1、2009，45（2）在逆向工程的曲面重构中，一般重构模型都具有复杂的曲面外形，但组成其表面的各曲面都隐含着几何特征信息 。传统的曲面重构算法往往忽略这些特征信息，在大量运算后即使能达到满意的精度和外观质量，却也会对结果模型的变形设计和力学分析等后续 CAD/CAE/CAM 处理带来很大的困难 。所以逆向工程的目的不只是对已有实物的简单拷贝，而是要反求实物原形的设计意图，建立包含设计意图的特征模型 。根据正向设计中常用的曲面设计手段及复杂程度，可将曲面特征分为两类：简单曲面特征（球面 、柱面等）和复杂曲面特征（旋转面 、螺旋面等） 。由于简单曲面数学表达简单，其特征提取也比较简便，故研究热点通常
2、集中在对复杂曲面特征1，特别是旋转面特征的提取上2-4。目前旋转面特征提取算法的思想大体可分为三类：（ 1）基于主方向的高斯映射法 。此方法虽然能在单张直纹旋转面的特征提取上取得较好的效果，但却无法应用于非直纹旋转面或多张旋转面的情况 。（ 2）基于三维 Hough 变换的方法 。三维 Hough变换方法是一种健壮的特征提取方法，但主要缺点是收敛速度慢，精确度也不是很高 。（ 3）基于曲面法矢与旋转轴相交这个几何特性的算法 。此类算法只对单张旋转面有效，并且对于类似圆环面数据，不能得到准确的结果 。值得注意的是这些算法大多数都要求对曲面法矢进行精确估算，在法矢估算存在误差的情况下往往不能得到精
3、确结果 。然而事实上对于海量点云数据来说，法矢估算耗时巨大，而且估算的精度很难保证 。本文利用射影几何的方法将三维空间中的点云数据投影到线元几何空间中，通过拟合运动方程来分析曲面特征 。以此作为基础并结合基于特征约束的 klo-RANSAC（ k-local-RANSAC）算法，提出了一种无需精确估算曲面法失即能在点云数据中快速识别 、分离旋转面并在此基础上提取旋转轴特征的方法 。实验结果表明，算法能很好地将单张或多张特征曲面从噪声或自由曲面点云背景中分离，并提取各旋转面的旋转轴特征 。此算法收敛速度快，结果稳定精确并能适应具有自由曲面和噪声干扰的情况，可应用在基于特征的逆向工程或文物复原等诸
4、多领域 。以下从线性丛与运动方程概念以及特征提取与分离算法这两个主要方面对本文算法进行阐述 。旋转体点云分离与旋转轴提取张 量1， 2，姜晓峰1，顾园园1ZHANG Liang1， 2， JIANG Xiao-feng1， GU Yuan-yuan11.苏州大学 计算机科学与技术学院，江苏 苏州 2150062.苏州职业大学 计算机工程系，江苏 苏州 2151041.Department of Computer Science & Technology， Suzhou University， Suzhou， Jiangsu 215006， China2.Department of Comput
5、er Engineering， Suzhou Vocational University， Suzhou， Jiangsu 215104， ChinaE-mail： rainbow_ZHANG Liang， JIANG Xiao-feng， GU Yuan-yuan.Rotational surface extraction and axis estimation.Computer Engineeringand Applications， 2009， 45（ 2）： 179-181.Abstract： This paper presents a new method for an estima
6、tion of the axis of rotation based on line element geometry and kinematic equation.The method first projects the points of 3-D space to line element space and approximates the kinematic equationon it then gets the axis by the parameter witch can fit the equation.And this paper also presents the klo-
7、RANSAC technique， toextract rotational surface from the noise and the back ground data， which improves the performance and robustness greatly.Experiments show that the proposed method can recognize and extract the rotational surface from 3-D cloud data and estimate the axisof them with great efficie
8、ncy.Key words： cloud points； line element geometry； rotational； axis of rotation摘 要： 提出了一种基于线元几何与运动方程的旋转体点云数据特征分离与旋转轴提取算法 。该算法将三维空间中的点云数据投影到线元空间中，通过拟合运动方程并分析运动特征参数而计算出旋转轴位置 。算法使用基于特征约束的 klo-RANSAC（ k-local-RANSAC）算法将特征点从自由曲面背景以及噪声中提取和分离，进一步提高了算法的收敛速度与健壮性 。实验证明，本算法无需精确估算曲面法矢即能快速地从海量点云数据中迅速地识别与分离具有旋转特
9、征的数据点并提取其旋转轴特征 。关键词： 点云；线元几何；旋转面；旋转轴DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2009.02.052 文章编号： 10028331（ 2009） 02-0179-03 文献标识码： A 中图分类号： TP301.6作者简介：张量（ 1982），男，硕士， CCF 学生会员，主要研究领域为计算机辅助设计 、计算机图形学；姜晓峰（ 1972），男，博士，副教授，主要研究领域为计算机辅助设计 、计算机图形学；顾园园（ 1982），女，硕士研究生，主要研究领域为计算机辅助设计 、计算机图形学 。收稿日期： 2007-12-25 修回日期： 2008
10、-03-17Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用179Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2009，45（2）1 线性丛与运动方程射影几何可以将三维空间中的数据点投影到线元几何坐标系中，例如三维空间中的一条有向直线可以表示为线元几何中的一个 7 维向量 。通过线元几何，用运动方程拟合其投影得到的相应数据，通过分析运动参数便可取得其曲面特征 。所有过程均在线元空间中完成而非普遍采用的笛卡尔坐标系 。在线几何中，三维空间的任意一条有向直线均可在经典 Plnker 坐标系下用一个六元组（
11、l， l）表示5。其中 l 为此有向直线的方向向量， l为其矩向量 l=pl。为了表示直线上的点 p 将参数 =pl引入，将经典 Plnker 坐标系下的六元组扩展成一个 7 维向量（ l， l， ），称其为线元 。由此可得，三维空间中任意一点和一个相关矢量组成的有向直线均可投影到线元空间 。根据定义，在线元几何中任意线元均满足如下关系：（ 1） ll=1，（ 2） ll=0，反之任意满足此关系的线元也唯一对应三维空间中的一条有向直线，其投影公式如下：p=ll+l （ 1）线性丛可以被认为是符合相同特征的矢量集合 。线元线性丛被定义为其 Plnker 坐标（ l， l， ）满足式（ 2）的所有
12、线元的集合6。通过式（ 2），可以将线元空间中任意一点（ l， l， ）分类到不同的线性丛 。此方程按照刚体运动一般形式构建，其笛卡儿坐标系中对应的方程为： y（ t） =（ t） A（ t） x+a（ t），其中 A（ t）为旋转运动矩阵， a（ t）为缩放因子7。对于刚体运动，其缩放因子 （ t）等于常数 1。因为三维空间中的曲面可以认为是刚体运动的结果，凡是具有几何特征的曲面都有其相应的物理运动特征，因此可以应用刚体运动方程来拟合曲面，通过分析其运动特征进而得到相应的曲面类型 。相同运动特征的点必属于同类曲面，而具有不同运动特征的点则属于不同类型的曲面 。值得注意的是，同一线性丛在其三维
13、空间中对应的线元均应在同一类型的曲面上 。cl+cl+=0（ c， cR3， R） （ 2）2 特征提取与分离算法特征提取与分离算法主要分为以下几个环节：（ 1）将三维空间中的点云数据投影到线元空间中 。（ 2）使用 klo-RANSAC（ k-local-RANSAC）算法识别 、分离特征曲面，并在算法中采用基于特征约束的法矢修正技术以进一步提高结果精确度及算法收敛速度 。（ 3）对分离出的单张特征曲面拟合线性丛运动方程（ Line Complex Equation），并提取其特征 。（ 4）将提取的特征参数反映射回三维空间 。其中步骤（ 2） 、（ 3）为本文算法的核心内容，下面着重对这两
14、个步骤进行分析 。2.1 带特征约束的 klo-RANSAC（ k-local-RANSAC）算法为了在噪声和自由曲面背景下快速分离特征曲面并精确拟合线性丛方程，首先需要对原始数据进行处理，将符合旋转特征的点与自由曲面背景以及噪声点数据分离，并将不属于同一张旋转面的点相互分离 。分离得到单张曲面后，再进行特征提取 。点云数据的特征提取与分离一般可采取的方法有两种：（ 1）自底向上（ bottom-up）的方法 。这种方法的思想是：在原始数据中建立邻域为 k 的面片，对每个面片进行逐个判别，提取其特征 。然后用聚类算法对其聚类，最后得到整个特征曲面 。该方法辨别精确 、误差小，但也有其不可避免的
15、缺点： 需要在海量数据中逐个判别面片特征并进行聚类，算法复杂耗时巨大 。由于原始点云疏密不同 、特征面大小不一等因素，邻域面片建立时 k 值的选取十分困难 。k 值过小，可能将曲面误判成平面，而 k 值过大超出单张曲面范围，则可能提取不到特征 。（ 2）自顶向下（ top-down）的方法6，此方法首先将特征曲面分类（如：平面 、球面 、旋转面等），按照一定顺序逐个分离，每次从原始数据集中寻找一种类型的曲面 。此方法容易把握整体特征但需要多次遍历原始数据 。并且由于平面 、球面等符合旋转特征，所以无法将它们相互分离 。综合以上分析，希望找到一种既能符合自底向上方法精度高的优势，又能达到自顶向下
16、方法对整体特征把握的效果，并且不需要多次遍历数据的快速特征分离方法 。本文提出的 k-local-RANSAC 算法，以下简称 klo-RANSAC是一种自适应快速离散扩张的特征提取与分离算法（将其称为局部 k 邻域离散增长分离法） 。klo-RANSAC 既克服了自底向上方法速度缓慢的缺点，也不需像自顶向下方法一样对特征反复筛选，为多曲面 、多特征的快速 、精确提取奠定了基础 。算法的具体步骤如下：步骤 1 从初始点云数据集 Cm中随机选取点 piCm，建立k-邻域点集 Si。估算 Si中每点法矢并将其映射到线元空间（ Line Element Space） Mp中，即得到 Si对应的线性丛
17、 i（ l， l， ） 。步骤 2 利用 2.2 节所述方法，采用运动方程拟合步骤 1 中得到的线性丛 i（ l， l， ），判别其运动特性得到初始曲面特征，并提取其相应的线性丛特征参数 i（ c， c， ）， iR7。步骤 3 将原始点云与 iR7代入式（ 1） 。当 cl+cl+时，设定域值 （一般可以为 0.01），其对应点被认为是此线性丛的内点 pkiSi，否则为外点 。将内点 pki并入 i， l=Sipki。步骤 4 将已计算过的数据点从初始点云数据集中剔除据Cm=Cm-Si，如果 Cm为 覫 或者 Cm中数据不再构成特征则转步骤 5，否则转步骤 1。步骤 5 至此原始数据分已经被
18、分为 w 类 1w。对于扩展后的 k 邻域 称之为 local 域 。在每个 local 域 i上通过传统 RANSAC 方法再次提取线元线性丛特征 iR7（经过一轮筛选，初始 k 邻域范围自适应地向同特征范围扩展，故得到的线性丛能更准确地反映数据整体特征） 。在映射过程中可同时并入几何特征约束以减少法矢自由度，增加算法收敛速度 。例如对于旋转面，则考虑用圆柱面代替平面或者标准二次曲面拟合来估计表面法失，在不损失特征的基础上提高线性丛建立的速度与精确度 。最终得到的特征集合 iR7为符合不同旋转运动的线性丛特征集合，点集 为与此特征对应所有内点的集合 。可以看到，算法充分利用了原数据的局部及全
19、局特征，在不增加算法复杂度的情况下，估计出比较接近精确值的初始参数 。基于此初始参数估计对数据进行离散扩张，在修正初始特征参数的同时分离同类特征数据 。2.2 基于线元几何与线性丛的特征提取算法利用线元几何的优势主要在于：（ 1）无需对曲面法矢进行精确估计 。（ 2）建立运动方程求解算法快速 、简洁 。这两点，都能够有效地提高算法的速度 。由于在传统的笛卡儿坐标系下算法比较复杂，对原数据精1802009，45（2）确性要求较高并且收敛性不好，本文使用基于线元几何的方法将三维空间中的数据投影到高维空间中表示，简化了笛卡儿坐标系中的数学模型 。运动方程的方法从另外一个角度描述了曲面类型特征，它不再
20、将曲面看作是静止的点集，而是刚体运动的结果 。符合同一运动特征的点集，属于同一线性丛 。经过 2.1 节中所述算法的处理，点云数据中的所有外点已经被排除，并已经建立了一个统一的属于同一曲面的线性丛。根据线性丛的定义，同一线性丛必须符合式（ 2） 。因此只要使用式（ 2）拟合 中所有线元，通过分析其系数向量（ c， c， ）即可得到本曲面的特征参数 。即在满足条件（ 3）的前提下求式（ 4）的最小值，其中式（ 3）表示线元线性丛必须满足 ll=1 的约束条件 。1=x2=XTDX （ 3）F（ c， c， ） =Nmini=1（ cli+cli+i）2（ 4）为了计算方便，在式（ 3）的约束条件
21、下可以将 F 改写成如下形式：F（ c， c， ） =（ c， c， ） M（ c， c， ）T（ 5）其中 M 为：M=Nmini=1（ li， li， i）T（ li， li， i） （ 6）由于矩阵 M 为一个 7 维方阵，故求解 M 可以得到 7 个特征根 1， 2， ， 7，此特征根序列为增序排列 127，并设其相应特征向量为 1， 2， ， 7。若 k满足条件 i/6，（ 可以取在 0.01 到 0.03 之间）则可以称其为足够 “小 ”，这些足够“小 ”的特征根所对应的特征向量 iR7即为能使式（ 4）取到最小值的解，也就是所求线元线性丛的特征参数值（ c， c， ） 。其中，这
22、些足够 “小 ”特征根 1， 2， ， k的数量 k，表示在数据集 Cm上能够满足所构建运动方程模型（ 2）的运动特征数量，这里称之为 “自由度 ”。某一曲面 i自由度 S（ i）可以由式（ 7）表示：S（ i） =arg maxki6 （ 7）由于旋转曲面上点的运动都相对于旋转轴对称，故这里只提取 S（ i） =1 的曲面 。对于符合条件的线元线性丛 i=cl+cl+（ c， cR3， R），根据其系数向量可以得到相应的运动旋转轴6，具体方法如式（ 8）所示：X（ c， c， ） =（ c，1c2+2（ c2c-（ cc） c+cc） R6（ 8）由式（ 8）可以方便地计算出旋转面的旋转轴在
23、线元空间中的表示 X（ c， c， ） R6。最后只需通过第 1 章中所叙述三维空间到线元空间的映射关系及投影公式（ 1），便可将 X 反映射回三维空间从而得到旋转轴在三维空间中的相应位置 。3 算例分析在 Visual C+ 6.0 和 OpenGL 环境下实现了上述算法，硬件运行环境为 P4 2.8 G CPU， 512 M RAM。计算结果如下：图 1图 5 为部分代表性旋转曲面和实物曲面的旋转轴提取结果 。其中图 1（ b）与图 2（ b）为数据经破坏并加入噪声后的计算结果 。表 1 列出了实验算例的算法耗时以及计算结果与实际结果的精度比较 。图 1（ a） 图（ c）可以说明本文算法
24、在类圆环面数据上未产生二义性 。若采用曲面法矢与旋转轴相交的传统算法则有可能得到如图 1（ c）所示的错误结果 。图 1（ b）与图 2（ b）说明在不完整点云碎片以及有噪声的点云数据上，本文算法也仍然可以得到满意的结果 。从图 1（ b）与图 2（ a）中可以看到，算法很好地将圆环面与彩陶壶旋转特征部分的数据（红色）分离提取了出来，并将手柄或噪声等无关数据点（蓝绿色）剔除在特征数据之外 。如图 5 所示，算法能够很好地将同属于旋转特征的球面与柱面分离而未误判成同一特征 。表 1 说明，本文算法使用平面拟合方法代替二次曲面拟合等更精确的方法来得到法矢，并采用 klo-RANSAC 离散扩张方法
25、，按特征对数据进行分离处理，算法耗时少并且在精度上也达到了满意的结果 。4 结论本文提出了一种基于线元几何 、线性丛的旋转体点云特征识别和提取算法 。其中应用带特征约束的 klo-RANSAC 算法能快速 、准确地将具有旋转特征的点云从噪声与自由曲面背景图 1（ a）圆环的旋转轴特征提取结果图 1（ b）破坏与噪声下的特征分离与旋转轴提取结果图 1（ c）基于旋转轴法失相交算法可能产生的错误结果图 2（ a）彩陶壶点云的旋转轴提取结果图 2（ b）破坏后彩陶壶数据的旋转轴提取结果图 3 零件模型点云的旋转轴提取结果图 4 茶杯盖模型的旋转轴提取结果图 5 球面与柱面特征分离效果点云数据圆环（
26、77864点）圆环碎片（带噪声 15709点）茶杯盖（ 41619点）零件（ 3373点）彩陶壶（ 46347点）算法耗时 /ms15125211252801844实际旋转轴（ 0.00， 0.00， 1.00）（ 0.00， 0.00， 1.00）（ -0.54， 0.32， 0.00）（ 0.00， 47.00， 6.00）（ 0.03， 0.11， 1.90）计算结果比较（ 0.0001， 0.0002， 0.9999）（ 0.0003 0.0009 0.9999）（ -0.52， 0.380， -0.01）（ 0.00， 47.89， 5.95）（ 0.0359， 0.1183， 1.
27、8944）表 1 算法耗时与计算结果（下转 196 页）张 量，姜晓峰，顾园园：旋转体点云分离与旋转轴提取181Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2009，45（2）（上接 181 页）中分离，并在此基础上使用线性丛构造运动方程的方法提取旋转曲面的旋转轴特征 。实验表明，算法能够准确地识别并分离特征曲面，在精度以及算法效率上也都达到了预期的要求 。参考文献：1 柯映林，李岸 .点云数据中拉伸面特征的提取 J.计算机辅助设计与图形学学报， 2005， 17（ 6）： 18-22.2 潘荣江，孟祥旭 .陶器碎片旋转轴的健壮估计 J.计算机辅
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