1、第三章 演绎推理自动定理证明是人工智能一个重要的研究领域，是早期取得较大成果的研究课题之一，在发展人工智能方法上起过重大作用。1956，美国，Newell, Simon, Shaw 编制逻辑理论机：The Logic Theory Machine 简称 LT. 证明了 数学原理 （罗素）第二章中 38 个定理, 改进后证明了全部 52 个定理。是对人的思维活动进行研究的重大成果，是人工智能研究的真正开端。在此之后，发展了一些机械化推理算法，很成功地用到人工智能系统中。第一节 鲁滨逊归结原理一、命题逻辑中归结推理1.归结： 消去子句中互补对的过程：子句： 任何文字的析取式 C 称为子句，C=P
2、Q 7R=P,Q,7R如：C1=LVC1=L,C1C2=7LVC2=7L,C2可以证明 C12=C1VC2=C1,C2是 C1,C2 的逻辑结论：即：C1 C2C12证明：C1=LVC1=77C1VL=7C1LC2=7LVC2=LC2所以 7C1C2=77C1VC2=C1VC2实际上是 PQ, Q PPR 的应用即前提成立结论成立，也即结论不成立前提不成立S 子句集：其中有 C1,C2 归结式S子句集：C12 代替 C1,C2则： S不可满足S 不可满足2.归结推理步骤要证 AB 成立(或证 AB 重言、永真)，只要证 A 7B 不可满足(永假 )化 A 7B 为合取范式 C1 C2 Cm子句
3、集 S=C1,C2, Cm归结规则用于 S，归结式入 S 中.重复，直到 S 中出现空子句。证明：SVR 是 P Q , P R，QS 的逻辑结论。（P Q) (P R) (QS) 7(S R)=（P Q） (7P R) (7Q S) 7S 7R所以 S=P Q,7P R,7Q S,7S,7R(1)P Q (2)7P R (3)7Q S (4)7S (5)7R (6)Q R (1)(2) 归结(7)7Q (3)(4) 归结(8)Q (5)(6) 归结(9)F (7)(8) 归结命题逻辑中不可满足的子句集 S，使用归结原理，总能在有限步内得到一个空子句 归结原理是完备的。二、谓词逻辑中的归结原理
4、谓词和子句中含有个体变元，同一谓词含有不同的个体变元。所以寻找互补对更困难。例：C1=P(y) Q(y)C2=7P(f(a) R(a)1. 置换定义：形如t1/a1，t2/a2 ，tn/an的有限集合，表示 ti 代换 ai，其中 ti 是项，变量，常量，函数。ai 是变量，且 ti 不同于 ai。置换的目的是使得 S 中有相同互补文字的子句中谓词各对应项变得一致，以便于归结。, 表示置换。F=G，则 F 是 F 的逻辑推论。例如，F=P(x, f(x),y), P(a,z,g(z)做置换1=a/x之后得:G1=F1 =P(a,f(a),y)， P(a,z,g(z)2 =f(a)/zG2=G1
5、2 =P(a,f(a),y)， P(a, f(a),g(f(a)3 =g(f(a)/yG3=G2 3 =P(a,f(a),g(f(a), P(a, f(a),g(f(a)= 1 23=a/x, f(a)/z, g(f(a)/y是一个置换.2.合一定义：设有公式集 F=F1, F2, , Fn，若存在一个置换 ，可使F1=F2= =Fn, 则称 为 F 的合一置换。称 F 是可合一的。如上面“置换”一节中的例子。很明显，很多 F 是不可合一的，而且一个公式集合的合一置换不唯一（如上例中， 2 = g(a)/y。定义：如果是公式集 F 的一个合一置换，且对 F 的任何一个合一 i，都存在一个置换i
6、，使得 i = i，则称 为 F 的最一般合一.（Most General Unifier 简记为 MGU）最一般合一是最简单的合一置换。求 F 的最一般合一方法：从左到右比较 F 中公式的对应项，若不同则作置换，直到对应项完全相同为止。3.斯柯林范式：不含存在量词和母式为合取范式的前束范式为斯柯林范式( x)( y)( z)P(x,y,z)化为: ( y)P(a,y,f(y)( x)( y)( z)Q(x,y,z)化为： ( x)Q(x,f(x),g(x)( x)( y)( z)( u)R(x,y,z.u)化为： ( y)( z)R(a,y,z,f(y,z)4.归结推理过程例：C1=P(x)
7、 Q(x)C2=7P(a) R(y)令 =a/xC1=C1=P(a) Q(a)C2=7P(a) R(y)C12=Q(a) R(y)是 C1,C2 的逻辑推论定义：设 C1 和 C2 是两个子句，L1，L2 分别是 C1 和 C2 中的文字，如果 是 L1 与 7L2 的最一般合一，那么C12(C1-L1) C2-C2 为 C1，C2 的双归结式。如上例：L1= P(x)，L2=7P(a)在一阶谓词中, 对于不可满足的子句集 S，一定可以在有限步内推出空子句。所以谓词逻辑中的归结原理也是完备的。并非所有符号相同但变元不同的谓词公式都可合一，如C1= P(x) Q(x)C1= P(z) Q(z)C
8、2=7 P(f(x) R(y)所以要易名例：F1=( x)( P(x)( Q(x) R(x)F2=( x)( P(x) S(x)G=( x)(S(x) R(x)证明 G 是 F1 F2 的逻辑推论证明:F1 F2 7G =( x)(7P(x) (Q(x) (R(x) ( x)(P(x) S(x) ( x)(7S(x) 7R(x)(7P(x) Q(x) ( 7P(x) R(x) P(a) S(a) (7S(x) 7R(x)S=7P(x) Q(x), 7P(y) R(y), P(a), S(a), 7S(z) 7R(z)归结树如下：7P(x) Q(x) 7P(y) R(y) P(a) S(a) 7
9、S(z) 7R(z)= =| a/y | a/zR(a) 7R(a)=| F所以 G 是 F1,F2 的逻辑推论。例 2：证明 G 是 F1, F2 的逻辑推论，其中：F1=( x)(P(x)( y)(Q(y) 7L(x,y)F2=( x)(P(x) ( y)(R(y) L(x,y)G=( x)(R(x) 7Q(x)解：对 F1: ( x)(7P(x) ( y)(7Q(y) 7L(x,y)S1=7P(x) 7Q(y) 7L(x,y)对 F2: (P(a) ( y)(7R(y) L(a,y)S2=P(a), 7R(z) L(a,z)对 7G : ( x)(77R(x) 77Q(x)S3=R(b)
10、, Q(b)7P(x) 7Q(y) 7L(x,y) P(a) 7R(z) L(a,z) R(b) Q(b)= =| a/x | b/z7Q(y) 7L(a,y) L(a,b)=| b/y7Q(b)=| F5.归结策略用归结推理方法可以证明 S 的子句不可满足性. 由于该过程不断产生新子句，因此，子句会越来越多，同样会出现组合爆炸问题。并且会产生大量的无用子句。因此在归结中选择哪两个子句（含有互补对）进行归结，是一个控制策略问题。如果用树来表示推理过程，就容易理解控制策略。演绎树（倒长的树）例如证 S=7A B, A, D, 7D 7B不可满足。7A B A D 7D 7B= =| |B 7B=
11、|F1)宽度优先策略第一级归结： 生成可能生成的全部归结式 S1, S1=S1S0第二级归结： 生成可能生成的全部归结式 S2, S2=S2S1(这时已进行归结的子句对不再归结)直到生成空子句该方法效率低，但它是完备的。即只要子句集不可满足，则一定能在有限步内归结得到空子句。例如证 S=7A B, A, D, 7D 7B不可满足。2)支持集优先策略每次归结时，要归结的两个子句(亲本子句) 至少有一个是与目标公式的否定式有关的子句（目标公式的否定式化成的子句本身或它的有关后商）该策略完备？且效率高(相当于在宽度优是策略中有了启发式信息 )例如证 D B 是 7A B，A, D 的逻辑推论3）单元
12、子句优先策略每次归结时，优先选择单文字子句作归结（至少一个是原文字子句） 。这样得出的归结式简单，可能会提高效率。很显然，这种归结策略不完备。4)删除策略删除在归结时产生的无用子句，从而减少了中子句数量。可以删除下面子句：a.永真式：P 7P，Q 7Q b.重复出现的子句c.被归类的子句：子句 C 把 D 归类，当且仅当存在一个置换，使得 C D ,称 D 为被归类子句。5)线性归结首先选择一个子句 C0，与其它式作归结产生 C1，然后，对于新生成的Ci， i=1,2,n 立刻被选中与其它子句 Bi 或 Cj 归结，生成 C i+1。如果初始子句选择得正确，线性归结是完备的。类似深度优先搜索方法。其中 C0 选择是重要的，要选择的是关键子句，即缺了 C0 剩余子句集可满足，这是在支持集优先策略上的改进。6)组合策略：组合以上几种方法。6.应用用于证明定理，如果 x=A，W(x) 真否?即 x=A W(x)取真？但 x=? 时,W(x)取真例 1：事实：John likes everything that mary likes.Mary likes reading.问: What does John like?形式化：( x)(L(Mary,x)L(John,x)L(Mary,reading)结论：( x)L(John,x) 取非( x)7L(John,x)先证明：找答案：
