通代数的定律,交换律 结合律 分配律,特殊定律,三、 逻辑代数中的特殊定律,反演律 合并律 吸收律 吸收律 包含律,包含律又称添加项或多余项定律,有关说明, F1= F2,四、说明,1、公式中的变量应作广义理解它可以代表一个式子； 2、公式反映变量之间的是逻辑关系，而不是数量关系（不能移项）； 3、证明两逻辑函数相等可用列真值表证明。,2.1.6 逻辑代数运算的基本规则,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2
20、.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,三个基本规则,代入规则 反演规则 对偶规则,代入规则,任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。,代入规则,意义在于变量的扩展,反演规则,反演规则又称德摩根定律，或称互补规则,a.反演式（反函数）,“”,“+”,“0”,“1”,变量,反变量,“”,“+”,“0”,“1”,主要用于较方便地求出补函数（反函数）,例,注意事项, 在运用反演规则时几个变量（一个以上）上的公共非号应保
21、持不变。,注意：, 注意运算符号的优先顺序先算括号再进行与，最后进行或运算；,对偶规则,对偶规则,a. 对偶式,“”,“+”,“0”,“1”,变量,变量,“”,“+”,“0”,“1”,b. 规则 如果两个逻辑函数F和G相等， 那么它们各自的对偶式F*和G* 也相等。,意义在于公式的扩展和化简变换。,例,解：,例 利用对偶规则求对偶式：,*例,解：,例 利用对偶规则求对偶式：,2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6
22、逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,逻辑函数表达式的基本形式,与-或式：与项的逻辑或构成的逻辑函数。(积之和),或-与式：或项的逻辑与构成的逻辑函数。(和之积),一、逻辑函数表达式的基本形式,这两种形式是逻辑函数最常用形式。,例,逻辑函数的表达式不是唯一的。 例如,逻辑函数表达式的标准形式,二、逻辑函数表达式的标准形式,标准积之和式也叫标准与-或式、最小项表达式标准和之积式也叫标准或-与式、最大项表达式,最小项表达式, 最小项(minterm)及其特性 最小项,n变量函数最多组成 ？
23、个最小项：,1.最小项表达式,3个变量A、B、C可组成的最小项：,2n,n 个变量逻辑函数的最小项，是由n 个变量组成的乘积项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次。,最小项编号,为了便于书写和表述，常用符号mi来表示某个最小项。这里m表示最小项，下标 i是最小项的编号。,把使某最小项为1的变量取值组合看作为一组二进制数，这个二进制数所对应的十进制数就是最小项的下标i的编号。,最小项代数式,二进制代码 000 ， 001,最小项编号 m0 ， m1,例,最小项代数式,二进制代码 000， 001， 010， 011， 100，101，110，111,根据代数式可以写出函数
24、的最小项编号，反之，如果知道了某函数的变量数、变量排列顺序和最小项的编号，就可以方便地写出相应的代数式。,最小项编号 m0， m1， m2， m3， m4， m5， m6， m7,最小项性质,1) 对任意一组输入变量取值组合，有且仅有一个最小项取值为1，其余最小项均为0。,3) 所有最小项之和恒为1 (mi =1) 。,2)对同一组变量取值，任意两个不同最小项的乘积为0 ( mi mj=0 ) 。,标准与或式, 最小项表达式标准与或式,如果与或表达式中的每个乘积项均是最小项，则这个表达式就是最小项表达式，也称为标准与或式。一个逻辑函数的最小项表达式是唯一的。,该式是不是最小项表达式?,该式是不
25、是最小项表达式?,不是，该表达式有三个变量，但每个乘积项均未包含所有的变量。,如果该表达式是一个四变量逻辑函数，则为最小项表达式。因为每个乘积项均包含所有的变量。,最小项编号之和的形式,为了方便起见，上式可以写成最小项编号之和的形式。,注意：括号中的A,B,C,D，既表明了该逻辑函数有四个输入变量，同时还表明了在对最小项编号时，变量A在最左边，其次是B，然后是C，最后是D。,将上式的变量顺序调整为DCBA，其最小项编号之和的形式如何？,如果改变了变量的排列顺序，同一逻辑函数的形式，在表达式中的编号将发生变化。,真值表与最小项表达式的关系,（3）真值表与最小项表达式的关系,1,非标准与或式展开为
26、标准与或式,(4)非标准与或式展开为标准与或式,如果函数的与或表达式中的某些乘积项不是最小项，若需要把它展开为最小项表达式，可以在非最小项的乘积项中乘以所缺变量组成的1(如B+B)，再用乘法分配律展开，经整理后消去重复的最小项，最后得到的就是最小项表达式。,例,【例】 把 转换为最小项表达式。,最大项表达式, 最大项(Maxterm)及其特性 最大项定义,n个变量的逻辑函数有多少个最大项？,2.最大项表达式,n 个变量逻辑函数的最大项是由n 个变量组成的求和项，且每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。,2n,最大项的编号,为了便于书写和表述，常用符号Mi来表示某个最大项。这里M表示最大项
27、，下标 i是最大项的编号。把使某最大项为0的变量取值组合看作为一组二进制数，这个二进制数所对应的十进制数就是最大项的下标i的编号。,二进制代码 000，001， 010，011，100，101，110，111,最大项代数式,最大项编号 M0， M1， M2， M3， M4， M5， M6， M7,反之，如果知道了某函数的变量数、变量排列顺序和最大项的编号，就可以方便地写出相应的代数式。, 最大项性质,1) 对任意一组输入变量取值组合，有且仅有一个最大项取值为0，其余最大项均为1。,2)同一组变量取值, 任意两个不同最大项的和为1,3) 所有最大项之积恒为0。,标准或与式, 最大项表达式标准或与
28、式,如果或与表达式中的每个求和项均是最大项，则这个表达式就是最大项表达式，也称为标准或与式。一个逻辑函数的最大项表达式是唯一的。,该式是不是最大项表达式?,该式是不是最大项表达式?,不是，该表达式有三个变量，但每个求和项均未包含所有的变量。,如果该表达式是一个四变量逻辑函数，则为最大项表达式。因为每个乘积项均包含所有的变量。,最大项编号之积的形式,为了方便起见，上式可以写成最大项编号之积的形式。,注意：括号中的A,B,C,D，既表明了该逻辑函数有4个输入变量，同时还表明了在对最大项编号时，变量A在最左边，其次是B，然后是C，最后是D。,真值表与最大项表达式的关系,(3)真值表与最大项表达式的关
29、系,最小项与最大项的关系,最小项代数式,最小项编号 m0， m1， m2， m3， m4， m5， m6， m7,最大项代数式,最大项编号 M0， M1， M2， M3， M4， M5， M6， M7,即,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,最小项与最大项的关系,真值表的左边 000 001 010 011 100 101 110 111,2.2 逻辑函数的化简,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的
30、形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,目的,目的：减少实现指定逻辑函数的成本,化简的形式和方法,两级实现最简形式: (1) 项数最少(2) 在项数最少的条件下，项内变量数最少,一般化为最简与或表达式。由于表达式的对偶性，不难求出最简或与表达式。,有三种化简的方法：公式法、图解法、列表法,2.2.1 公式法（代数法）,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数
31、表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,公式法（代数法）,代数法化简逻辑函数就是利用逻辑代数的基本定律和定理对逻辑函数进行化简。常用的代数化简法有以下几种。, 并项法 吸收法 消去法 配项法,并项法,一、并项法,利用公式 将两项合并成一项，并消去互补因子。如：,吸收法和消去法,二、吸收法,利用A+AB=A的公式，消去多余项。,三、消去法,利用 消去多余的因子,配项法,四、配项法,(吸收法),与-或式的简化,例1：有原始逻辑函数表达式为,1 “与-或”式的简化,例,解：,(摩根定律),(消去法),(吸收法),(消去法),例,解,(并
32、项法，,(并项法),消去法),例2：有原始逻辑函数表达式为：,例,例3：设计一个逻辑电路，当三个输入A，B，C中至少有两个为低时，则该电路输出为高。,要求：(1)建立真值表；(2)根据真值表写出布尔代数表达式；(3)简化表达式。,解 (1),A B C F,0 0 0 1,0 0 1 1,0 1 0 1,0 1 1 0,1 0 0 1,1 0 1 0,1 1 0 0,1 1 1 0,(2),化简,(3),“或-与”式的化简,2. “或-与”式的化简,a. 利用对偶公式,b. 利用对偶规则或反演规则，将“或-与”式转化为“与-或”式进行化简,再对偶或反演为原函数。,=A+C,F=(F*)* =A
33、C,代数化简的局限性,化简方法技巧性太强,难以判断最后结果是否最简,卡诺图法可以较简便地得到最简结果,代数化简的局限性：,2.2.2 图解法（卡诺图法）,2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.4 复合逻辑运算2.1.5 逻辑代数的基本定律2.1.6 逻辑代数运算的基本规则2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）,图解法(卡诺图法)重点,1、什么是卡诺图 2、用卡诺图表示逻辑函数的方法 3、利用卡诺图合并最小项的规律 4、利用卡诺
34、图化简逻辑函数 5、任意项的使用,卡诺图描述法,逻辑函数常用的表示法,真值表描述法 逻辑表达式描述法 逻辑图描述法 波形图描述法 卡诺图描述法,1、什么是卡诺图,卡诺图是由美国工程师Maurice Karnaugh于1950年首先提出来的，故称之为卡诺图，简称K图。卡诺图是用作图的方法化简逻辑函数，具有形象直观、方便易懂的优点，是化简逻辑函数较有效的工具。,定义,定义：如果将真值表变换成方格图的形式，按循环码的规则来排列变量的取值组合，所得的真值图称为卡诺图。,将真值表变换成卡诺图:,1) 是将变量分成两组。 如果是3变量，则分成AB一组，C一组； 如果是4变量，则分成AB一组，CD一组; -
35、 2) 每一组变量取值组合按循环码的规则排列。,什么是循环码,所谓循环码，是相邻两组之间只有一个变量值不同的编码。(排列规律P34-35),3变量卡诺图,4变量卡诺图,5变量卡诺图,2、用卡诺图表示逻辑函数的方法,由于任意一个n变量的逻辑函数都可以变换成最小项表达式。 而n变量的卡诺图包含了n个变量的所有最小项，所以n变量的卡诺图可以表示n变量的任意一个逻辑函数。,填写卡诺图 a、最小项表达式（标准与-或表达式） b、一般与或表达式（非标准的与-或表达式）,按标准逻辑函数填写卡诺图, 最小项表达式根据逻辑函数所包含的最小项，在卡诺图相应编号的方格中填入1，其余方格填入0(或不填)，则可构成该函
36、数的卡诺图。,填1的小方格称为1格，填0的小方格称为0格。1格的含义是，当函数的变量取值与该小方格代表的最小项相同时，函数值为1。,例,例 用卡诺图表示逻辑函数,按非标准逻辑函数填写卡诺图,对于一个非标准的逻辑函数表达式（即不是最小项表达式），可以将逻辑函数变换成最小项表达式再填图。,【例】,例,采用直接观察法，填写卡诺图,有些非标准的逻辑函数变换成最小项表达式十分繁琐，可以采用直接观察法，填写卡诺图。,观察法的基本原理是，在逻辑函数与-或式中，乘积项中只要有一个变量因子的值0，该乘积项则为0；只有所有变量因子值全部为1，该乘积项才为1。如果乘积项没有包含全部变量（非最小项），只要乘积项现有变
37、量因子能满足使该乘积项为1的条件。该乘积项值即为1。（P36）,具体地说就是：一个乘积项只要不是最小项，那么它在卡诺图中所覆盖的方格就不只一个方格。缺少一个变量，该乘积项就覆盖二个方格。缺少两个变量，该乘积项就覆盖四个方格。缺少i个变量，该乘积项就覆盖2i个方格。,例 用卡诺图表示,解：先确定使每个乘积项为1的输入变量取值组合，再在卡诺图对应的方格中填入1。,：要使该乘积项为1，只需取A=1、B=0、C=1即可，与D的取值无关。在卡诺图中找到AB=10的列和C=1的行，它们相交之处的方格(m10，m11)就应填入1,D,例,例如：,解：,：要使该乘积项为1，只需取A=0、B=1、C=0即可，与
38、D的取值无关。在卡诺图中找到AB=01的列和C=0的行，它们相交之处的方格(m4，m5)就应填入1,相邻项,相邻项的概念,由于卡诺图变量取值按循环码的规律排列，使处在相邻位置的最小项都只有一个变量表现出取值0和1的差别，因此，凡在卡诺图中处于相邻位置的最小项均为相邻项，可以合并。,如果两个乘积项有一个因子互补，且其余因子完全相同，则称这两个乘积项是逻辑相邻的。,任意一个n变量的最小项有n个相邻项。,卡诺图使得逻辑相邻的最小项在图中几何相邻。,例,卡诺图化简法的一般规律,卡诺图化简法的一般规律: 相邻二方格合并 相邻四方格合并 相邻八方格合并,相邻二方格合并：任何两个逻辑相邻的最小项组合，可以消
39、去一个取值不同的变量，合并为一项。,相邻四方格组合,相邻四方格合并：任何四个相邻的最小项组合，可以消去两个取值不同的变量，合并为一项。,F(A,B.C.D)=m(1,3,5,7),01,例,相邻八方格组合, 相邻八方格合并：任何八个相邻的最小项组合,可以消去三个取值不同的变量,合并为一项。,3、利用卡诺图合并最小项的规律,在卡诺图中合并最小项，将图中相邻1格加圈标志，每个圈内必须包含2i个相邻1格。在n变量的卡诺图中， 2i个相邻1格圈在一起时，圈内有i个变量有0、1的变化，合并后乘积项由（n-i）个没有0、1变化的变量组成。,4、利用卡诺图化简逻辑函数,在卡诺图上化简逻辑函数时，采用圈圈合并
40、最小项的方法， 1） 函数化简后乘积项的数目等于合并圈的数目， 2） 每个乘积项所含变量因子的数目，取决于合并圈的大小，每个合并圈应尽可能地扩大。,为了说明在卡诺图上化简逻辑函数的方法，先要介绍几个概念：主要项、必要项、多余项。,主要项,主要项：在卡诺图中，把2i个相邻1格进行合并，如果合并图不能再扩大，这样的圈得到的合并乘积项称为主要项（素项或本原蕴含项）,必要项,必要项:凡是主要项圈中至少有一个“特定1 格”没有被其它主要项所覆盖，这个主要项称为必要项或实质必要项。注：逻辑函数最简式中的乘积项都是必要项。,多余项,多余项：一个主要项圈内所包含的1格均被其它主要项所覆盖，这个主要项就是多余项
41、（冗余项）。,卡诺图化简逻辑函数的步骤,(1) 作出所要化简函数的卡诺图(画图、填图）。 (2) 圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项。 (3) 找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻1格圈起来（包含2i个1格），构成主要项。 (4) 余下没有被覆盖的1格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有1格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。 （5）将全部包围圈的公因子相加，得最简与或表达式。,例,解: 作出相应的卡诺图,圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项,找出只有一种合并可能的最小项，并从它出发把相邻2i个最小项格圈起来构成主要项。如 ，从 出
42、发,圈出包含 、 、 、 的圈,例,所以，所有最小项都至少被一个圈覆盖，而且每个圈中都包含有“特定”的最小项,只被一个圈覆盖。,余下没有被覆盖的1格均有两种或两种以上合并的可能，可以选其中一种合并方式，直至使所有1格无遗漏地都至少被圈一次而且总全数最少 。,化简结果：,右图为错误化简结果,中间的大圈为多余项。,例,解 该函数的卡诺图如图(a)所示，化简情况如图(b) 、（c）所示。,例,例,图(c)是正确结果，即,例,例,求,的最简与或式。,解： 画出F的的卡诺图。给出的F为一般与或式，将每个与项所覆盖的最小项都填1。,例, 画卡诺图圈化简函数。 写出最简与或式。 本例有两种圈法， 都可以得到
43、最简式。 按图(a)圈法：,按图(b)圈法：,该例说明，逻辑函数的最简式不是唯一的。,5、任意项的使用,(1)任意项：在一个逻辑函数中，变量的某些取值不会出现，或者函数在变量的某些组合输出不确定，可能为0，也可能为1，这样的变量的取值组合（最小项）称为任意项。(无关项、约束项、随意项),表示： 表达式中 d (或 ) 卡渃图中 ,非完全描述的逻辑函数,带有任意项的逻辑函数表示方法:,(2) 具有任意项的逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数。,合理地利用任意项,原则：化简时， d (或 ， ) 取1或取0，应以得到的相邻最小项组合最大，且组合数目最少为原则。当该非确定项能使 函数简化时，则取1，否则
44、取0 。,对非完全描述的逻辑函数，合理地利用任意项，常能使逻辑函数的表达式进一步简化。,例,例：,不利用约束项，d 取0,利用约束项，m8、m12、m15取1,CD,化简后应联立约束条件,注意：对于非完全描述函数的化简，凡是1格都必须加圈覆盖，化简后的逻辑函数表达式已成为完全描述逻辑函数，因为在化简过程中已对任意项赋予了确定的输出值。,为不改变函数的性质，化简后应联立约束条件。 如上例化简结果准确为：,或与逻辑形式圈0法,圈0法与圈1法表达式的写法基本相同，所不同的是由 2i 个 0 构成的圈，由圈内取值不变的变量相或来表示，以原变量表示变量取值为0，以反变量表示变量取值为1，所有的相加项圈相
45、与，构成最简或-与式。,例,例 求,的最简或与表达式 。,6、5变量卡诺图的化简,5变量卡诺图,例,例 化简,解:,A=0,A=1,例,方法一：,例,方法二：,方法一和方法二哪个正确,7、多输出函数的化简,多输出函数的方框图,单独化简每一个输出函数后再拚凑在一起，结果未必会 得到最简的逻辑图。对多输出函数的简化，需找出各函数间 所有可能的共用项。则对于多输出函数的化简有下列要求： 第一，每个输出函数的乘积项（和项）要求最少，任何一个乘积项（和项）的输入变量也要求最少。 第二，各个已被简化了的输出函数，应尽可能地共用乘积项（和项），这样有利于减少使用门的个数。,7、多输出函数的化简,例,例 对多
46、输出函数,解 ： 各自的卡诺图和各自的化简结果如下图所示,例,如将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如图所示。,小结化简原则,不可漏圈； 不怕重复；能大勿小(圈要尽可能大) ；无多余圈(圈数最少),不可漏圈,不可漏圈,不怕重复,不怕重复,?,?,例,必须使每个含1的方格(最小项)至少被圈一次 可以多次圈,不怕重复,1 1 1,1,能大勿小,能大勿小,?,例,每个圈包含尽可能多的方格，可消除尽可能多的变量，则逻辑门电路输入端子数少。每个圈中包含的1方格的个数必须是2的整数次方。,无多余圈,无多余圈(圈数最少),?,例,所有的方格包含在尽可能少的不同圈中。每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不包含的。 圈数越少，乘积项越少，逻辑门电路数越少。,作业,作业（第2章） P51 2-1，2-8，2-9(2)-(10),*作业反映的问题：,1、最小项相应的编码位置填1，最大项相应的编码位置填0； 2、对卡诺图熟悉后，根据表达式填卡诺图，一般都采用直接观察法，很少将表达式化简成最小项表达式，然后再填卡诺图； 3、真值表和卡诺图要规范，要有表格形式，即有框子； 4、5变量卡诺图化简时一般都是分成两个4变量卡诺图进行化简，而不是在一张表上化简。同时化简时要考虑两个表格有没有相同位置的圈。 5、含任意项时，对化简有作用的任意项就利用，没有作用的就不用管它，任意项不一定要全部圈上。,
