1、 第 1 页 抛物线测试题一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1抛物线 的焦点坐标是 （ 2xy）A B C D )0,()0,41( )81,0( )41,0(2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，其上的点 到焦点的距离为 5，则抛物)3,(mP线方程为 （ ）A B C Dyx82x2yx42yx823抛物线 截直线 所得弦长等于 （ ）11yA B C D1555154顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是 （ ）A. 或 B. 或 C. D.yx29x342xy29y34yx342x295点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距离为 （
2、 )0,1(PtRt）A0 B1 C D2 26抛物线 上有 三点， 是它的焦点，若)0(2pxy ),(),(21yxA)(3F成等差数列，则 （ CF,）A 成等差数列 B 成等差数列 321,x 231,xC 成等差数列 D 成等差数列y y7若点 A的坐标为（3，2） ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则Fy2P取得最小值时点 的坐标是 （ PBP）A （0，0） B （1，1） C （2，2） D )1,2(8已知抛物线 的焦点弦 的两端点为 , 则关系式)0(2pxyAB,(1yxB的值一定等于 （ 21x）A4 B4 Cp 2 Dp 9过抛物线 的焦点 F作一直线交抛
3、物线于 P，Q 两点，若线段 PF与 FQ的)0(2ay长分别是 ，则 = （ qp,第 2 页 ）A B C Da2a21a4a410若 AB为抛物线 y2=2px (p0)的动弦，且|AB|= a (a2p)，则 AB的中点 M到 y轴的最近距离是 （ ）A B C D2p2p11.PQ为经过抛物线 y2=2px (p0)的焦点的任意一条弦，MN 为 PQ在准线上的射影，PQ 绕准线旋转一周所得的旋转面面积为 S1，以 MN为直径的球面面积为 S2，则下列结论正确的是（ ） 。（A）S 1S2 （D）不确定12.若动圆与定圆(x2) 2y 2=4相外切，且与直线 x=2相切，则动圆的圆心轨
4、迹方程为（ ） 。（A）y 2=12(x1) （B）y 2=12(x1) （C）y 2=8x （D）y 2=8x二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）13抛物线 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _x14已知圆 ，与抛物线 的准线相切，则 072 )0(2pxp_15如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数),(aA),(aB32xya的取值范围是 16对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在 y轴上； （2）焦点在 x轴上；（3）抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于 6；（4）抛物线的通径的长为 5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标
5、为（2，1） 其中适合抛物线 y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） _17.直线 x2y2=0 与抛物线 x=2y2交于 A、B 两点，F 是抛物线的焦点，则ABF 的面为 。18.顶点在坐标原点，焦点为曲线 y=2 与坐标轴的交点的抛物线方是 1三、解答题（本大题共 6小题，共 76分）19 （10 分）已知点 A（2，8） ，B（ x1，y 1） ，C（ x2，y 2）在抛物线 上，ABC 的pxy2重心与此抛物线的焦点 F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点 F的坐标；（2）求线段 BC中点 M的坐标；（3）求 BC所在直线的方程. 第 3 页 20 （10 分）抛物线
6、x2=4y的焦点为 F，过点(0，1)作直线 L交抛物线 A、B 两点，再以AF、BF 为邻边作平行四边形 FARB，试求动点 R的轨迹方程. 21 （12 分）已知抛物线 C： ，过 C上一点 M，且与 M处的切线垂直的直线称274xy为 C在点 M的法线（1）若 C在点 M的法线的斜率为 ，求点 M的坐标（ x0， y0） ；1（2）设 P（2， a）为 C对称轴上的一点，在 C上是否存在点，使得 C在该点的法线通过点 P？若有，求出这些点，以及 C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.第 4 页 22 （14 分）已知抛物线 y2=4ax(0a1的焦点为 F，以 A(a+4,0)为圆心
7、，AF 为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N，设 P 为线段 MN 的中点（1）求MF+NF的值；（2）是否存在这样的 a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出 a的值，若不存在，说明理由. 23 （14 分）如图, 直线 y= x与抛物线 y= x24 交于 A、B 两点, 线段 AB的垂直平分线2181与直线 y=5 交于 Q点. （1）求点 Q的坐标；（2）当 P为抛物线上位于线段 AB下方（含 A、B）的动点时, 求 OPQ 面积的最大值.第 5 页 参考答案一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）二、填空题（本大题共 4小题，每小题 6
8、分，共 24分）13 14 2 15 16 （2） ， （5）)42,81( )413,(17. 18.x2=8y或 y2=4x65三、解答题（本大题共 6题，共 76分）19 （12 分）解析：（1）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 ，pxy2282p解得 p=16. 所以抛物线方程为 ，焦点 F的坐标为（8，0）.x3（2）如图，由于 F（8，0）是ABC 的重心，M 是 BC的中点，所以 F是线段 AM的定比分点，且 ，设点 M的坐标为 ，则),(，解得 ，21,00yx4,10yx所以点 M的坐标为（11，4） （3）由于线段 BC的中点 M不在 x轴上，所以 BC所在的直线不垂直于
9、 x轴.设 BC所在直线的方程为：)0(ky由 消 x得 ，2,10)41(322ky所以 ，由（2）的结论得 ，解得k31 .4k因此 BC所在直线的方程为： .420 （12 分）解析：设 R(x,y),F(0,1), 平行四边形 FARB的中心为 ，)21,(yxC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D A B B A C B C D B B第 6 页 L:y=kx1,代入抛物线方程得 x24k x+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k 2160，即|k|1 ，C 为 AB的中点.24)(41ky
10、12212kyy，消去 k得 x2=4(y+3),由 得， ，故动点 R的轨迹方程为34kx 4xx2=4(y+3)( )21 （12 分） 解析 ：（1）由题意设过点 M的切线方程为： ，代入 C得mxy2，0)27(2mx则 ， ，即 M（1， ） 254 52,100yx（2）当 a0 时，假设在 C上存在点 满足条件设过 Q的切线方程为：)(Q，代入nkxy，则 ，2747)4(nxk 41)(02nk且 若 时，由于,1kx1y0，akkakPQ 2422 或 ；若 k=0时，显然 也满足要求1ayx21ayx )21,(Q有三个点（2 ， ） ， （2 ， ）及（2， ） ，a且过
11、这三点的法线过点 P（2， a） ，其方程分别为：x2 y22 a 0， x2 y22 a 0， x2.当 a0 时，在 C上有一个点（2， ） ，在这点的法线过点 P（2， a） ，其方程为：1x2.22 （14 分）解析：（1）F（ a,0）,设 ，由 ),(),(),( 021yxNyxM6)4(22yaxy， ， 0)8(x )4(,21ax8)()(21axNF（2）假设存在 a值，使的 成等差数列，即 FP 4PMP0第 7 页 42)2(416)(1612120 220020yyy ayaax =21211)(44 xaxx a82)(aa8)(226矛盾.10201yx假设不成
12、立即不存在 a值，使的 成等差数列NFPM,或解: 知点 P在抛物线上 . 矛盾.4PFx040x23 （14 分） 【解】(1) 解方程组 得 或 812xy21y48yx即 A(4,2),B(8,4), 从而 AB的中点为 M(2,1).由 kAB= ,直线 AB的垂直平分线方程y1= (x2). 令 y=5, 得 x=5, Q(5,5)21(2) 直线 OQ的方程为 x+y=0, 设 P(x, x24).点 P到直线 OQ的距离81d= = , ,S OPQ = = .248x32815OQdOQ328165xP 为抛物线上位于线段 AB下方的点, 且 P不在直线 OQ上, 4 x4 4 或4 4 x8.3函数 y=x2+8x32 在区间4,8 上单调递增, 当 x=8时, OPQ 的面积取到最大值30
