1、第 1 页 共 6 页湖南省蓝山二中2012 届高三第六次月考数学（文）试题(考试范围：集合、逻辑 用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、平面向量、复数、数列、不等式、概率 统计、解析几何 )本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。得分： 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 A x|x10，Bx |x30 ，b0)的离心率为 ，抛物线 y220x 的准线过双曲线的左焦x2a2 y2b2 54第 2 页 共 6 页点，则此双曲线的方程为A. 1 B. 1
2、x24 y23 x23 y24C. 1 D. 1x216 y29 x29 y2168.已知实系数一元二次方程 x2(1a) xab10 的两个实根为 x1、x 2，满足02.则 的取值范围是ba 1A.(1， ) B.(3，1)13C.(3， ) D.(3， )12 12二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.sin45cos15 cos45sin15的值为 .10.若 adbc，则复数 .11.函数 y2cos 2 1 的最小正周期是 .x12.若直线 l：y 1k(x2)被圆 C：x 2y 22x 240 截得的弦 AB 最短
3、，则直线 AB的方程是 .13.有一个底面圆半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .14.已知向量 a(3,4)，| ab|1，则| b|的范围是 .15.某同学在研究函数 f(x) (xR)时，分别给出下面几个结论：x1 |x|等式 f(x)f(x)0 对 xR 恒成立；函数 f(x)的值域为(1,1) ；若 x1x2，则一定有 f(x1)f(x2)；函数 g(x)f(x )x 在 R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共 6 小题，共
4、75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A、B、C 的对应边分别为 a，b，c，且满足 a2abb 2c 2.(1)求角 C；(2)若ABC 的面积为 ，c 2，求 ab 的值.317.(本小题满分 12 分)如图，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2 ，E、M 分别是 DC、 BC 的中点.2(1)证明：AM面 PME；(2)求二面角 PAMD 的大小.18.(本小题满分 12 分)已知：ABC 为直角三角形，C 为直角，A(0，8) ，顶点 C 在 x 轴上运动，M 在 y第 3 页 共 6
5、页轴上， ( )，设 B 的运动轨迹为曲线 E.AM12AB AC(1)求 B 的运动轨迹曲线 E 的方程；(2)过点 P(2,4)的直线 l 与曲线 E 相交于不同的两点 Q、N，且满足 ，求直线 lQP PN的方程.19.(本小题满分 13 分)统计某校高三年级 100 名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前 4 组的频数分别是等比数列 的前 4 项，后 6 组的频数分别是等差数列 的前an bn6 项，(1)求数列 、 的通项公式；an bn(2)设 m、n 为该校学生的数学月考成绩，且已知 m、n ，求事件“70，80) 140，15010”的概率.|m n|2
6、0.(本小题满分 13 分)为了加快经济的发展，某省选择 A、B 两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B 两城市的周边修建城际轻轨，假设 10km 为一个单位距离，A、B 两城市相距 8 个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为 E，使轻轨 E 上的点到 A、B 两市的距离之和为 10 个单位距离，(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线 E 的方程；(2)若要在曲线 E 上建一个加油站 M 与一个收费站 N，使 M、N 、B 三点在一条直线上，并且 AMAN 12 个单位距离，求 M、N 之间的距离有多少个单位距离？(3)在 A、 B 两城市之间有一条与 AB 所在直线成 45的笔直
7、公路 l，直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，求四边形 PAQB 的面积的最大值.21.(本小题满分 13 分)定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 xD，存在常数 M，都有 f(x)M 成立，则称 f 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f 的下界.已知函数 f(x)( x23x3)e x，其(x) (x)定义域为 2，t( t2) ，设 f(2) m，f(t )n.(1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在2，t上为单调递增函数；(2)试判断 m， n 的大小，并说明理由；并判断函数 f 在定义域上是否为有界函数，(x)请说明理由；(3)求证：对于任意的 t
8、2，总存在 x0(2，t )满足 (t1) 2，并确定这样的 x0f(x0)ex0 23的个数.第 4 页 共 6 页参考答案一、选择题题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 B C B D D A C C二、填空题9. 10.3i 11.2 12.xy30 13. 14.4,6 15.32 23三、解答题17.解：(1)连接 EA，PCD 为正三角形，PE CD，平面 PCD平面 ABCD，PE平面 ABCD，PEAM.(3 分)四 边形 ABCD 是矩形，ADE、 ECM、ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ，AM ，AE3，EM 2AM 2AE 2，AME90，AM EM
9、.(4 分)3 6又 EMPEE，AM 面 PME.(6 分)(2)AM平面 PME，PMAM，PME 是二面角 PAMD 的平面角，PEPDsin60 ，tanPME 1， PME45，3PEEM 33二面角 PAMD 为 45.(12 分)18.解：(1)由 ( )，知 M 为 BC 中点，(2 分)AM12AB AC设 B(x，y)则 M(0， )，C(x,0).(4 分)y2又C 为直角，故 0，x 24y(5 分)CBCAB 的运动轨迹曲线 E 的方程为 x24y.(x0)(6 分)(2) ，点 P 是线段 QN 的中点，QP PN设 Q(x1，y1)、N(x2，y2)，线段 QN
10、的中点 P(2,4)，设 l：y4 k(x2)方法一：则 x 4y 1， x 4y 2，21 2得：4y 14y 2(x 1x 2)(x1x 2)，(8 分)直 线 l 的斜率 为 k (x1x 2)1.(11 分)y1 y2x1 x2 14方法二：由Error!，消去 y 得 x24kx8k160，(*)方程(*)中 16(k 22k4)0， 显然方程(*) 有两个不相等的实数根.(8 分)由 x1x 24k4k1.(11 分)所以直线 l 的方程为 xy2 0.(12 分)19.解：(1)由已知：第 2 组的频数为 3，第 3 组的频数为 9，又前 4 组的频数是等比数列，所以 an3 n
11、1 ，(3 分)又第 4 组的频数为 27，后 6 组 是首项为 27，和是 87 的等差数列，所以 bn5n32.(6 分)第 5 页 共 6 页(2)由(1)知成绩在 中的有 3 人，成 绩在 中的有 2 人，分别记为：70，80) 140，150a1，a2，a3 和 b1，b2，由 10 知， 这两人必来自两个不同的 组， (8 分)|m n|所以事件“ 10”的概率为 .(13 分)|m n|3520.解：(1)以 AB 为 x 轴，以 AB 中点为原点 O 建立直角坐标系.设曲线 E 上点 P(x，y)，|PA|PB|10 8|AB|动 点轨 迹为椭圆，且 a5，c4，从而 b3.曲
12、 线 E 的方程为 1.(4 分)x225 y29(2)由|AM| |AN|BM|BN|20， |AM|AN|12，所以|MN|8.(8 分)(3)将 yxt 代入 1，得 34y218ty 9t 2259 0.x225 y29设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 y1y 2 ，y1y2 .9t17 9t2 25934 ，|y1 y2| (y1 y2)2 4y1y211750917 925t2SS ABPS ABQ AB ，12 |y1 y2| 83450917 925t2所以当 t0 时，面积最大是 ，此 时直线为 l：yx.(13 分)60173421.解：(1)f(x)(x 23x3)e x(2x 3)e xx(x1) ex.由 f(x)0x1 或 xm.因为 f(x)在( ，0，1，)上单调递增，在0,1上单调递减，所以 f(x)在 x 1 处取极小值 e.又 f(2) 2 时， f(2)4 或2t1 时，g(2)g(t)0 ，所以 g(x)0 在 (2， t)上有解，且只有一解；第 6 页 共 6 页
