1、数学 A（理）,2.4 二次函数与幂函数,第二章 函数概念与基本初等函数,例1 已知函数f(x)x22ax3，x4,6. (1)当a2时，求f(x)的最值；,题型一 二次函数的图象和性质,解析,思维升华,解 当a2时， f(x)x24x3(x2)21， 由于x4,6， f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增， f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15， 故f(x)的最大值是35.,例1 已知函数f(x)x22ax3，x4,6. (1)当a2时，求f(x)的最值；,题型一 二次函数的图象和性质,解析,思维升华,二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间
2、定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；,例1 已知函数f(x)x22ax3，x4,6. (1)当a2时，求f(x)的最值；,题型一 二次函数的图象和性质,解析,思维升华,例1 (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；,解析,思维升华,解 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa， 所以要使f(x)在4,6上是单调函数， 应有a4或a6， 即a6或a4.,例1 (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；,解析,思维升华,二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对
3、称轴进行分析讨论求解.,例1 (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；,解析,思维升华,例1 (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间.,解析,思维升华,解 当a1时， f(x)x22x3， f(|x|)x22|x|3， 此时定义域为x6,6，,例1 (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间.,解析,思维升华,f(|x|)的单调递增区间是(0,6， 单调递减区间是6,0.,例1 (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间.,解析,思维升华,跟踪训练1 (1)如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_.,5,(2)若函数f
4、(x)2x2mx1在区间1，)上递增，则f(1)的取值范围是_.,(，3,例2 已知函数f(x)ax2bx1 (a，bR)，xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；,题型二 二次函数的应用,解析,思维升华,有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.,例2 已知函数f(x)ax2bx1 (a，bR)，xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；,题型二 二次函数的应用,解析,思维升华,例2 (2)在(1)的条件下，f(x
5、)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围.,解析,思维升华,解 f(x)xk在区间3,1上恒成立， 转化为x2x1k在区间3，1上恒成立. 设g(x)x2x1,x3,1， 则g(x)在3，1上递减. g(x)ming(1)1. k1， 即k的取值范围为(，1).,例2 (2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围.,解析,思维升华,跟踪训练2 已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；,(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数.,解析,答案,思维升华,题型三 幂函数的图象和性质,例3 (1)已知幂函
6、数f(x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.1或2,由于f(x)为幂函数， 所以n22n21， 解得n1或n3，经检验只有n1适合题意， 故选B.,题型三 幂函数的图象和性质,例3 (1)已知幂函数f(x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析,答案,思维升华,由于f(x)为幂函数， 所以n22n21， 解得n1或n3，经检验只有n1适合题意， 故选B.,题型三 幂函数的图象和性质,例3 (1)已知幂函数f(x)(n22n2)
7、(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析,答案,思维升华,B,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数.当是分数时，一般将其先化为根式，再判断.,题型三 幂函数的图象和性质,例3 (1)已知幂函数f(x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析,答案,思维升华,B,解析,答案,思维升华,例3 (2)若(2m1) (m2m1) ，则实数m的取值范围是(
8、),因为函数yx 的定义域为0，)，,且在定义域内为增函数，,例3 (2)若(2m1) (m2m1) ，则实数m的取值范围是( ),解析,答案,思维升华,解m2m10，,解2m10，得m ；,解2m1m2m1，得1m2，,例3 (2)若(2m1) (m2m1) ，则实数m的取值范围是( ),D,解析,答案,思维升华,若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.,例3 (2)若(2m1) (m2m1) ，则实数m的取值范围是( ),D,解析,答案,思维升华,跟踪训练3 (1)已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_.,解析 函数f(x)(m2m
9、1)x5m3是幂函数， m2m11，解得m2或m1. 当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数； 当m1时,5m32，函数yx2在(0，)上是增函数. m1.,1,(2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_.,解析 易知函数yx 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,参数
10、a的值确定f(x)图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,解 (1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，,f(x)minf(1)2.,(2)当a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x .,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,当
11、1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，,f(x)在0，上递减，在 ，1上递增.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,当 1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，,f(x)在0,1上递减. f(x)minf(1)a2.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,(3)当a0时，f(x)ax2
12、2x的图象的开口方向向下，,且对称轴x 0，在y轴的左侧，,f(x)ax22x在0,1上递减. f(x)minf(1)a2.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.,思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用,(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分
13、类讨论.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.,方 法 与 技 巧,2.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律 (1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.,方 法 与 技 巧,3.幂函数yx(R)图象的特征 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.,失 误 与 防 范,1.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.,2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,
