1、第4讲 二次函数,b0,变式训练1,训练2 已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象是( ),解析:abc,a+b+c=0,a0,c0,y=ax2+bx+c的开口向上,且与y轴的 交点(0,c)在负半轴上.D项正确.,答案:D,解析,考向二 二次函数解析式,训练4 已知f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(x-1)=1,当x0,1时, 有f(x)=x2,则当x1,2时,f(x)= .,解析:当x1,2时,x-10,1,f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2.,答案:2x-x2,解析,训练5 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴
2、上截得的线段长为2, 并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.,解:f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立,f(x)的对称轴为x=2.,又f(x)图象被x轴截得的线段长为2,f(x)=0的两根为1和3.,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).,又f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1,所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3).即f(x)=x2-4x+3.,二次函数解析式的确定,应视具体问题灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的周期性、奇偶性等知识有机
3、地结合在一起,解析,二次函数的值域与最值,1.已知函数y=x2+2x,当x0,1时,函数的最小值为 ,( ),A.3 B.0,C.-1 D.-3,解析:函数y=x2+2x开口向上,且对称轴为x=-1,则x0,1时,函数为增 函数,从而x=0时,y=x2+2x取最小值0.,答案:B,考点三,解析,2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取 值范围是 ( ),A.1,+) B.0,2,C.1,2 D.(-,2,解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,函数图象的对称轴为x0=1,最小值为2,要使最大值为3,则1m2.,答案:C,解析,解析,4.某地区有100万从
4、事传统农业的农民,人均年收入3 000元.为了减 小城乡收入差距,增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种 加工企业.对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地农民进入加工 企业工作.据估计,如果有x(x0)万人进企业工作,那么剩下从事传统 农业的农民的人均年收入有望提高2x%,而进入企业的农民的人均 年收入为3 000a元(a1).,(1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的年总收入不低于加工企 业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围;,(2)在(1)的条件下,当地政府应如何引导农民进入企业(即x多大时), 能使这100万农民的人均年收入达到最大.,解:由题意得,建立企业后,从事传统农
5、业的农民人数为100-x(万人), 相应的人均年收入为3 000(1+2x%)元.,解析,(1)由已知得(100-x)3 000(1+2x%)1003 000,即x2-50x0,解得0x 50.又x0,x(0,50.,(2)设100万农民的人均年收入为y元,则,=-0.6x2+30(a+1)x+3 000.,对称轴为x=25(a+1).,a1,25(a+1)50,函数在(0,50上是增函数,当x=50时,ymax=-0.6502+30(a+1)50+3 000=15 00a+3 000.,当x=50时,100万农民的人均收入最大.,(1)应用题的背景丰富,题目灵活多变,但应用题的解答却是一个程
6、序 化的过程,审题建模运算还原.,(2)二次函数求最值问题,首先采用配方法化为y=a(x-m)2+n的形式,得 顶点(m,n)和对称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解,常见有三种 类型:顶点固定,区间也固定;顶点含参数(即顶点为动点),区间固 定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外;顶点 固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴 和区间的关系,明确函数的单调情况,从而确定函数的最值.,1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于 ( ),A.- B.-,C.c,解析:由已知f(x1)=f(x2)且f(x)的图
7、象关于x=- 对称,x1+x2=- ,f(x1+x2)=f(- )=a -b +c=c.,答案:C,解析,二次函数的综合运用,考点四,2.若不等式ax2+x+10恒成立,则a的取值范围是 .,解析:当a=0时,不等式化为x+10,显然a=0时,不符合题意.,解析,变式训练一,6,变式训练二,3.(密码改编)已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2,则实数m的取 值范围是 .,解析:令f(x)=x2+2mx-m+12,由题意得,解析,4.已知奇函数f(x)= .,(1)求实数m的值,并画出y=f(x)的图象;,(2)若f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求a的取值范围.,解:(1)当x
8、0,f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=-(-x2-2x)=x2+2x,m=2.,y=f(x)的图象如图所示.,解析,(2)由图可知f(x)在-1,1上单调递增,要使f(x)在-1,a-2上递增,则 ,1a3.即所求a的范围是(1,3.,二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化.一般规律:,(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象 数形结合来解,一般从开口方向;对称轴位置;判别式;端点 函数值符号四个方面分析.,(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的 图象、性质求解.,【真题模拟】 (2011广东高考)(12分)设a0,讨论函数f(x)=lnx+a(1 -a)x2-2(1-a)x的单调性.,命题探究:本题考查了二次函数、不等式、导数等内容以及考生运 用化归、分类讨论等思想的能力.,解析,解析,可得(9-5a)2-4a4a0,即a2-10a+90,即(a-1)(a-9)0.,得a1,9,a的取值范围是1,9.,
