数值计算方法课件-CH2 解线性方程组的直接法—2.1～2.3 Gauss消去法.ppt

1、第二章 解线性方程组的 直接法,线性方程组,稠密和稀疏（按系数矩阵含零元多少分） 高阶和低阶（按阶数的高低分） 对称正定、三对角占优等（按系数矩阵的形状性质分）,基 本 解 法,直接法（通过有限步计算得到精确解，适用于低阶线性 方程组，第二章内容） 迭代法（通过逐次迭代逼近得到近似解，适用于大型线性方程组和非线性方程，第六章内容）,2.1 直接法与三角形方程组求解,（2.1）,求解线性方程组： AX = b,根据Cramer(克莱姆)法则, 若,则方程组 有唯一解。,三角形线性方程组解法,（2.3）,上三角形,2.2 高斯消去法,Gaussian Elimination,高斯消去法,消元,回代

2、,化上三角方程组的过程,自下而上解上三角形方程组的过程,以上求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss )消去法,利用,假设 ，对增广矩阵作行初等变换:,执行过程,上三角阵,通过解 得原方程组 的解。,1. 不改变行列式的值 2. 不改变未知量次序,设 ，计算因子,将增广矩阵 第i 行 mi1第1行，得到：,其中,记,消元过程,行乘数,Step 1：,设 ，计算因子,Step k：,其中,行乘数,将增广矩阵 第i 行 mik第k行，得到：,共进行 ？ 步,n 1,?,以上消元过程均假定,注:,如果 怎么办,由于 ，则 A 的第一列中至少有一元素不为零。,如果 ，则将 的第1行与第 行交换后再 消

3、元，得,假设,例：,当 时，采取类似的处理措施。,回代过程,由于 ，所以,即得线性方程组 Ax = b 解：,No unique solution exists.,Then we must find the integer k i with , and interchange the k-th row with the i-th row.,No unique solution exists.,注: 事实上, 只要 A 非奇异, 即 A1 存在, 则可通过逐次消元及行交换, 将方程组化为三角形方程组, 求出唯一解。,由于计算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往

4、只估计 乘除次数，而且通常以乘除次数的 最高次幂 为运算量的 数量级。,(n k) 次,Step k：设 ，计算因子 且计算,共进行 n 1 步,(n k)2 次,(n k) (n k + 2) 次,1 次,(n i +1) 次,Gauss消去法的运算量,(n k) 次,例如,而如果用 Cramer 法则的乘除法运算次数约为：,当 n 很大时，,当 n = 20 时，Gauss 消去法乘除法约为 2700 次,Gauss 消去法算法设计,1、输入：矩阵阶数 n，增广矩阵 A(n,n+1),2、对于,3、回代计算：,(2)消元：,(1)如果 ，找非零元 ，交换第 k 行和第 i 行，若不存在非零

5、元，算法停止,(1)若 ，算法停止,(2) 回代：,例1.,用Gauss消去法解线性方程组(用3 位十进制浮 点数计算）,用Gauss消去法求解（用3位十进制浮点数计算）,2.3 高斯列主元素消去法,-9999,回代后得到,与精确解相比, 该结果很差！,主元,-9998,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数。,原因:,如果在求解时将1,2行交换, 即,0.9999,回代后得到,0.9998,与 很接近！,回代后可得:,绝对值最大 不需换行,事实上, 方程组的准确解为:,上述方法是在Gauss消去法的基础上, 利用换行避免 小主元作除数,该方法称为 Gauss列主元消去法,列 主 元 消 去 法 算 法 设 计,1、输入：方程组维数 n，矩阵A，右端项 b 和控制精度 eps,2、对于,5、输出解,计算行乘数 公式(2.1),公式(2.2),开始,输出无解信息,消元,换行,停机,回代求解,三、Gauss列主元消去法的算法设计,(一) 流程图,(二) 自然语言,选主元,换行,消元,回代,上述过程中的储存空间需要:,注意:,储存空间需要较大,(三) 自然语言的改进,选主元,1:n-1,.,2,=,k,对于,k:n,i,2,.,2,=,对于,),(,0,则,I,i,P,k,i,A,换行,消元,回代,注意：为提高算法效率，下列矩阵和向量共用了相同的存储空间：,