1、二元 一次不定方程知识要点和基本方法1当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程只讨论有二个未知数的一次不定方程 2一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解例 1 解方程 83yx解：由原方程，易得 因此，对 的任意一个值，都有一个 与之对应，此时yx与 的值必定满足原方程，故这样的 与 是原方程的一组解，即原方程的解可表为xyx其中 为任意数k8k整数解问题：例 2 求方程 的整数解863yx解：因为 ， 所以，不论 与 取何整数，总有 但 不能整)2(xy,63yx除 8
2、，因此，不论 与 取何整数， 都不可能等于 8，即原方程无整数解63定理 1：整系数方程 有整数解的充分而且必要条件是 与 的最大公约数 能整除cba abdc例 3 求方程 的整数解410yx解：因为 4 与 10 的最大公约数为 2，而 34 是 2 的倍数，由定理得，原方程有整数解。两边约去 2 后，得 故 ，因此，要使 取得整数，1 =15，,7551xyyx27，即我们找到方程的一组解 设原方程的所有解的表达式为：y ,3,0代入原方程，得 （ 为整数）2 与 5 互nmx31 0527)()(2nmnm,质，所以 为整数）由此得到原方程的所有解为 （ 为任意整数）k,5kyx31定
3、理 2。若 与 的最大公约数为 1（即 与 互质）， 为二元一次整系数不定方程abab0,的一组整数解（也称为特解），则 的所有解（也称通解）为cyx cyx其中 为任意整数k0但不定方程 很难直接找到一组整数解10519yx例 4 求方程 的整数解。23解：由 ，所以当且仅当 是 3 的倍数时，取 得34y,3y即 是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为,135x,yx（ 为任意整数）ky例 5 求方程 的整数解315yx解：由原方程得： 要使方程有整数解， 必须为整数，3120yx 31y取 得 ，故 是原方程的一组解，因此，,2y 74302,x原方程的所有整数解为 （ 为任意整数
4、）ky257例 6：若干只 6 脚蟋蟀和 8 脚蜘蛛，共有 46 只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有 x 只蟋蟀只，蜘蛛 y 只，则方程 6x+8y=46，即 3x+4y=23， ，变形为342yx， 又 为正整数，且 能被 3 整除， 或 ，37y,6124y5把 ， 代入得方程的正整数解为2551,x例 7：用 16 元钱买面值为 20 分、60 分、1 元的三种邮票共 18 枚，每枚邮票至少买 1 枚，共有多少种不同的买法？解：设买面值为 20 分的邮票 x 枚，面值为 60 分的邮票 y 枚，则买面值为 1 元的邮票为枚，根据题意得 ，即 ，)18(yx 60)8(062xy 52
5、yx由 又 ，,125 ,1258因此 可取的正整数值为 1，2；当 时， , 当 时，34，均符合,正整数解问题例 1 求方程 的正整数解。35yx解：我们知道 的所有整数解为 为任意整数）1kyx(3257故要求原方程的正整数解，只要使 即可，所以 ，注意0,03257k到 为整数，所以 得所有正整数解k1,0k5;27yx例 2 求方程 的正整数解。735yx解：原方程可化为 ，即 其中 为原方程的一组整数解，)1(3x4,x因此，原方程的所有整数解为 （ 为任意整数）ky541令 得： （ 为整数）0,yx305431k 3,210k原方程可得无穷多组正整数解 （ ）kyx541,例
6、3 求方程 的正整数解。125yx解：如果方程有正整数解，则 因此 ， 这个方程无正,1yx165yx2整数解。说明：一般地，若方程 中， ，则这个方程无正整数解。cbacba,0.例 4 如果三个既约真分数 的分子都加上 ，这时得到的三个分数的和为 6，求这三6,432个既约真分数的积。解：由题意得 ，整理得 问题转化为求 ,6413ba的正整数解。 ，不定方程有一组整数解 它的所6413ba421ba214ba有整数解为为任意整数）令 ，得不等式组k(20, 3103214kk整数 。因此方程有两组正整数解 ， 与 为既约真分数，所以1;0 5;ba6b是它的唯一解，因此所求的积为5,3b
7、a 16432例 5 今有 36 块砖，36 人搬，男搬 4 块，女搬 3 块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？解：设男、女、小孩分别为 人，又题意列方程组： ；消去 得zyx, 3624zyxz；观察得 是方程的一个解；所以方程的通解为7513657yx 3,0yx（ 为整数）。又依题意得 ；t 1,9，又 为整数，故只有 则735127309tt t 3,0yxt 0z答：有男 3 人，女 3 人，小孩 30 人。例 6 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车 32 人）。起初每车乘 22 人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原
8、来有多少辆汽车？这批游人有多少？解：设原有汽车 辆，总人数为 ，由已知条件：x)1(xn321)(nxx是人数，应为正整数， ， 或 23，n2312x或 共有汽车 24 辆，游人共 529 人。45,x,nx例 7 求方程 的正整数解1985)2(yx解： ， 应是正整数，故有以下四种可能：397518, 901;,196352198;2 yxyxyxxyx其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）例 8：某剧场共有座位 1000 个，排成若干排，总排数大于 16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？解：设剧场共有 x 排座位，第一排有 个座位，则第 排有座位 个，根据题
9、意得nx)1(xn， 均为正整数，所以 为奇数，且 是21012)( xn , x1000 的正约数。 的正奇约数只有 5，25，125， 不,52035,6合题意，又当 时， 舍）x(468n当 时， ，符合题意，答：剧场共有 25 排座位。5例：一个正整数与 13 的和为 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？解：由题意得 （ 是正整数），可得 ，2163kx2, 51,5222121 kk要使 最小，则 取最小值，当 时， ，此时2401k37x例：若 都是正整数，且 求 的值。ba, ,50baba解：由已知可得 ，观察可得 ，于是不定2310 ,2a
10、方程的解为 为整数）， 是正整数，tt(42,57,，得 ，知3,0t 15079,70bt例：设 和 大于 0 的整数，且 若 和 最大公约数为 15，则mn,2nmn；若 和 的最小公倍数为 45，则_ _m解： 的最大公约数为 15，可令 为正整数），由已知,2121,.(5, kk得 的解为 ，而 且3,254523211kk tt36121k为正整数，有 ，知 ；当 时 （舍去），1,k06tt ,t,当 时， ，此时 和 的最小0t, mnn,902 n公倍数为 45，可令 为正整数），由已知得 ，由dnm(,11 541d得 ，于是有 ，则只有 ，253nm25)3(d531m此
11、时,4,190,4例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字 3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？解：设小明摸出的 10 个球中有红球 个，黄球 个，则蓝球 个，由题意得xy)10(yx,即 而 ，知 ，故21)10(yxyx ,925.40x红球个数最多不超过 4 个。二元一次不定方程练习姓名 学号_一选择题1方程 在正整数范围内的解（ C ）72yx（A）有无数解 （B）只有一组 （C）只有三组 （D）以上都不对2方程 的一组正整数解是（ C ）19890（A） ； （B ） ； 6,51270,85yx 194,
12、36)(yxC33)(yx二判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由1 26 643 4165yx 321yx三求下列二元一次方程的解1 2762yx 643yx四求下列二元一次方程的整数解1 2205yx 743yx3 4874 01五求下列方程的正整数解1 2205yx 215yx3 4325yx 3285yx六试将 100 分成两个正整数之和，其中一个为 11 的倍数，另一个为 17 的倍数。七求不定方程 的最小整数解1635yx解：将 变为 ，当 时均不合题意，当 时，52,1y3y5x原不定方程的最小正整数解为3x八用 16 元钱买面值为 20 分，60 分，1 元的三种邮票共 1
13、8 枚，每枚邮票至少买 1 枚，共有多少中不同的买法？九一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？解：设取 x 枚 1 分，y 枚 2 分，则取 枚 5 分硬币，由题意得)10(yx， 均为非负数， 由3248)0(52 ,438yx得 又 为 4 的倍数， 有三种不同的取法。438,3.,十把 118 分成两个整数，一个数为 11 的倍数，一个数为 17 的倍数。解：设 118= （ 为在整数）得特解为 ， 通解为 为整数）yx17, 530yxkyx(1573， 为整数）kk)(15)3(8十一。全年级 104 人到公园划船，大船每只载 12 人，小船每只载 5 人，大
14、小船每客票价相等，但无论坐满与否都要照满载算价，试计算，大小船各租几只才能既使每人都能乘船又使费用最省？解：设大小船各租 x 只，y 只，由题意得 为非负整数）。当yxx,(10452时费用最省，此时 由 得 且 能10452yx ,y,2,1204xx被 5 整除， ，当 时， 当 时，7,267答：大小船各租 2 只，16 只或 7 只，4 只时，既使每人都能乘船又使费用最省。十二。一头猪卖 银币，一头山羊卖 银币，一头绵羊卖 银币，有人用 100 个银币买了2133121100 头牲畜，问买了猪、山羊、绵羊各几头？解：设买猪 x 头，山羊 y 头，则买绵羊 头， 为非负整数，由题意得)0
15、(yx,，整理得 ，由1)10(321xy xy5860358得 ，又 为 5 的倍数， ，58601,0当 时， ； 当 时， ；x40,6yx342当 时， ；当 时， ，16124xy56y79yx答：买猪 0 头，山羊 60 头，绵羊 40 头；买猪 5 头，山羊 42 头，绵羊 53 头；买猪 10 头，山羊 24 头，绵羊 66 头；买猪 15 头，山羊 6 头，绵羊 79 头。十三。小王架车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位
16、数，这三块里程碑上的数各是多少？解：设第一次看到的两位数的十位数字为 x，个位数字为 y（ 为 19 的自然数）x,则 ，整理得 ， 为 19 的自然数，)10()10()( yyxy 6y,三块里程碑上的数分别为 16，61，106；,6x如何解二元一次不定方程意思就是说求方程 中 的整数解。+= ,对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。为了简化问题，我们先求 的一切整数解。7+4=1解：我们对等式进行变形，得到 式=174 =+134
17、因为是整数，所以 也必须是整数，再另 ，变形得到 ，再次变形表达134 =134 4+3=1成 式=143 =+13因为是整数，所以 也必须是整数，然而 是整数的条件就是 是 3 的倍数，所以13 13 1式=3+1这样 是整数才能满足。从式反推回式，得到 13 =14再反推回式得到 =2+7至此，我们就得到了不定方程 的全部整数解 式中可以取任7+4=1 =14， =2+7意的整数。对结果表示怀疑？那么我们试几个值：当=0 时， =1， =2； 7+4=7(1)+42=1当=1 时， =5， =9； 7+4=7(6)+49=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O
18、(_ )O我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到式中 都为整数，所以我们又变形得到 ，为何要这样呢？这就是关键所=174 =+134在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为 7，而后面的变成了 3！而根据是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，134这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成 1，比如 ，这时因为 是整数，=+ 假设等于，得到 ，变形得到 ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回 = =去，就可以得到原始的 的通解表达式了。上面的分析
19、例子虽然简单，但是思想是对所有的不定方程都通用的，如果没有理解的话，请再仔细的看一遍，自己再演算一遍，肯定就 OK 了。以上就是普通解二元不定方程的方法，时间很晚了，数论上的方法我就先不讲了，下次补上。Winxos 2009-8-26 3:02:53今天我接着上次的给大家讲一下数论中用的辗转相除法。实际上辗转相除法就是上面解方程法的简化计算版本，原理是一样的。我们还是以 为例子来讨论7+4=1式中 ，我们对 来辗转相除（就是求 的最大公因子的过程），如下：=7, =4 , , ，然后让 ，重复上一步操作，=7除以 =4， 商 1为 1，余数 为 3 的 值 做 ，余数做 ，停止计算（余数为 0
20、 或者 1 就停止计算）。=4除以 =3， 商 2为 1， 余数 为 1我们建立一个辅助表格：0 1 2 3 K 1 2 3 k 1 1 2 3 k 0 1 2 3 k表 1 二元一次不定方程辅助表下面我来告诉大家如何使用这个表，我们已经计算得到 ，1=1， 2=1我们也知道 0=1， 1=1， 0=0， 1=1，将上面的数填入表中，我们得到下面的表：0 1 2 1 1 1 1 2 0 1 2表 2 根据 我们得到k=k-1+k-2 2=21+0=11+1=2根据 我们得到k=k-1+k-2 2=21+0=11+0=1公式 1：不定方程的一个特解为 其中 n 就是表中的第一行。=(1)1 ,
21、=(1)所以我们得到了不定方程 的：7+4=1一个特解为： =(1)21=1 , =(1)22=2下面给出几个相关的定理：定理 1：如果二元一次不定方程 有一整数解 ；+= =0 , =0又假定 (,)=即 =1 , =1则 的一切解可以表示为 += =01 , =0+1 , 其中 =0,1,2,定理 2： 有整数解的充分必要条件是 += (,)|术语解释： 表示 的最大公因子， 表示 的最大公因子能整除(,) , (,)| , 根据上面的定理 1，我们可以得到不定方程 的通解为：7+4=1表构造说明：第一行表示第几项，第二行就是我们计算过程中得到的商序列 k，第三行 规律为 0=1， 1=1
22、，形象描述就是从 2 开始，等于沿k=k-1+k-2着表中红色箭头方向第一项加上后两项的乘积。第四行规律为 0=0， 1=1， 绿色箭头方向。k=k-1+k-2=14 , =2+7 经过上面的练习，现在给出具体的求解 的步骤：+= 判断是否有解，看是否 (,)| 若 将 两边同时除以 ，得到(,)| += (,)； 互质+= , 先利用表 1 及公式 1，求的 的一个特解|+|=1 将特解放大 倍，再绝对值变换，得到 的特解 += 根据定理 1，求得 的通解，这也是原方程+=的通解+= 完毕下面我再给出一个书上的复杂点的例子，以及用上面的方法求解过程。题目：求 的一切整数解。111321=75
23、解： 判断是否有解所以该不定方程有解(111,321)=3 而 3|75 变形处理等式两端同时除以 得到(111,321) 37107=25 求特解我们先求解 ，为了计算方便，我们进行绝对值处理，以及变量换名字，我们变成求37107=1解 ，辗转除 107 与 37，过程如下：107+37=1=107除以 =37，商 1为 2，余数 为 33=37除以 =33，商 2为 1，余数 为 4=33除以 =4，商 3为 8，余数 为 1余数为 1，停止计算我们将 带入表 1，得到：1=2 , 2=1 , 3=80 1 2 3 2 1 8 1 2 2 3 0 1 23根据 我们得到k=k-1+k-2
24、2=21+0=12+1=3根据 我们得到k=k-1+k-2 2=21+0=11+0=1继而求得： 3=32+1=83+2=263=32+1=81+1=9根据公式 1，得到 的特解为107+37=1 =(1)319=9 , =(1)326=26所以 的特解为37107=1 =26 , =9 求 的特解37107=25将 的特解放大 25 倍，得到 的特解37107=1 37107=25 =650 , =225 求 的通解111321=75根据定理 1，得到 的通解为37107=25=650+107 , =225+37 , =0,1,2,或者为了好看，处理小一点，表达成： =8+107 , =3+37 , =0,1,2,这也就是题目 的通解。111321=75完毕。辗转相除法是我国古代很早前就发明的算法，为我们的祖先感到骄傲。希望看到这篇文章的朋友能了解辗转相除法，能够很轻松的解二元一次不定方程，那样我就很满足了。如果朋友您从这里学会了二元一次不定方程的解法，不妨留下脚印，如果还有什么不理解的地方欢迎给我留言。
