1、第八节 复势理论在平面渗流问题中的应用,复变函数在某区域内解析时，其实部和虚部为共轭的调和函数；表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，因此可用复变函数来表征渗流场，通过对复变函数的研究来求解较复杂的渗流问题；通过复变函数的保角变换，可把一个复杂的渗流场变为一个简单的渗流场进行处理。,一、势函数、流函数及复势,1、势函数和流函数,单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为：,有,在无源区域内，因,即,（1）,（2）,将（1）代入有：,渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则 称势函数或速度势。,（3）,由（3）式知，势函数满足Laplace方程。,C1为一常数，表示一条等势线。,vx,v,
2、vy,ds,dy,dx,x,y,S,设在渗流场中有流线S，其中一点M处的切线方向，为该点流体质点运动方向。设M点渗流速度为v，则在x、y方向的分速度为vx、vy。在M点沿流线S取一微小增量dS，则在x、y方向的增量为dx、dy，由相似关系有：,M,即,（4）,（4）为流线方程。,因无源渗流场中，,即,（5）,（5）式表示（4）式是某一函数的全微分，并用d 表示：,（6）,（a）,（a）为全微分的充要条件是,全微分函数,（6）式积分有：,则称为流函数， 为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。,由（6）式知渗流速度与流函数关系：,（7）,因渗流场为有势场，其旋度,即,有,将（7）式代
3、入有：,即流函数也满足Laplace方程。,由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数（x，y）和流函数（x，y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为：,（9）,（8）,（9）式为柯西-黎曼（Chuchy-Rieman）条件。,证明势函数与流函数正交：,沿等势线，势函数的全微分为零，即：,则等势线上任一点处的切线斜率为：,（10）,沿流线，流函数的全微分也为零：,则流线上任一点处的切线斜率为：,（11）,所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。,因势函数和流函数满足C-R条件，则任知其中一个可求出另一个，从而确定渗流场。,（12）,例1、求线
4、性渗流时势函数及流函数,由达西定律知：,则,所以：,由C-R条件,单向流势,则,为单向流流函数,例2、设已知生产井的势,求流函数。,解、,则,因,又,即,则,（13）,2、平面渗流场的复势,如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为共轭调和函数。又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为：,（14）,由（14）式：,即,（15）,例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。,解：,习题：54、55、56、57,二、复势叠加原理,
5、1、平面上点源和点汇的复势,生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为：,点源的复势为：,即：,（1）,（1）式中，w（z）距汇点任意处的复势；z复平面上任意点；r复变量z的模； 复变量z的幅角。,井点为点源时，复势为：,如井点在任意点A=a+ib，其复势为：,（2）,势函数流函数为：,z,rA,A,y,x,（3）,2、复势叠加原理,若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：,因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。,（4）,且,则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进
6、行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。,如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2.An,则任意点复势为：,则势函数为：,流函数为：,（7）,（6）,（5）,三、复势理论在解决多井工作问题中的应用,（一）无限地层中的等产量一源一汇,r2,r1,2,由复势叠加原理：,（1）,则势函数为：,流函数为：,（3）,（2）,由（2）式可得等势线方程。,由（3）式：,为流线方程,则,令,化简为：,配方得：,（4）,（5）,流线为圆。,地层中任意点的渗流速度：,由,则,二、一对等产量的汇,2,r1,r2,M,由复势叠加原理，M点的复势为：,（1）,则势函数为：,（2）,流函
7、数为：,（3）,当,时为流线,令,上式化简为：,（4）,流线方程为双曲线方程，C0为无穷时，有x=0或y=0，即x轴和y轴都是流线，其中y轴为分流线。,地层中任意点的渗流速度为：,r为任意点M到原点的距离，M点取在原点时，r为0，渗流速度为零，为死油点。,补充习题：,已知平面渗流场的复势,求势函数和流函数。,第九节 平面渗流问题的保角变换求解法,一、保角变换的概念,1、z平面到 平面上的变换,在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数 = +i ， 与z之间有关系z=z（ ）或= （z），则,or,即,（1）,（1）式确定了平面z上的点与上的点的对应关系， = （z）是单值或多值，则z平面上
8、对应平面上一点或几点。如：,则,即在z平面上给定一点，在平面上可得到对应的一点。,同样z平面上一条线在面上有对应的一条或几条线。对于z平面上的一个渗流场，同样可在面上有对应的渗流场。,2、解析函数的导数和幅角,设解析函数= （z）把z平面一点z=x+iy变换到平面内 = +i 的一点。用M和 分别代表函数在z点的导数的摸和幅角，即,或,（2）,由（2）式知，在d /dz=0时，变换= （z）使z点处很短的线伸长或缩短了M倍，并旋转了一个角。这样在z点附近很小的图形变换到平面内具有与原来相同的形状，在z平面两条相交的曲线间的夹角变换到平面内保持不变，称这种变换为保角变换。,3、变换前后井半径的关
9、系,复平面z上有一口半径为Rw的井，通过变换到平面上将有一口半径为 w的井与之对应。,x,z,y,Rw,l,dn, w,dv,由（2）式知：,或,（3）,4、井产量变换前后不变,（4）,由（2）式：,（5）,代入（4）有：,（6）,表示对应井产量相等。,二、例设z平面上的单向流动复势为：,则,作变换：,则,即,三、保角变换的应用,1、直线供给边沿附近一口井,x,y,z,a,Pw，Rw,x,x, e,Pw,作变换,（1）,令z=ia，得=0,令z=x，由（1）式有：,即,说明z平面上的x轴变为平面上半径为 e的圆周。,（3）,即在平面为圆形地层中心井问题，产量公式为：,把（3）代入：,（4）,保
10、角变换的求解方法：寻找一个适当的变换，将复杂的物平面变为较易求解的像平面，求出像平面的产量公式后，再利用变换式把参数代回物平面，从而得到实际问题的解。,2、圆形地层一口偏心井,x,y,Z0， Rw,d,w,Re,pw,作变换：,（5）,为Z0的共轭复数,则Z平面Z0点变到平面=0点,在Z平面圆周上任取一点Z，代入（5）式：,即Z平面半径为Re圆周上的点对应平面为单位圆周上的点。又,因,则,（7）,为偏心井产量公式。,第十节 等值渗流阻力法,利用水电相似原理，以电路图来描述渗流场，然后按电路定律来求解复杂的多井排渗流问题的方法，叫等值渗流阻力法。,一、水电相似原理,2a,pw,+q,x,pe,直
11、线供给边沿附近一排生产井，单井产量公式为,L,井排产量为：,（1）,式中,相当于液流渗过Bh断面面积，流经L距离的阻力,相当于从各井周围一个假想的供给边沿（供给半径为a/）流经各井的渗流阻力的并联，用渗流内外阻表示为：,（2）,（3）,则（1）为：,（4）,（5）,在电学中，两电阻串联时的电流为,（4）、（5）具有物理相似，称水电相似。,上述问题的实际渗流场与假想渗流场及等值渗流阻力图为,在圆形供给边沿内半径为R的圆上有一环形井排，井相距2a，单井产量公式为：,环形井排产量：,（6）,又2 R=n2a，即R/n=a/ ，则（6）式可写为：,（7）,渗流内外阻为：,二、等值渗流阻力法在多井排上的应用,L1,L2,L3,PE,2a1、n1、PW1,2a2、n2、PW2,2a3、n3、PW3,B,1、一个三面封闭一边液源供给的油藏内3排井,用等值渗流阻力法求解：,1）绘等值电路图,Rin1,2）计算内外阻,由电路定律列方程有,2、圆形地层环形井排,R1,Rin,Pin，nin,pin,Rin,1）等值电路图,2）内外阻,3）列电路图,由上式可求产量和压力,
