1、高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第四章 不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。4 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 xI 都有F (x)f(x
2、)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如 因为(sin x) cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x (1 )时 因为 所以 是 的原函数 21( 21提问: cos x 和 还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的
3、原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果 (x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数 ) 高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 dxf)(其中记号 称为积分号 f(x )称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即 df)(
4、)(因而不定积分 可以表示 f(x)的任意一个原函数 dxf)(例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以Csinco因为 是 的原函数所以x2d1例 2. 求函数 的不定积分xf)(解：当 x0 时(ln x ) 1(x0)Cdln 1当 x0) x2解: 设 xa sin t 那么 t2xatatcossin2dx a cos t d t 于是tdcos2 Cta)2in41(2因为 , 所以axtrcsinxttcosin2 dxta)2in41(2 Cxaxa221rcsin解: 设 xa sin t 那么2t高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学
5、教研室tdadxacos2 Cttt)2in41(2 Cxaxa221rcsin提示: dxacos tdt 2xattacossin2提示: , trcsi x2例 20. 求 (a0) 2xd解法一 设 xa tan t 那么2ta sec t dxa sec 2t d t 于是2axt2ntn1 ln |sec t tan t |C 2xddtsecs2因为 所以axt2secatn ln |sec t tan t |C 2xdax)ln(212)ln(ax其中 C 1Cln a 解法一 设 xa tan t 那么2tln|secttant|C dtdsecs22 ax)ln(212)l
6、n(ax其中 C 1Cln a 提示: asect dxa sec 2t dt 2x2tn提示: atsecx解法二: 设 xa sh t 那么高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室2axdCaxtdtrshch ax1)(ln2 12)ln(其中 C 1Cln a 提示: a ch t dx a ch t d t 2x2tsh例 23. 求 (a0) dx解: 当 xa 时 设 xa sec t ( ) 那么20a tan t 22secat1sec2t于是 ln |sec t tan t |C 2axdtdtsecnasec因为 所以axt2ntsec l
7、n |sec t tan t |C 2xdax|ln212)ln(ax其中 C 1Cln a 当 xa 于是2daud)ln(22Cx)l( 12)l(Cx 2lnlnaa其中 C 1C2ln a 综合起来有2axdCax|ln2解: 当 xa 时 设 xa sec t ( ) 那么0高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室2axdtdtsecnasecCxCt )l(|s|ln2x)l(2其中 C 1Cln a 当 xa 于是2dCad)ln(22xx2l)l( 12lna其中 C 1C2ln a 提示: atant 2x2sectsec2t提示: atnax
8、综合起来有Cxd|ln22补充公式 (16) |cos|ltan Cxd|ilcot(18) |tansec|lse(19) xxd|ot|lc(20) Caarctn12(21) xdx|l(22) aarcsin12(23) Cxx)l(2高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室(24) Caxaxd|ln224 3 分部积分法设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv 移项得 uv(uv)uv 对这个等式两边求不定积分 得或 vdxuxvdv这个公式称为分部积分公式 分部积分过程: vdxuvudxv例 1
9、 x sin xcos xC xdsinsincos例 2 exeex 例 3 22ddxxxeedxex22x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C 例 4 dd1ln1lln xx2224ll例 5 dxdarcosarcosarcosx21 )()(arcos2dx Cx21arcos例 6 2tn1arctnxddx21arctndx)(1arc2高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室Cxxarctn21arctn21例 7 求 xdesin解 因为 xdeexsinsisiixxdecoicoinxesssidxexcoin xesinsi所
10、以 Cxdex)co(i21in例 8 求 3sc解 因为xdxxdtansecses23tanctacdxxx)1(setse2ctanc3 xdxx3se|tanse|ltse所以 d3c C|)tac|lt(c21例 9 求 其中 n 为正整数nnaxI)(解 Cxdrct121当 n1 时，用分部积分法 有dxanaxx n )()()( 2122高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dxaxnax nn )()(1)2)( 2212即 11n III于是 )32()()22nnaxa以此作为递推公式 并由 即可得 CxIrct1 nI例 10 求 d
11、xe解 令 x t 2 则 dx2tdt 于 Cxet )1()1(dxdexx2xee2Cxx)1(2第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分 )()( xdfxf u令 df)(vudvu xv哪些积分可以用分部积分法？ xcosexx2 dlndarcsdarctn xesix3e 22dud 2xexe高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室4 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数: mmnnbxxbaaxQP110)(其中 m 和 n 都是非负整数a 0
12、 a1 a2 an 及 b0 b1 b2 bm 都是实数 并且 a00 b00 当nm 时 称这有理函数是真分式 而当 nm 时 称这有理函数是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 1)(12223 xxx真分式的不定积分 求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分 例 1 求 dx6532解 xdx)3(2dx)256(6ln|x3|5ln|x2|C 提示 )3(2)(3)(2xBABxAxAB1 3A2B3 A6 B5 分母是二次质因式的真分式的不定积分 例 2 求 dx解 x3dx)32121(x22)(13)(1xd Cxa
13、rctn2ln2提示 31313)(12222 xxxx例 3 求 d)(高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室解 dxxdx)1(1)( 22Cx1|ln|提示 222 )1()1()( xxx 1二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用 sin x 及 cos x 的有理式表示 故三角函数有理式也就是 sin x 、cos x 的有理式 用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、 cos x 表成 的函数 然后作变换 2tan2ta
14、nxu 2221tansectosi2inx 2221sectincosuxx变换后原积分变成了有理函数的积分 例 4 求 dx)cos1(in解 令 则 x2arctan u 2tau2iu21cosudux21于是 dx)cos1(in)1(22ud)( Cu|ln( Cxx|2tan|l1ttan42解 令 则 2tanxu高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室duudx221)(1)cos1(inCu|)l2( xx|2tan|ttan41说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如 Cxxdx)sin1l()si(i1si
15、co三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求 dx1解 设 即 则u12duudx 122C)arctn()1( xxarct2例 6 求 31d解 设 即 则ux223xdudud 1123Cu|)ln(3)( xx|2|223例 7 求 xd)1(解 设 xt 6 于是 dx 6t 5d t 从而高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dttxd 2325316)1()1( Cttdt)arcn(6)1(2 Cx)arctn例 8 求 dx解 设 即 于是t112tddx)(tt1212Ct|lnxx1l2练习1 求 xd
16、cos2解 作变换 则有 tandtx2121costxxdcos221tdt233)(32dt Ct3arnCx)tanrc(2 求 dx45cosi解 inxdcossin4xdcoscs)1(42)21( Cxx3cos1cos3 求 dx23高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室解 dxx231dx)1(23dx)1427(747ln|x2|4ln|x1|C 4.5 积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一、
17、含有 axb 的积分1 Caxxd|ln12 )1()()( 1b3 axadxb |ln124 Cbaxb|ln)(2)(235 Cxbaxdln1)(6 bal227 xdxba|ln1)(8 Cbaba232 |l29 xxbaxdln1)()(例 1 求 243解这是含有 3x4 的积分在积分表中查得公式Cbaxadb|ln1)(2高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室现在 a3、b4于是 Cxdx 43|ln91)(2二、含有 的积分1 baxdbax3)(2 Cx32)(153 baxbadxba 3223 )(8104 x)(25 Cbaxbad
18、xba )84315226 )0( arctn2lbxbx7 dd28 baxxxa9 ddb22三、含 x2a2 的积分1 Cxrctn12 122122 )()(3)()( nnaxdaaxd3 xln1四、含有 ax2b(a0)的积分1 )0( ln21 rctbCxabxd2 a|l2高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室3 baxddbax224 C|ln1)(5 dxbaxbaxd226 23 1|ln)(7 dxbabaxbaxd22)(五、含有 ax2bxc (a0)的积分六、含有 (a0)的积分1 CaxCxxd )ln(rsh2122 a2
19、3)(3 xdax24 Ca231)(5 axxdax )ln(226 a)(237 Cxaxd|ln128 29 axaxdx )ln(22例 3 求 942解因为 2)3(1xdxd所以这是含有 的积分这里 在积分表中查得公式2aa高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室Cxaaxd|ln122于是 Cx |2394ln31|)(l39422七、含有 (a0)的积分x1 axCxd|ln|rch| 2122 aax23)(3 xd24 Caax231)(5 axxd |ln226 aax |)(237 Cxd|rcos128 ax29 Caxxd |ln22
20、八、含有 (a0)的积分1 Cxdxrcsin22 aa23)(3 xdx24 Caa231)(5 axxdx rcsin26 aa)(23高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室7 Cxaxad|ln1228 29 axxdx rcsin2九、含有 的积分)0(acb十、含有 或 的积分xbx十一、含有三角函数的积分1 Cd|tansec|ls2 xx|ot|lc3 dsectanse4 Cxxotc5 d2sin41sin26 xxico7 xdnnd21sicosisi8 xxico9 Cxbababda )cos()(21)cos()(21si10 xx
21、ininin11 xbababda )si()(21)si()(21cos12 )( tnrcsin 222Cxx 高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室13 )( 2tanl2sin 22baCbxbxad 14 )( tarctcos 2x14 )( 2tanl2s 2bCbxbaxbd 例 2 求 cos45解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式)( 2tanarct2s 2bCxbbxbad 这里 a5、b4a 2b2于是t)4(5rt)4(5)(cosCx2tan3r例求 xd4sin解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式 xdnxnn 21sicosisi Cxx2sin41sin2这里 n4于是xd )si(3cosi41si43si4si 323
