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类型几何体的外接球.pdf

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:6607338
  • 上传时间:2019-04-18
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    几何体的外接球.pdf
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    1、几何体的 外接球 南昌高中数学教研室命题工作坊 几何体外接球问题的是高考的高频考点,重点考查学生的空间想象能力,难点在于准确寻找外接球的球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征:( 1) 外接球球心是任意两条直径的交点 ;( 2)外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上;( 3)外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与 此 平面垂直的垂线上。 所以如何交出球心是关键,一般是先找几何体某一特征平面的外心,再作经过此外心的作特征平面的垂线, 空间问题转化为平面问题,然后在平面上利用球的几何性质作图 交出球心。 下面结合实例的应用 进行说明。 1设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a ,

    2、顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A 2a B 273a C 2113 a D 25a 1 B【解析】三棱柱内接于球,且各棱都相等,则上下底面的截面圆的圆心连线过球心 O ,且 12ON a , N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心,则有 2333AN AE a,球半径 2 2 2 2712O A A N O N a ,球的表面积为 2274 3OA a 【点评】寻找直棱柱的外接球球心,只要找到直棱柱上、下底面的外心,两外心连线即与底面垂直, 此 线段中点即为外接球的球心 2 三棱锥 P ABC 中, ABC 为等边三角形, 2PA PB PC , PA PB ,三棱锥 P AB

    3、C 的外接球的表面积为 _ 2 12 【解析】 三棱锥 P ABC 中, ABC 为等边三角形, 2PA PB PC , PAB PAC PBC A PB , PA PC , PB PC 以 ,PAPB PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图: 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P ABC 外接球 长方体的对角线长为 32222 222 , 球直径为 32 ,半径 3 ,因此,三棱锥 P ABC 外接球的表面积是 12)3(44 22 R 【点评】若 三棱锥的三条侧棱两两垂直,补形构造正方体或长方体,通过补形将四点共球转化为八点共球 3 已知四面体 P ABC 中 , 4PA PB, 2PC

    4、, 25AC , PB 平面 PAC , 则四面体 P ABCD 外接球的表面积为 3 36 【解析】 由 4PA 2PC , 25AC , 2 2 2PA PC AC,可得 PA PC ;又 PB 平面 PAC , ,PAPC 平面 PAC , PB PA , PB PC , 以 ,PAPB PC 为长、宽、高,作长方体如图所示:则该长方体的外接球就是四面体 P ABC 的外接球, 长方体的对角线长为 2224 4 2 6 , 长方体外接球的直径 26R ,得 3R ;因此,四面体 P ABC 的外接球体积为 36V 【点评】若 三棱锥的三条侧棱两两垂直, 等效于一个“墙角”, 可 将“墙角

    5、”补形 构造正方体或长方体 ,通过补形 将四点共球转化为八点共球,在长方体中 确定直径解决外接问题 4已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在 球 O 的表面上, ABC 是边长为 1的正三角形, SC为球 O的直径,且 2SC ,则此三棱锥的体积为( ) A 14 B 24C 26D 2124 C【解析】根据题意作出图形:设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 1O ,则 1OO 平面 ABC ,延长 1CO 交球于点 D,则 SD 平面 ABC 由1 2 3 33 2 3CO ,1 161 33OO ,得高1 262 3SD OO,而ABC 是边长为 1 的正三角形,则 34ABCS

    6、,得 1 3 2 63 4 3V 26 【点评】 外接球 球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面 5.已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ABC 和 DBC 所在的平面互相 垂直, 3AB , 3AC , 23BC CD BD,则球 O 的体积为( ) A 43 B 433 C 323 D 36 5.C【解 析 】如图,由条件知 ABC 是以 BC 为直径的直角三角形,取 BC 的中点 1O , 知1 12r O A BC3 , 又 DBC 为等边三角形, ABC 所在的小圆面与平面 DBC 垂直,得 1OD 平面 ABC ,即球心O 在 1OD上,且 1

    7、3OD ,设球半径为 R ,则 2 2 2(3 ) ( 3 )RR ,可得 2R ,故 球 O 的体积为34 32233 【点评】 如果三棱锥的面是直角三角形,直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等, 即为外心 . 6.已知在梯形 ABCD 中, CDAB/ , ABAD , 2AB , 1CDAD ,将梯形 ABCD 沿对角线 AC折叠成三棱锥 ABCD ,当二面角 BACD 是直二面角时,三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 . 6. 43 【解 析 】如图,由条件知 ABC 是以 AB 为直径的直角三角形,取 AB 的中点 1O , 知1 1 12r O C AB , 又 1CDAD ,

    8、 取 AC 的中点 E ,则 1222OE BC, 22DE, 又二面角BACD 是直二面角,知 1 2OED ,所以 1 2 212OD ,所以 1 1OD 1 1 1O C O A O B ,即 1O 为 三棱锥 ABCD 的外接球的的球心, 1R , 故三棱锥 ABCD 的外接球的体积为344133 . 7在四面体 S ABC 中, , 2 ,A B B C A B B C 2SA S, 6SB , 则该四面体外接球的表面 积是 ( ) A 86 B 6 C 24 D 6 7 D【解析】因为 , 2 ,A B B C A B B C 所以 2AC SA SB ,设 AC 的中点为 D ,

    9、连接 AD ,O 1B CDAOO 3O 2O 2ACBSOO 1则三角形 SAC 的外心 1O 为在线段 AD 上,且1 1333DO SD,又三角形 ABC 的外心为 D ,又,SD AC BD AC,所以 AC 平面 SDB ,过 D 垂直于平面 ABC 的直线与过 1O 垂直于平面 SAC 的直线交于点 O ,则 O 为四面体外接球的球心,在三角形 SDB 中,由余弦定理得 3cos 3SDB ,所以1 3s in s in ( ) c o s23O D O S D B S D B ,所以1 1 1 6ta n 6O O O D O D O ,设外接圆半径为 R ,则 2 2 211

    10、32R SO OO ,所以 246SR. 【点评】 外接球球心 在与棱 AC 垂直的的平面 SBD 中,然后在平面 SBD 中可以通过平面 SAC 的外心 1O 作垂线与过平面 ABC 的外心 D 并垂直 平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心,也可以通过 棱 SB 的中垂线与过平面 ABC 的外心 D 并垂直 平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心 8 已知边长为 23的菱形 ABCD中, 60BAD,沿对角线 BD折成二面角 A BD C为 120的四面体 ABCD,则四面体的外接球的表面积为( ) A 25 B 26 C 27 D 28 8 D【解析】如图所示,设两三角形外心

    11、分别为 23,OO,球心为 O,1 120AOC, 故 132, 3OO OO, 球 的 半 径 为 222 3 7OC ,故球的表面积为 28. 【点评】 外接球球心在与棱 BD 垂直的的平面 1AOC 中 ,使空间问题平面化 9点 S 、 A 、 B 、 C 在半径为 2 的同一球面上,点 S 到平面 ABC 的距离为 12 , 3AB BC CA , 则点 S 与 ABC 中心的距离为( ) A 3 B 2 C 1 D 12 9 B【解析】设球心为 O , ABC 中心为 1O , ABC 外接圆半径 3 313r , 依题意, 1OO 平面 ABC , 221 1OO R r 作 21

    12、SO OO ,垂足为 2O ,则1212OO, 2O 为 1OO 的中点,1 2SO SO R 【点评】 几何体的外接球问题的作图有时可不画出球 ,直接在原图形上建立几何直观,避免复杂作图 10 在四面体 S ABC 中, SA 平面 ABC , o120BAC, 2SA AC, 1AB ,则该四面体的外接球的表面积为 1 0 4 0. .7 .1 1 .33A B C D 10 D【解析】 如图所示,以 A 为原点建系,则 13C ( 2 , 0 , 0 ), B ( , , 0 )22 ,设球心为 (1, ,1)Oy,则 OB OC R, 即 2 2 2331 1 ( ) ( ) 122yy ,解得 23y,从而外接球表面积 2 1 0 4 044 33SR 【点评】 外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上 。利用坐标法建立空间直角坐标系,得外接球球心两条棱 AC ( x 轴)、 AS ( z 轴) 的中垂面上,故可设球心坐标 (1, ,1)Oy,通过代数计算求解外接球半径,避免复杂作图 与空间想象

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