1、第2讲 数形结合思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,2. 运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则：（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何 性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明，要注
2、意其带来的负面效应.（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结 合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；,二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系， 做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择 动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范 围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间 的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意
3、义研究函数的 最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题;（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型 研究最值问题；,（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等. 4. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程） 的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的,表达式（有时可能先作适当调
4、整,以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解. 5. 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及 曲线的代数特征；（2）要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化； （3）要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗 漏；（4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决 的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解.很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果.,一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的 问题中的应用例1 （1）已知：函数f（x）满足下面关系.f（x+1）=f（x-1）；当x-1，1时
5、，f（x）=x2，则方程f（x）=lg x解的个数是（ ） A.5 B.7 C.9 D.10 思维启迪 在同一坐标系中画出y=f(x)和y=lg x 的图象,由它们交点个数判断方程的解的个数;,解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域 为0，1的函数.又f(x)=lgx，则x(0,10,画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C,（2）设有函数f(x)=a+ 和g(x)= 已知x-4,0时恒有f(x)g(x)，则实数a的取 值范围是 .,思维启迪 先将不等式f(x)g(x)转化为然后在同一坐标系中分别作出 函数 的图象，移动 的图象使其 满足条件，数形结合得要满
6、足的数量关系.,解析 f(x)g(x).即变形得令变形得(x+2)2+y2=4(y0),即表示以(-2，0)为圆心,2为半径的圆的上半圆；,表示斜率为 纵截距为1-a的平行直线系.设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为 ,则有,要使f(x)g(x)在x-4,0时恒成立，则所表示的直线应在直线AT的上方或与它重 合，故有1-a6,a-5.答案 a-5探究提高 （1）用函数的图象讨论方程（特别是 含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟,悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个
7、函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不 等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函 数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降； 奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.,变式训练1 已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x 0的解集是（ ）A. B.C. D.解析 不等式f(x)cos x0等价于 ,f(x)0, cos
8、x0,或,f(x)0, cos x0,画出f(x)在（-3，3）上的图象，cos x的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找 出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间 为,答案 B,二、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 例2 已知实数x,y满足x2+y2=3(y0)，（1）求m的取值范围；（2）求证：思维启迪 m可以看作两点（x,y）与(-3,-1)连线 的斜率，b可以看作直线y=-2x+b在y轴上的截距.解 (1)m可看作过半圆x2+y2=3(y0)上的点M（x,y）和定点A（-3，-1）的直线的斜率.,由图可知k1mk2(k1,k2分别为直线AM1，A
9、M2的 斜率)，圆心到切线k2x-y+3k2-1=0的距离为,(2)证明 b可看作斜率为-2,过半圆(y0)上一点P（x,y）的直线在y轴上的截距.由图可知n2bn1,P2C的方程为探究提高 条件中的数量关系决定了几何图形的 性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程.,圆心到切线P1B：2x+y+c=0的距离,x2+y2=3,变式训练2 已知实系数一元二次方程x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根 在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2） 的取值范围；
10、（3）(a-1)2+(b-2)2的值域.解 方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和 (1,2)上的几何意义分别是：函数 与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1）和 （1，2）内，由此可得不等式组,f(0)0, f(1)0,b0, a+2b+10.,y=f(x)=x2+ax+2b,在如图所示的aOb坐标平面内,满足约束条件的点（a,b）对应的平面区域为ABC（不包括边界）.（1）ABC的面积为,(h为A到Oa轴的距离).,（2） 的几何意义是点（a,b）和点D（1，2）连线的斜率.(3)(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点 (1，2)之间距离的平方,(a-1)2
11、+(b-2)2(8,17).,三、数形结合思想在几何问题中的应用 例3 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB 是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C 是圆心，求四边形PACB面积的最小值.思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆.作出圆 的切线PA、PB,则四边形PACB的面积S四边形PACB =SPAC+SPBC=2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的 SPAC 可以有以下多条数形结合的思路.,画出对应图形,利用数形结合 明确所求,求解得结果,解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直 线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动 时，直角三角形
12、PAC的面积SRtPAC越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当 点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位 置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时,方法二 利用等价转化的思想,设点P坐标为（x,y），则 由勾股定理及AC=1，得从而从而欲求S四边形PACB的最小值， 只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2=（x-1)2+(y-1)2的最小值，即定点C（1，1）与直线上动点P（x,y）距离的平方的最小,值，它也就是点C（1，1）到直线3x+4y+8=0的距 离的平方，这个最小值方法三 利用函数思想，将方法二中中的y由
13、3x+4y+8=0中解出， 代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得,PACB,探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法： 数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决. 变式训练3 （1）已知点P在抛物线y2=4x上，那么 点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距 离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）,A. B. C.(1,2) D.（1，-2）解析 定点Q(2，-1)在抛物线内部，由抛物线 的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐
14、标，显然点P是 直线y=-1和抛物线y2=4x的交点，解得这个点的坐标是答案,（2）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径 作圆M.若过点 作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 .,A,解析 设切点为A，B，如图所示，切线AP、PB互 相垂直，又半径OA垂直于AP，所以OPA为等腰直 角三角形，可得所以答案,规律方法总结1.利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出 即可，不需要精确图象.2.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度.3.数形结合思想常用模型： 一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的
15、距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等.,一、选择题 设函数 若f（x0）1，则x0的 取值范围是 （ ）A.（-1，1） B.（-1，+） C.（-，-2）（0，+） D.（-，-1）（1，+）解析 方法一 因为f（x0）1，当x0时， x0-1；当x00时， x01.综上，x0的取值范围为（-，-1）（1，+）,方法二 首先画出函数y=f（x）与y=1的图象（如 图），解方程f（x）=1，得x=-1，或x=1.由图中易 得f（x0）1时，所对应x0的取值范围为(-，-1) （1，+）.答案 D,2.（2009天津理，8）已知函数若f(2-a2)f(a)，则实数a的取值范围是
16、 （ ）A.（-,-1）(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析 由f(x)的图象可知f(x)在（-,+）上是单调递增函数，由f(2-a2)f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1.,C,3.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x 3,4时，f(x)=x-2，则 （ ）A. B. C. D.解析 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设 x-1,0,知x+43,4,f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2，画出函数f(x)的图象，,如图所示：答案 C,4.方程 的实数解的个数是 （ ）A.2 B.3C
17、.4 D.以上均不对解析 分别作出 的图象，如图:,B,由图象知方程的实数解有3个.,5. 若an是等差数列，首项a10,a2 003+a2 0040,a2 003a2 0040,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 （ ） A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008解析 方法一a2 0030,a2 0040,4 006为Sn0的最大自然数n.,方法二 a10,a2 003+a2 0040且a2 003a2 0040, a2 0030且a2 0040,S2 003为Sn中的最大值,Sn是关于n的二次函数，2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， 在对称轴右侧
18、，据二次函数图象的对称性： 4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008 都在其右侧.Sn0中最大的自然数是4 006.答案 B,二、填空题 6.函数 的最大值为 .解析 可以与两点连线的斜率联系起来,它实际上是点P（cos ,sin ）与点A（ ， 0）连线的斜率，而点P（cos ,sin ）在单位圆上移动,问题变为：求单位圆上的点与A( ，0) 连线斜率的最大值.如右图，显然，当P点移动到B点（此时，AB与圆相切）时，AP的斜率最大，最 大值为,1,7. AB是过椭圆b2x2+a2y2=a2b2的中心弦，F（c,0）为 它的右焦点，则FAB面积的最大值是 .解析 如图所示，F
19、为椭圆的左焦点，连结AF，BF，则四边形AFBF为平行四边形，当A与短轴端点重合时，（SABF）max=bc.,bc,8. 函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积. 已知函数y=sin nx在 上的面积为 (nN*）,则（1）函数y=sin 3x在 上的面积为 ；解析 函数y=sin 3x在 上的面积为根据y=sin 3x的对称性可知y=sin 3x在 上,的面积也为 y=sin 3x在 上的面积 为,（2）函数y=sin（3x- ）+1在 上的面积为.,解析 y=sin(3x- )+1=1-sin 3x，其图象如下图 所示.其面积如上
20、图中阴影所示，由三角函数的对称性 可知其面积为,三、解答题 9. 不等式x2+|2x-4|p对所有x都成立，求实数p的 最大值. 解 构造函数f(x)=|x-2|,g(x)= 解不 等式 f(x)g(x)，即确定使函数y=f(x)的图象在函 数y=g(x)“上方”的点的横坐标x的取值范围， 而 本题是已知这个范围对一切x成立，求p的最大值.如图， 的图象可以由 的图象的 顶点在y轴上下移动而得，满足题目条件的解应为y=|x-2|的图象在 的图象上方的极端情况.,即x2-2x-(p-4)=0, =4+4(p-4)=0,p=3.即p的最大值为3.,10. 已知A（1，1）为椭圆 内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.解 由 可知a=3,b= c=2,左焦点F1(- 2，0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义，|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|. 如图，由|PA|-|PF2|AF2|=,当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“=”； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”，即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为于是|PF1|+|PA|的最大值是 最小值是,返回,
