1、电子云环的氢分子模型摘 要：本文用电子云环方法，考虑了氢分子形成因素，用经典量子论的方法，计算了氢分子的结合能曲线，达到较高精度，计算氢分子转动基频和振动基频基本和实验值一致。关键词：电子云环、氢分子、模型。一、氢分子结合能曲线计算当氢原子以较小动能互相接近时，它们的电子的任一瞬时轨道平面，只有当在互相平行时才有相对低的能量，否则会因有转矩而产生旋转到平行。如图一所示。当它们逐步放出能量而互相靠近， 图一形成 H2 时，有图二所示模型： x 为核间距，核 Z1、Z 2 到电子 e1、e 2 的距离为 r1、r 2，e 1、e 2电子云环的的半径为 s sR1、R 2， 1、 2 是r1、r 2
2、 和 x 的夹角，e 1、 r1 re r2e2 电子云环应该有一 1 2个宽度，这里简化为 Z1 Z2一个轨道环，由于 e1、 b e1 e2e2 环不是刚性的，只 在电场中处于一个动 a1 a2态平衡的最低能量态， x根据库仑定律在 1015 m 图二以上均成立，可以写出下列各式：（ s 是 e1 环上任一点，ss是两电子云环间距离，b 是e1环上又一点，联接 bs、bsbos，a 1 是 Z1 到 e1 环中心距离，a 2 是 Z2 到 e2 环中心距离。）Z1 对 Z2 作用力 F1 为：F1Z 1Z2e24 ox2 （11）Z1 对 e1 作用力 F2 可分解为垂直于 x 轴分量 F
3、2 ，平行于 x 轴分量 F2 有：F2 Z 1e2R14 or13 （12）F2 Z 1e2a1 4 or13 （13）Z2 对 e2 也可以写出 F3 相同式：F3 Z 2e2R24 or23 （14） oR1 R2F3 Z 2e2a2 4 or23 （15）Z1 对 e2 的力 F4 可分解为 F4 、F 4 有：F4 Z 1e2R24 o（ xa 2） 2R 22 3 （16）F4 Z 1e2（xa 2）4 o（xa 2） 2R 22 3 （17）Z2 对 e1 的力 F5 同样可写出：F5 Z 2e2R14 o（ xa 1） 2R 12 3 （18）F5 Z 2e2（xa 1）4 o
4、（xa 1） 2R 12 3 （19）e1 环与 e2 环间力可以写出 F6 及分量 F6 、F 6 ，如图二所示：re2（xa 1a 2） 2bs 2bs22R 22R 2coscos（902）（RRcos）bsF6 （e 22） 02 bscos（902）d4 ore3（e 22） 02 R1（1cos ）d4 o（xa 1a 2） 22R 2（1cos） 3（110）当 cos1 22！F6 （e 216 2 oR12） ln2R 14 2R12（x a1a 2） 2（xa 1a 2）2R 14 2R12（xa 1a 2） 2 （111）F6 （e 22） 02 （xaa）d4or e3
5、 （112）当 cos1 22！F6 e 24 o（xa 1a 2）4 2R12（xa 1a 2） 2 （113）当两氢原子处于基态，可假定：rr 1r 2，aa 1a 2，n 1n 2 1，RR 1R 2， 1 2。Z 1Z 21平行分力平衡时有：F1F 2 F 5 F 3 F 4 （114）即是：1x 2（xa）R 2（xa） 2 3a（R 2a 2） 30 （115）并有：F5 F 2 F 6 （116）即是： a（R 2 a2） 31（x2a）4 2R2（x2a） 2（xa）R 2（xa） 2 30 （117）垂直分力平衡时，设 e1、e 2 分别有动能为：T 112m 1v12、T
6、212m 2v22，设 e1、e 2均为园周运动，离心力分别为：m 1v12R 1、m 2v22R 2，当两氢原子对称时有：mv2Rm 1v12R 1m 2v22R 2有： mv2RF 2 F 5 F 6 F 3 F 4 F 6 （118）令：Z*Z r 3（xa） 2R 2 3（Zr 34R 3）2R4 2R2（x2a） 2ln2R4 2R2（x2a ） 2（x2a） （119）则（118）式可写成：mv2RZ*e 2R4 or3 （120）当量子化条件：2mrnh 时有：r on2h2Z*me 2sin2n 2AZ*sin 2 （121）Rn 2AZ*sin （122）A 是氢原子基态半径
7、，A0.52916610 10mH2 的能量式可写出：两核间： E1Z 2e24 ox （123）当两氢原子对称时，Z 1 对 e1、Z 2 对 e2 为：E2E 3Ze 24 or （124）Z1 对 e2， Z2 对 e1 对称时有：E4E 5Ze 24 oR 2（Xa ） 2 （125）两电子云环间势能为：E6（e 24 o） （12） 02 d（x2a ） 2R 2cos（e 28 2 oR）ln 2R 4 2R2（x2a） 2（x2a） （126）两电子动能对称时有：T1T 2Z*e 2sin28 or （127）H2 体系总能量 E 为：EE 1E 2 E3E 4E 5E 6T 1
8、T 2 （128）当两氢原子处于基态对称时有：E（e 24 o） Z 2x2Z r Z*sin 2r 2ZR 2（xa） 2（12R）ln2R4 2R2（x2a） 2（x2a） （129）从（117） 、 （119） 、 （121） 、 （122）等式可求出两核间不同 x 时的r、R 、a、值，代入体系能量式（129） ，可求出在不同核间距时体系的能量如下表一： H 主要计算数据及结合能数据表 表一 x1010 m 1 2（度） Z* r1r 2 1010 m R1R 2 1010 m a1a 2 1010 m E E27.2eV0.3 83.74815332 1.404396 0.38130
9、53538 0.3790376656 0.0415237388 19.1983 8.00170.4 81.4454 1.3121 0.4125145286 0.4079251228 0.0613622894 26.9311 0.2689 0.405438145 81.35346 1.307795 0.413982184 0.409277108 0.062237434 27.1996 0.00.5 80.380103 1.23434075 0.441059972 0.4348144586 0.0736986868 29.4072 2.94070.6 80.250038 1.16973 0.465
10、7400014 0.4590129327 0.0788725337 31.3127 4.11270.696 80.695 1.1203 0.4849649577 0.4785835998 0.0784139548 31.5593 4.35930.7 80.717482 1.11852885 0.4857293141 0.4793686785 0.0783494526 31.5557 4.35570.73 80.93 1.1057784 0.4910871146 0.4849467985 0.0774154819 31.5119 4.31190.8 81.524069 1.07925072 0.
11、5011696497 0.4956958089 0.0738693637 31.3892 4.18920.9 82.46 1.050185 0.5127970861 0.5083631837 0.0672883717 31.0560 3.85601.0 83.386 1.0290553 0.5211666797 0.5176981339 0.0600278432 30.6932 3.49321.2 85.036 1.00327323 0.5314043357 0.5294111779 0.0459823097 30.0073 2.80731.5 86.79 0.98720 0.53769682
12、08 0.5368531779 0.0301087447 29.2213 2.02132.0 88.361726 0.98247 0.5387577506 0.5385375282 0.0154027496 28.4350 1.23503.0 89.47355 0.987960 0.535638337 0.5356157267 0.0049215289 27.7232 0.5232根据表一的数据，绘成核间距和结合能间的关系曲线图三如下：从本方法计算值和实验值比较，基本和实验值一致，但本方法计算的最低结合能在核间距为 0.6961010 m 处，和量子力学结果： 0.74161010 m 有一些
13、不同。在 0.696 处给出的结合能为4.3593eV，和实验值4.476eV 相差 0.1167eV，误差 2.6。用经典量子方法结合 H2 旋转基频实验值计算的两氢原子核间距为 0.69721010 m。未考虑电子云环宽度是造成误差的一个因素。二、H 2振动基频计算在任一核间距 x，从（117）式有两电子云环间作用力均为零。从（115）式可知在x0.73440710 10 m 时（1 15）式为零，两核间力 FZ 由下式给出：FZF 1F 2 F 4 （21）即：FZ（e 24 o） Z 2x 2Z（xa ）R 2（ xa） 23aR 2a 2（22）表二是 x 和 Fz 的关系值表，表中
14、 x 单位：10 10 m，F Z 单位：e 24 o1020 m。x 和 Fz 关系表 表二x 0.3 0.4 0.405438145 0.5 Fz 7.685380128 3.103405572 2.954039384 1.252745689x 0.6 0.7 0.734407212 0.8Fz 0.4410456704 0.072093427 0.0 0.0927970046x 0.9 1.0 1.2 1.5Fz 0.1611359942 0.1847070706 0.1758088177 0.13281486x 2.0 3.0 4.0 5.0Fz 0.0767243213 0.0272
15、485618 0.0113605196 5.3305510 3两核间作简谐运动时，可写出方程：m1d2x1dt 2F z0 （23） m2d2x2dt 2F z0 （23）令 Fzx 1k 1，F zx 2k 2，上式可写成：m1d2x1dt 2k 1x10 （24）m2d2x2dt 2k 2x20 （24）在 H2 对称时：kk 1k 2，mm 1m 2， 1 2km （25）从量子化通则：pdqETm 2A2T2nh （26）（26）式结合（24）式有：（m 12） （d 2x1dt 2） 2k 1x122E 1 （27）（m 22） （d 2x2 dt2） 2k 2x222E 2 （27
16、）设 E1n 1h1T 1E 2n 2h2T 2，T2，A 是振幅，把（27）两式相加，体系总能量：EE 1E 2 有：Eh（n 1n 2）2h（n 1n 2） （28）（28）式是两氢原子简谐振动的能量式，也可推广到其它两质点谐振动。以 0.73441010 m 为 Fz 平衡点，x 1 或 x2 值为：0.734410 10 mx，k 1F zx 1、k2Fzx 2，求出 k 值与 x 关系如表三：（k 单位：e 24 o1030 m）k 与 x 关系表 表三x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.7344 0.8 0.9k 17.6919 9.2805 5.3444 3.2816
17、 2.0957 0.0 1.4146 0.9730 x 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0k 0.6954 0.3776 0.1735 0.0606 0.0120 0.0035 0.0013设 ka0 、k b 0，k a 是 x 在 0.31010 mx0.734410 10 m 这段，k b 是 x 在0.73441010 mx310 10m。用 0.0251010 m 分段取值（插值等分） ，部分 k 和 x 关系如下表四：k 与 x 关系表 表四x 0.30 0.325 0.35 0.375 0.40 0.425 0.45 0.475 0.50 0.525 0.55
18、 0.575k 17.6919 15.5890 13.4862 11.3833 9.2805 8.2964 7.3124 6.3284 5.3444 4.8287 4.3130 3.7973x 0.60 0.625 0.65 0.675 0.70 0.7172 0.7344 0.7563 0.7781 0.80 0.825 0.85k 3.2816 2.9851 2.6886 2.3921 2.0957 1.4503 0.00 0.4715 0.9431 1.4146 1.3042 1.1938x 0.875 0.90 0.925 0.95 0.975 1.00 1.025 1.05 1.07
19、5 1.10 1.125 1.15k 1.0834 0.9730 0.90360.8342 0.76480.6954 0.6557 0.6160 0.5763 0.5365 0.4968 0.4571x 1.175 1.20 1.225 1.25 1.275 1.30 1.325 1.350 1.375 1.400 1.425 1.45k 0.4174 0.3776 0.36150.3453 0.32740.3095 0.2925 0.2755 0.2585 0.2415 0.2245 0.2075用求平均值公式：k1（ba） abf（x）dx1n（y o2y 1y 2y n1 y n2）求得
20、各段 k 值的平均值如表五：（x 单位：10 10 m、k 单位：e 24 o1030 m）x 与 ka、k b 关系表 表五x 0.40 0.450 0.475 0.500 0.525 0.550 0.575 0.600 ka 3.9836 3.3201 3.0284 2.7731 2.5418 2.3164 2.0990 1.8932 x 0.90 0.925 0.95 1.00 1.05 1.075 1.10 1.20 kb 0.8621 0.8706 0.8704 0.8528 0.8247 0.8094 0.7936 0.7263 用线性 ka、k b 来近似，简化两核间为简谐振动，
21、设 m2 核在原点不动，m 1 核振动时有：m1d2xadt 2k axa0 （29）m1d2xbdt 2k bxb0 （29）从（29）式有： a（ kam） 12 （210） b（k bm） 12 （211）m1 的振动周期 T 有：T（T aT b）2 （212）m1 的 为：2 a b（ a b） （213）m1 的振幅 A 为：AA a A b （214）从（26） 、 （27）和（28）有：E1n 1h2m 2A2 2 （215）可得 m1 在不同 k 值时振幅：（下式中 ka、k b 为平均值）Aa n1h（mk a） 12 （216）Abn 1h（mk b） 12 （217）从
22、（213） 、 （215） 、 （216） 、 （217）式可解 m1 的 Aa、A b、 a、 b、E 1 见表六：m1 在不同 n1 值时的 Aa、A b、 a、 b、E 1 表 表六n1 x x Aa Ab a1014 b1014 10 14 E1cm1 2E1cm11 0.575 0.925 0.1531 0.1907 5.3780 3.4635 4.2135 2236.85 4473.702 0.525 1.00 0.2063 0.2711 5.9181 3.4279 4.3412 4609.34 9264.443 0.475 1.075 0.2419 0.3364 6.4598 3
23、.3396 4.4030 7012.29 14024.58E E nE n1 E2E 1 4869.20cm1 E3E 24760.14cm 1 逐步下降和实验相符。表六中 x 对应表五中 x 值及用所求的 ka、k b 计算表中各值，A a、A b 单位为 1010 m。当m1 和 m2 对称时，m 2 有表六中的对应值，因此从（28）式振动基频为 2E1，当 n1n 21时，振动基频为：4473.70cm 1 ，和实验值 4395.24cm1 相差 78.46cm1 ，误差 1.8，基本和实验值相同。三、H 2 转动基频计算从经典力学，H 2 转动能 E 为；EI 22 P22I （31）
24、式中转动惯量：Im 1m2r2（m 1m 2）r 2，m 1、m 2 分别为两原子质量， r 为核间距， 为转动角频率。角动量：PI 从量子化通则：pdqnh （32）式中 p 是线动量或角动量，q 是广义坐标。Pnh2，代入（31）式有： En 2h28 2r 2 （33）当在 H2 基态时，从上述表一知： x0.69610 10 m 时，有最低能量，把此 x 值代入（33）式计算出 H2 转动基频： E69.064cm 1 ，和实验值：68.809cm 1 相差 0.255cm1 ，误差：3.7，基本和实验一致。从电子云环方法计算了氢分子结合能曲线，振动基频，转动基频，均较高精度和实验一致，本方法指出分子共价键有方向性，和实验一致。用电子云环方法对中性氦原子、锂原子的基态和激发态能级的计算有较高精度，证明电子云环方法是一个较好描述原子、分子的方法。从量子力学有关 H2、He、L i 的相关文献中，未看到用一种方法计算了这些问题。仅以此文记念量子发现 100 年。作者：王永杰、男、退休工程师、重庆市江北区读书一村 12 号 41、邮编：400020、1999 年 10 月 12 日于重庆首稿。2001 年 1 月 6 日修改于重庆。2010 年 1 月 23 日再修改于重庆 。
