1、信号与线性系统题解 阎鸿森 第三章 习题答案3.1 计算下列各对信号的卷积积分 ：()()ytxht(a) （对 和 两种情况都做） 。()()t txeuheu(b) 22(5)(tttte(c) 3()()1txe(d) 5,0()(1)tthtut(e) ()sin()22xtutt(f) 和 如图 P3.1(a)所示。h(g) 和 如图 P3.1(b)所示。()xt图 P3.1解：(a) () ()00()() (0)tt tytxhededt当 时，()1()ttytu当 时，()()tte(b) 由图 PS3.1(a)知， 当 时，1t25()2()2(2)(5)0 1()tttt
2、tytedeee当 时，3()() ()2()12tt ttt d当 时，6t52()(5)2()t ttyee当 时，0t(c) 由图 PS3.1(b)知，当 时，1()0yt当 时，1t33(1)0()t tyede(1)()3tu(d) 由图 PS3.1(d)知：当 时，0t11()ttyed当 时，05 5(1)0 4(2)t ttttede当 时，1t5 5(1)()1()2tttttye(e) 如下图所示：(f) 令 ，则1()(2)3htt1()()2)3ytxhtxt由图 PS3.1(h)知， 1144(133tytxhabdatb24()(2)3aytbttx(g) 是周期信
3、号，由此可推知 也是周期的，且周期也为 2。因x(yxh此只需求出 的一个周期。由图 PS3.1(j)可知：()yt当 时，12t1 22121()()4tttddt当 时，132t1 22127()()34ttyddt的一个周期为()t211,()42()733,ttyt图 PS3.13.2 计算下列各对信号的卷积和 ()():ynxh(a) ()()nxuhu(b) 2()(c) ()18()(8)nxnhun(d) 和 如图 P3.2(a)所示。h(e) 和 如图 P3.2(b)所示。()xn(f) 和 如图 P3.2(c)所示。()xnn()hn(b)3210 0111 22 3451
4、2()xnn()hnn(c)2110 012 23图 P3.2解：(a) 0()*()()()nkkynxhxhu10()()nnku(b) 当 时， 1()22mnknny当 时， 0n00()km1()2()nyu(c) 由图 PS3.2(a)知，当 或 时，8()0yn当 时，80n7171()() ()122n nk nky当 时，067()() ()nk nkn(d) 由图 PS3.2(b)知，当 或 时，12()0y当 时，16n2()1kny当 时，074()kknn当 时，1n()2yn当 时，2510kn当 时，160n64()(4)12kknynn(e) 利用列表法计算，由
5、表 3.2-1 可得：(2),()21,(0)2,()0,0,313512y yy当 或 时，(6)1,n6()n(f) 由表 3.2-2 可得, 当 或 时，50y(3)(2)13,()2,()316,16654,5yy3.3 各信号波形如图 P3.3 所示，求下列卷积:(a) (b) 12()xt13()xt(c) (d) 4 2()xt图 P3.3解：图 PS3.33.4 某 LTI 系统的单位冲激响应为 ，当输入为 时，输出为 （如图 P3.4 所0ht0()xt0()yt示） 。现给出以下各组单位冲激响应 和输入 ，分别求 （用() *xh表示即可） ，并画出 的波形图。0()yt(
6、)yt(a) 0 02()()xtht(b) tx(c) 00()()1)xt(d) tth(e) 00()()xt图 P3.4解：(a) 00()2,()xttht如图 PS3.4(a)所示。*2yy(b) 0 0()(),()xtxtth如图 PS3.4(b)所示。0yy(c) 0 000()1)(),(2)(1)()xthtxttyt如图 PS3.4(c)所示。02yy(d) 000()*()()()()ytxhtxhtdxhtdyt如图 PS3.4(d)所示。(e) 如图 PS3.4(e)所示。00()()tty3.5 对图 P3.5 所示的两个 LTI 系统的级联，已知：12()si
7、n8(),1hau输入为 ()xn求输出 。()yn图 P3.5解： 1221()*()()*()ynxhnxnhn121 ()()()si8auaA3.6 对图 P3.6-1 所示的 LTI 系统的互联：(a) 用 表示总的单位脉冲响应 ；12345(),(),()hnhn()hn(b) 当 1 3nu2345()(1)hnn时，求 。()hn(c) 如图 P3.6-2 所示，求(b)中所给系统的响应，并画出响应的波形图。x图 P3.6-1图 P3.6-2解：(a) 51234()()*()*hnhnhn 134()hn(b) 34()()()1uu21234103()()*()*()*43
8、4()61)7(2)2()56()()72kknnkkhhhnuunuh (c) *)1()()kynxxnxnxk其中 如图 PS3.6(a)所示， 如图 PS3.6(b)所示。(72uy3.7 某线性时不变系统的输入输出关系由下式表示：()()2ttyexd(a) 该系统的单位冲激响应 是什么？ht(b) 当 如图 P3.7 所示时，确定系统的响应 。()xt ()yt图 P3.7解：(a) 2() (2)(2)() *t tt t tyexdxedxeu (2)thu(b) 由图 PS3.7 知，当 时，1t()*()0ytxht当 时，14t(2)(1)()t tede当 时，1()(
9、4)()2t tty图 PS3.73.8 某 LTI 互联系统如图 P3.8 所示，已知：(2)0theu(a) 求互联系统总的单位冲激响应；(c) 当输入 如图 P3.7 所示时，求系统的输出响应。()xt图 P3.8解：(a) (2)(3)0()(1t thtteueu由图 PS3.8 知，当 时，1t00()*()ytxht当 时，12t(2)(1)0()t tede当 时，43()(2)(3)23tyt d1(1)()(2)(1)tttteee当 时，5t3(2)(3)()03 2()t ty(4)()(1)tttee当 时，t1(2)(3)(4)(2)(5)(1)0t ttttyde
10、e图 PS3.8(b) 00()*()()*(1)(1)bytxhtxthtyt其中 即为 3.7(b)中所求得的响应。b当 时，1t0()yt当 时，2(1)te当 时，4t()(2)(2)(1)0()ttttytee当 时，5(4)()(1)ttte当 时，t()(1)(5)(2)0ttttye3.9 判断下列说法是否正确。对你认为是正确的加以证明，对你认为是错误的举出相反的例子。(a) ()*()*()xnhgnxhng(b) aa(c) 如果 ，则()()ytxt(2)()*2ytxth(d) 如果 ，则*nh()nn(e) 如果 和 都是奇函数，则 是偶函数。()xth()*()yt
11、xht解：(a) 错误。例如，当 时，有(),01),()nxnuaugn，从而()ng()(gxx而 。0*() )nkxhaun(b) 正确。证明：()*()()()*nnknknnkaxhaxhaxhkaxh(c) 正确。证明： 令2()2(),t td2(xhyt(d) 错误。例如，当 时，有(),()nun，从而可得(2),2xh*()*2但 ， ；()ynxun()yun2()*(2)xhny(e) 正确。证明： 且 与 均为奇函数()(),thtd()xth，令()()yxtdtx ，即 是偶函数。()xhdyt()t3.10 判断下列说法是否正确，并说明理由：(a) 如果 是一
12、个 LTI 系统的单位冲激响应，且 是周期性的非零函数，那么该()ht ()ht系统是不稳定的。(b) 一个因果 LTI 系统的逆系统也是因果的。(c) 如果对任何 有 ，其中 是一个给定的数，那么以 为单位脉冲响n()K()hn应的 LTI 系统是稳定的。(d) 如果一个离散时间 LTI 系统具有有限持续期单位脉冲响应 ，则该系统是稳定()hn的。(e) 如果一个 LTI 系统是因果的，则该系统是稳定的。(f) 一个非因果系统和一个因果系统的级联必定是非因果的。(g) 对一个连续时间 LTI 系统来说，当且仅当它的阶跃响应 绝对可积，也就是：()St()Std时，该系统是稳定的。(h) 对一
13、个离散时间 LTI 系统来说，当且仅当对 它的阶跃响应 为零时，该0n()Sn系统是因果的。解：(a) 正确。 为周期性非零函数时， 。()ht ()htd(b) 错误。若系统的冲激响应为 ，则其逆系统的冲激响应为 ，0(,t0()t显然是非因果的。(c) 错误。若 ，显然 ；但 ，因此系统不稳定。()hnu()1hn()nh(d) 正确。 为有限长时，必然有 。() ()n(e) 错误。若 ，显然系统是因果的，但由于 ，因此系统不稳定。htu0()ht(f) 错误。若系统 A 的冲激响应 ，系统 B 的冲激响应 ；()3)Aht()5)Bt系统 A 非因果，系统 B 因果；但它们级联后有 ，
14、显 ()*2Ahtt然是因果的。(g) 错误。若某系统的 ，显然该系统稳定，但其阶跃响应()()teu并不绝对可积。0()(1)t tSedeu(h) 正确。 ，如果 时， ，则00),()()kkunSnh0n()0S必有 时， ，从而系统是因果的。反之，若系统因果，则 时，(h，从而必有 ， 。()0hn0n()()0nksh3.11 判断下列每一个系统的稳定性和因果性。(a) (b) 1()()2nhu()0.9(3)nhu(c) (d) 0.942(e) (f) 3()(1)te 3()(1)te(g) (h) 4ththu解：(a) 时， ， 系统是因果的。0n()又 系统是稳定的。
15、012nnh(b) 时， ， 系统是非因果的。()又 12320.9)(0.9)(.)(0.9)nnnh系统是稳定的。(c) 时， ， 时， ， 系统反因果。0()()hn又 ， 系统不稳定。0.9nnnh(d) 时， , 系统非因果。()又 ， 系统稳定。2643nnh(e) 时， ， 系统是因果的。0t()t又 ， 系统稳定。31thde(f) 时， ， 系统非因果。t()t又 ， 系统不稳定。13te(g) 时， ， 系统非因果。0t()ht又 ， 系统稳定。044012ttded(h) 时， ， 系统是因果的。t()t又 ， 系统稳定。0()thtde3.12 对图 P3.12 所示的
16、级联系统，已知系统 A 是 LTI 系统，系统 B 是系统 A 的逆系统。设 表示系统 A 对 的响应， 是系统 A 对 的响应。1()yt1()xt2()yt2xt(a) 系统 B 对输入 的响应是什么？这里 和 是常数。2aybab(b) 系统 B 对输入 的响应是什么？1()t图 P3.12解：(a) 系统 B 是系统 A 的逆系统， 图 P3.12 所示的整个系统是恒等系统。系统 A 对的响应为 ，因此系统 B 对输入 的响12()axtbt12()aytbt12()aytbt应为 。()x(b) 系统 A 对 的响应是 ，1t1()yt系统 B 对 的响应是 。()yx3.13 已知
17、图 P3.13(a)所示的连续时间 LTI 系统的单位阶跃响应为：。1()2(1)(2)Stutut现对图 P3.13(b)所示的系统，如果 ，求x系统响应 ，并绘出 的波形图。()yt()yt图 P3.13解： 1()()21)(2)htSttt3.14 已知某连续时间 LTI 系统当输入为图 P3.14(a)的所示的 时，输出为图 P3.14(b)所1()xt示的 。现若给该系统施加的输入信号为 ，求系统的1()yt 2()sin)(1)xttut输出响应 。2t(a) (b)图 P3.14解：3.15 一个零初始状态的 LTI 系统由以下差分方程描述：()21)(2)ynxn现已知 如图
18、 P3.15 所示，用递归法解差分方程，求出系统的响应 。()x ()yn图 P3.15解： 系统最初松弛， 当 时，3n()0yn由 可递推得出()2()1ynx(2)(4)2(3)110,05()(1)(,202637,(4)()3585yxyyxy41,时，6n5()(2)ny3.16 用直接型结构实现下列每个连续时间 LTI 系统，假定这些系统都是最初松弛的。(a) 2 2()()()43dttdxt(b) 4()()yttx(c) 2()()()23()tdttdxyt d解：(a) 直接型结构如图 PS3.16(a)所示。(b) 直接型结构如图 PS3.16(b)所示。(c) 将方程两边微分一次得()2()3()yttytxtx其直接型结构如图 PS3.16(c)所示。图 PS3.163.17 用直接型结构实现下列每个离散时间 LTI 系统，假定这些系统都是最初松弛的(a) 2()1)(3)(54)ynynxn(b) 2x解：(a) 直接型结构如图 PS3.17(a)所示。(b) 直接型结构如图 PS3.17(b)所示。图 PS3.17
