1、运筹学 II 练习题1 试判定下述非线性规划是否为凸规划：（1）21211280,MinfXxx（2）2213121312450,infXxxx（3） max 12()fxX21.,0st解 （1）211221180,0MinfXxgx的海赛矩阵的行列式：12,fXg21122102fXfxxHff2211122110gxxX221122102gXxx知 为严格凸函数， 为凸函数， 为凹函数，所以不是一个凸规划问题。fX,gX2gX（2） 22131 2122131344050,MinfxxgXgXx同上有 的海赛矩阵的行列式12,fg40H是凹函数， 是凸函数，不是凸规划问题。12,0g21
2、0g（3） min 12()fxX12132.()gstx 0 123020(),(),()f gggHXHX 说明 是凸函数， 、 、 是凹函数。因此，本模型是一个凸规划。()f12()3()g2 试用斐波那契法求函数23fx在区间0，10上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的 8%。 （1.5）1/2.5,6;0,1;0()3.84; .6(1)5.24;(1)09;,6.5423.86;()38;(2)0.4;2(.;0FnnabtbaftftbtFtbafftfta;2.4;32.08;3()1.5().8043;.8;1.5;24().7693()0.28;0.769;4
3、2.30;.8;15(4).532bttfft tFtbafftabtt 3 用分数法求 在区间 上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间2ftt1,长的 8%。 （0.538）4 试用最速下降法求函数21fXx的极大点，先以 为初始点进行计算，求出极大点；再以 为初始点进行两次迭代。0,TX 0,1TX最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。 （2，0）解 求 的极大点，即求 的极小点。21fx21gx（1）取初始点 ，取精度0,TX.101220,4,4,164TgxgXHX 0001004,02,6342102,4,TTTgXgXgXg即 即为极小点。1为 的极大点。20fX
4、（2）取初始点 ，取精度 ，同上方法进行两次迭代有：0,1T0.1两次步长01,3两次迭代结果124639,1X比较：对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说，椭圆的圆心即为最小值，负梯度方向指向圆心，但初值点与圆心在同一水平直线上时，收敛很快，即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。5 求 的极小点，取 。(1,1)21123()fxxXT024X解 111222xf T121()3fxxTT0006,()6fXPXT0021() 5317266fHTTT1052384171XP162()7fT110006217()896ffX T11021021() 678989fPPT T121,fXPH由于
5、 ，故 即极小点，计算经两步终止。T2()0f T26 试用牛顿法求解 (0,0)21MaxfXx取初始点 。04,T解 求 的极大点，即求 的极小点。21axfx21gXx， ，T12()gxXT0()8gX()20gHX()1/20gX，14/0T1()所以极大点为*1,2TXfX7 试用共轭梯度法求二次函数 (0,0)12TfA的极小点，此处12解 1A22112212,T TfxXxxff现从 ，开始0,TX0,3Tf2,TPfX002,31,34TPA于是10012385,434TXP18512,343TTf011 20034,12,3TfXf110223144,653TPfP11
6、22 23430465,431065, ,49106513TTfXPA故221 104853,64XP故得到极小值点20,T8 考虑下面的非线性规划：max 12()ln)fxX12.,0 3st验证它为凸规划，并用 K-T 条件求解。(0,3)解 原问题可写为min 12()ln()fxX1.30stg-21()x32X计算目标和约束函数的海赛阵 123210 0(),()()()f gggx HHXHX 故此问题是凸规划。 TTT1231(),()21()10()01f gggxX ， ，K-T 条件表达式为 12131122312-()0,xx若 ，则无解，于是 ，有10101230x令
7、 ，则有3,x1220x解得 ，显然 是可行点，从而是极小点。1123,3,0T39 试写出下述非线性规则的 Kuhn-Tucker 条件并进行求解：2315Maxf清华版，7 章例 110 求解二次规划min 2112()80fxxX2163.0, st( )T*43X见天大版例 3-1611 试解二次规划2211212463349,0MinfXxxx解 将上述二次规划改写为22112124863309,MinfXxxxx可知目标函数为严格凸函数，此外12122 1126,3,4,49,cccbaba由于 和 小于零，故引入的人工变量 和 前面取负号，这样得到线性规划问题如下1c2 1z12
8、3412121342123412min609,0gzyxzxyz解此线性规划问题得*12342 2*393,0001,53939214460000xxxzzyyfX12 试用 SUMT 外点法求解 （1，2）13231220,MaxfXx解 原问题转化为 1323122min00fXxxx构造惩罚函数2312122231 13211 32121 122,min0,i, min0,in0,2n0,mi, in0,n0iPxMxxxxx xMxPMxx 312 2, min0,xx解得最优解为*1,2TX13 一工人管 2 台机器，每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为 1/2 小时的负指数分布
9、，修理时间也属负指数分布，均值为 1/3 小时。（1） 画出转速图。（2） 列出平衡方程式求出状态概率 P0，P 1，P 2。（3） 求故障机器数的均值 Ls。（4） 一台机器每次停机时间均值 Ws。解 （1） 12 台/小时， 3 台/ 小时 M/M/1/2 模型2 14 12 0 1 23 3（2）3P 14P 0 , 5P1=4P0+3P2 , 3P22P 1 P1 P0， P2 P0 P0 343498P0P 1P 2P 0 P0 P01 P 0 P1 P2 9（3）L s0 P 01P 12P 2 （台）0.966 968（4） e（ 1P 0）3（1 ） 290Ws 0 .47（小
10、时）28（分钟） e6814 某风景区有一小客店，每天平均到达 4 人，顾客平均逗留时间为 2 天，到达服从泊松分布，逗留时间服从负指数分布，若该旅馆只有（C）2 个单人房间，客房住满时再到达的顾客会离去（N2） 。（M/M/2/2 模型）（1）画出转速图，列出平衡方程式。 （2）求空闲概率 P0 和满员概率 P2 。 （3）求每天客房占用数的均值 Ls 。 解 4 人/天 1/2 人/天（1） 0 1 2 21/2P14P 0 P18P 0 P24P 1 P232P 0（2）1P 0（1832）41P 0 P01/41 P18/41 P232/41 （3）L s （间） 76.413420
11、np空闲概率为 P01/41 满员概率为 P232/41 客房占用数均值为 1.76（间）15 某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每 5 分钟 1 辆的速度到达，服从泊松分布，加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为 4 分钟。试求：（1）这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油？（2）每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间？（3）管理部门规定，若加油的平均等待时间超过 3 分钟或系统内的平均汽车数超过 8 辆，则需要增加加油设备，试计算现在的情况是否需要增加加油设备？（4）如果加油的汽车流有所变化，那么当 超过多少时需要增加加油设备？ 83)( 16)(20142.3. 8045/0
12、sqqs sLWLpM需要增加加油设备； 283,94qs故当超过（328）时，需要增加加油设备。16 设 表示系统中顾客数， 表示队列中等候的顾客数，在单服务台系统中，我们有snqn1,0sqs试说明它们的期望值 ，而是 。根据这关系式给 以直观解释。sqLsqL解 因为为单服务台，只有超过 1 个顾客时，才会出现排队等待。110qnnnspL则sqL17 在 模型中，如 ，试证：下式成立M/ 1N/10.P于是 /2sL解 在 模型中，其状态转移图如下：/ 1N012N - 1N1 则 1np又 则 ，依次类推， 1n0.Npp又 ，则01Nn1.1npp即0N故0001112NsnnNp
13、LAA18 对于 模型，试证：M/ 1N/0nP并对上式给予直观的解释。解 设 由 模型的数字特征有/ 1N/1101nnNpp故10 0NNPp当 时101Np，显然01Np当 时011,NN Npp即 111011NNNNpp则01Np即01Np故01Np由于系统的容量为 N，则有效到达率为：011.e NNpp当系统平衡时，有效到达率和有效服务率应当相等，即0Np19 对于 模型，试证 ，并给予直观解释。M/ 1/m01sPLm证 由于系统的有效服务率为：01ep表示系统中平均出故障的机器数，则系统外的机器平均数为 ，则系统的有效到达率，即 m 台sL smL机器单位时间内实际发生故障的
14、平均数为：esmL当系统达到平衡时e则01spmL故0sL21（订货决策）某商店经营一种易腐食品，出售后一个单位可获利 a5 元。若当天售不出去，则每单位损失 b3 元。该店经理统计了连续 40 天的需求情况（不是实际销售量） 。现将所得数据列出如下：3,3,4,2,2,4,2,3,4,4,4,3,2,4,2,3,3,4,2,2,4,3,4,3,2,3,4,2,3,2,2,3,4,2,4,4,3,2,3,3经理想应用马尔可夫链来预测需求量，确定明天进货量。（1）已知当天需求量为 3 个单位，明日应进货多少单位？（2）若不知当天需求量，明日应进货多少单位？1122034010、 一 物 体 作
15、线 性 运 动 ， 每 次 它 以 概 率 向 右 移 动 一 单 位 ， 或 以 概 率 向 左 移 动 。 设 置 障 碍后 ， 若 物 体 任 何 时 候 到 达 这 些 障 碍 之 一 它 将 留 在 那 儿 。 令 状 态 为 、 、 、 、 。 状 态 、 是 吸收 态 ， 其 余 为 非 吸 收 态 ， 且 从 中 任 一 个 到 达 吸 收 态 是 可 能 的 。求 （ ） 各 个 非 吸 收 态 出 发 到 吸 收 态 的 平 均 步 数（ 2） 各 非 吸 收 态 被 各 吸 收 态 吸 收 的 概 率23、计算下列判断矩阵的权重 A-C C1 C2 C3 C1 1 1/5 1/3 C2 5 1 3 C3 3 1/3 1 （ 1） （ ）
