1、第四章 方程求解与代数符号化,方程求解问题的研究是代数学产生的重要源泉。 代数学的基本方法：用符号表示研究对象以及这些对象间的关 系。代数学发展的历史，就是代数学符号化的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学,4.1早期的方程求解方法,4.1.1 配方法与数表法古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样一个问题：“把正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60，求该正方形的边长。”图4.1 普林顿322号泥版这个问题相当于求解方程 x2+（2/3）x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式,古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法，这些解法则记
2、录在一些数表上。,图4。1普林顿第322号泥版勾股数表,4.1.2九章算术的“方程术”,九章算术中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。九章算术把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。,在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质：如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程
3、是同解方程。刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”法。,4.1.3 开方法解方程,中国古代把解二次方程x2 + bx = c的方法称作“带从开方”；把解三次方程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从开立方”。北宋数学家刘益（公元1112世纪人）使用“增乘开方法”求解一元高次方程。,如，使用“增乘开方法”解 x2 +60x = 864. 列三行横式 1 60 864 补零（前移一位， 100 600 864 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 200 800 100 400 64 200 再增
4、乘一次， 100 200 64 去零（后移一位）， 1 20 64 （4 次商得4，增乘一次 4 _64 1 16 0 恰好减尽。故得方程根 x=24。,4.1.4 几何方法解方程,开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商加后商”）的几 何推导方法,图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积：55225 40000 =
5、15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30EF =300200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 （230200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI230的2倍去试除这个 余数，得c5。在HB上截取HK5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 （25230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235
6、，此即所求的 平方根：2352 = 55225。,古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程,一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：ab=1x，因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2px+q2=0的两个根，其中p和q是正整数，且qp/2（这后一个条件，保证r和s都为正数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述
7、的方程几何求 解方法。,1世纪的波斯数学家海牙姆（约1044约1123）给出了三次方程的几何解法。这种方法是在使用直尺和圆规作图的前提下，再允许画某一特定的圆锥曲线，便可以解得三次方程。,4.2 代数的符号化,4.2.1 丢番图的缩记符号,丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号表示，相当于现在的x。未知量的平方记为，“”是希腊单字“YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用来表示，他称之为“平方平方”；五次方用K表示，称为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”，以
8、此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的，而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中“monads”（MONAE，意为“单位”）一词的缩写。,4.2.2花拉子米的“代数学”,“代数学”（algebra）这个词来源于花拉子米所著的一本书。原意是“还原”，专指把负项移到方程另一边使之变成正项的方法。花拉子米
9、的还原和对消运算分别对应于现在方程的移项和合并同类相运算。其中的配方法，给出了解一元二次方程的公式，并得到了二次方程的两个根。尽管这些方法在花拉子米的著作中是用实际问题的解法被纪录下来的，但它们具有求解方程的一般方法的意义,在花拉子米系统地研究了六种类型的一次和二次方程及其解法， ax2 = bx， ax2 = c，ax = c，ax2 + cx = c， ax2 + c = bx，bx + c = ax2对于前三种类型方程，花拉子米把方程ax2 = bx看作线性方程，抛弃了零根，对于后三种类型方程，花拉子米的解法相当于现在的配方法。花拉子米首先叙述了用根号表示方程根的法则，然后给出它的几何证
10、明。花拉子米实际上已经给出了首项系数为1的一元二次方程的求根公式。,4.2.3 印度的代数学,从公元5世纪到12世纪，印度数学对世界数学的影响较大的有两个方面。最先制定了现在世界上通用的数码及记数制度，并在这个基础上形成了整套计算技术。另一方面是建立了包括分数、负数、无理数的代数学，并给出了二次方程的一般解法。他们认识到二次方程有两个根，而且可以包括负根和无理根。,4.2.4 天元术与四元术,天元术一元高次方程的筹式布列方法,如方程：2x2+654x=0 与 x4+15245x26262506.25=0,图4.7 用天元术在筹图中布列方程 在筹算中表示为：用现代数字表示，这两个方程改写为： 6
11、 5 4元 6 2 6 2 5 0 6 2 5 2 和 0 太1 5 2 4 50 1,4.2.4 b 四元术,“四元术”则规定了含有两个、三个或四个未知数的方程的布列方法。 未知数设为 “天”、“地”、“人”、“物”，就相当于现在的x、y、z、，用“太”表示常数项，放于筹式的中心；表示未知数的天、地、人、物的系数分别放在“太”的下方、左方、右方和上方。例如，方程 3x + 2y +3z + 4w +5 = 0的布列方法是： 42 太5 3 1,对于更多复杂的方程，其系数在算筹中的放置方法，如图4.10。 图 4.10 四元方程的筹算布列方法 “四元术”给出了 在筹图上求解多元方程的方法消元法
12、 如，两个多项式相加减，只须将表示多项式的筹式中的“太”的位置对齐，将对应元素相加减； 用某元的幂乘方程时，只须将原方程的筹式做平移； “互隐通分相消”的操作过程较为复杂，是将二元的方程化为一元方程的关键方法，也是“四元术”最为精彩的一部分。我们将通过实例说明它的具体使用方法。,0 0 6 太 1 0 0 (1) 1 5 太 (2) 0 1 0 1 10 1 0（4）下移一位，得 (4)x,得 0 0 太 1 5 60 1 00 1 00 6太 66x+5xy+x3y=0 5 6 （6） (6) 0 0 即(66x)+(5x+x3)y=0 0 0这样就化为只含天、地二元的两行方程。 （2）与（
13、6）互隐通分相消： 由（2）（6）消去y:由内二行相乘，得 由（5+x）(5x+x3)太 =25x+5x2-5x3+x4 (7) 25 (用(2)的右列乘上(6)的 5 （7） 左列，称为内二行相乘）51由外二行相乘，得 由（1+x）(66x)6太 =612x6x2 (8) 12 （8） (用(2)的左列乘上(6)的6右列，称为外二行相乘） 令（7）（8）相等， 合并相消，得 6太 由25x+5x25x3+x413 =612x6x211 移项整理得5 613x+11x25x3+x41 =0,4.2.5方程的公式解,大术（卡当，1545年）中记载了缺二次项的三次方程的解法： 求解方程 x3+mx
14、=n，其中m与n是正数。 卡当引入t与u两个参数量，并令tu=n， （1） 以及 （tu）=（）3 . （2） 然后他断言x= . （3） 他利用（1）及（2）进行消元并解所得的二次方程，得出 t = + ， u =. 这里我们也像卡当那样取正根。求出了t和u后,并用（3）给出x的一个值,大术中解四次方程的费拉利解法。 设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。 移项后得 x4+bx3=cx2dxe。 在左边加上（bx）2配成平方。得（x2+bx）2=（b2c2）x2dxe。 两边再加上（x2+bx）y+y2，得（x2+bx）2+（x2+bx）y+y2=（b2c+y）x2+（byd）x+y2
15、e。 （1）若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x的一次式的完全平方。于是设（byd）24（b2c+y）（y2e）=0 （2） 这是y的一个三次方程。选取这个三次方程的任一个根代入替（1）中的y。根据左边也是个完全平方这一事实,取平方根，得到x的一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这两个二次方程便得到x的4个根。若从（2）中选取另一个根就会从（1）引出一个不同的方程，但会得到同样的四个根。,4.2.6走出缩记法,法国数学家韦达寻找出一种求解各种类型代数方程的通用方法过程中，第一个有意识地、系统地使用了字母。通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。
16、韦用拉丁语表示各次方幂。例如，现在的a, a2, a3，韦达记作A,A quadratum,A cubum,，有时还缩写减化为A，AQ，AC。韦达使用了“+”和“”分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来表示乘号和等号，仍然用文字来说明。如恒等式 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3, 韦达的写法是 a cubum + b in a quadr.3 + a in b quadr.3 + b cubo equaliacubum.“类的算术”（Iogistica speciosa）,以区别于“数的算术”（Iogistica numerosa）,类的算术是施行于事物的类或形式
17、的运算，而数的算术仅仅与具体的数字有关。韦达的这些论述，第一次将代数与算术区分开来，使类的算术（即代数）成为研究一般类型的数学形式和方法的学问。 在引入字母符号之后,韦达就发现了三、四方程一般解的方法。,4.3 数学符号化的意义,4.3.1促进数学理论形成用符号代替数字和运算是数学发展的瓶颈“中国代数学在14世纪以后停滞不前的事实，主要由于它不完善的、无适应的符号。”数学的符号化，使数学理论的体系更严密，并且具有普遍性、适应性。,4.3.2简缩数学思维过程,怀特海所说：“这些术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表述和解决问题。特别是在数学中，只要细加分析即可发现符号化给数学理论的表述和论证带
18、来极大的方便，甚至是必不可少。”有了符号体系，就可以引入简单的字母符号来表示数学对象,从整体上把握事物的内在联系 比如，要比较 以下A与B的大小： A = ( 1+2 +3 +100) (2 +3 + 4 +101) B = (1+2 +3 +101) (2 +3 + 4 +100)。令1 + 2 + 3 + +100 = a，用字母a表示其它的对象，从而化简A、B，得出，A = a (a +100), B =（a +101）（a1），进而求解。,4.4 学校的代数教育,4.4.1 从算术到代数的教育目标 教育原理：个体发育应再现系统的发育。意思是，教育中向学生讲授一门课程，应按照这门学问自身发展的顺序来进行。现代学校代数教育的重要目标之一让学生实现由“方法性”认知到“结构性”认知的发展。,4.4.2 代数学的认知发展,做好从运算性知识到结构性知识的发展：在开始学习代数式和方程时，学生不应总是把这些实体理解为在一些数上的运算，让学生意识到运算的对象是代数式而不是数，所实施的运算是化简、分解因式、分母有理化等等，而不是算术中的加、减、乘、除。在学生处理代数的结构时，特别是用符号表示数值关系时，初学代数的学生面临的一个任务是如何把问题的情景翻译成方程。,
