1、1习题 6.92222221. :().(1)(1)(42)0,0,.2,.1(0,),(0).1)()4418()2zxyxxxzyxxzAx x求 下 列 函 数 的 极 值三 个 稳 定 点2 22 ,0.(0,), (0,)1.1, .(,)20,40,(,).zCByyCABzABz极 小 值 点 ， 极 小 值非 极 小 值 点极 小 值 点 极 小 值2222251.14(),2.5,.34(,).10,4,.36,().4,.zxyxyzxyxyzzzACBxyxyBz稳 定 点 极 大 值 点极 大 值2232222 222(3)661.1()0,10,1.(,).0,6,6
2、.6,(0)zxyxyzyxyzzzAxCByxyCB相 应 地稳 定 点在 点 极 小 值 点 极 小 值 (0)=1222243332(1,)1,()5(),.0,10,1.(0,)1,().(,)zzzxAzyxzyxyzAx在 点 ， 不 取 极 值相 应 地 稳 定 点在 点 2222222222222 , ,4.160,()(,),1,.8.()7.(1,)10,4.0. zzCyBxyCBzzzyAzzzCBxxyCB不 是 极 值 点在 点 ， 取 极 大 值在 点 ， 取 极 大 值 ().33232 23 32(5)(6)(0,).(183)(1843)() .418,|0
3、,(,),2.2(3,)zxyxyxyxyzxyxyxyzAx在 的 稳 定 点在 稳 定 点 22 3222(18414,1)6,(84108.1606,(3)(3,2)108.yzCyBxyxA z极 大 值 点 极 大 值42 22 2200. :(1),1.3, 123913(31)()941(36),.48),31xyz xyzzxyzxxxff xy确 定 下 列 函 数 在 所 给 条 件 下 的 最 大 值 及 最 小 值当 时由 于 时 ， 又 是 连 续 函 数 ， 故 在 平 面上 取 极 小 值 .代 入 法解 .2 9().118(.,236). .LagrneLag
4、rne(,)1.30,2,10346810.xfxyFxyyxyx是 唯 一 极 值 点 且 是 极 小 值 点 ,故 是 最 小 值 点最 小 值对 二 次 函 数 用 配 方 法 当 然 得 到 同 一 结 果乘 子 法 考 虑 函 数再 解 000222 72,.32,.(,).133. ,. ,6. ,)(,)660.,?3xyzxy OxyzxyzHxyzxz得 到 满 足 条 件 的 唯 一 点 是 最 小 值在 某 一 行 星 表 面 要 安 装 一 个 无 线 电 望 远 镜 为 了 减 少 干 扰 要 将 望 远 镜 装 在 磁 场最 弱 的 位 置 设 该 行 星 为 一
5、球 体 半 径 为 个 单 位 若 以 球 心 为 坐 标 原 点 建 立 坐 标 系则 行 星 表 面 上 点 (处 的 磁 场 强 度 为 问 应 将 望 远 镜安 装 在 何 处球 面 方 程解 : 2222.(,),(3).60 1()(20 336(4)FzyHzxxyxzzy522(),01.60 , 36 (5,03)(.,)15,60.16 2yzxyHzx由 或设 则 有解 之 得 相 应 值 为 和设 则236 (4,)12. (,)(4,2)1 , ,.3yHxyzHpxzVx 解 之 得 相 应 值 为 各 条 件 极 值 比 较 得 时取 最 小 值已 知 三 角 形
6、 的 周 长 为 问 怎 样 的 三 角 形 绕 自 己 的 一 边 旋 转 所 得 的 体 积 最 大 ?设 三 角 形 底 边 上 的 高 为 垂 足 分 底 边 的 长 度 为 设 三 角 形 饶 底 边 旋 转旋 转 体 体 积解 22222222222(), ,0,.(,)()( ),0,(1)10, (). yzyzpxyLxzxxyzyzzxx在 有 界 闭 集 上 取 最 大 值 .22222222 30. (4)(2)3(0, 0,10,.yzypzxyzxyzyzxyxyp 若 将 有 不 可 能 故由 于 易 得 22,10,.yxxyp613,(2).424ppyz解
7、之 得 底 边 长 两 腰 长22 2200225. 16, 96() 18724918,.4,.,4.(,).6. 10xyuxzy yzu yzyxxyxyz在 两 平 面 有 及 的 交 线 上 求 到 原 点 距 离 最 近 的 点, +.9=是 唯 一 极 值 点 且 是 极 小 值 点 故 是 最 小 值 点所 求 的 点 为求 椭 球 面 与 平 面 的 交 线 上 到 坐 标 原 点 的解22222.(, (1)().40,1(*),40.12(1),2(*).(1)xyzLyzxyzxyxyzyLzxyzxzy 最 大距 离 与 最 小 距 离由 前 三 个 方 程 得下 面
8、 分 两 种 情 况 求 解解 )= 1.(*)0,(*)(,0)2,0). 1.2 1()1.(*),(*)(,),3,. 2.3zxy由 方 程 组 得 再 由 的 后 两 个 方 程 得这 两 点 与 原 点 距 离 为由 方 程 组 得 再 由 的 后 两 个 方 程 得这 两 点 与 原 点 距 离 为71112(,0)(,0),(,)223, .3 在 和 有 最 小 距 离 在 和有 最 大 距 离 22227. ,., .4,0, )()(,)().HRxyHVxyzzzxyRLxyR在 已 知 圆 锥 体 内 做 一 内 接 长 方 体 长 方 体 的 底 面 在 圆 锥 体
9、 的 底 面 上 ,求 使 体 积最 大 的 那 个 长 方 体 的 边 长设 圆 锥 体 高 为 底 半 径 为 取 其 底 面 为 平 面 底 面 中 心 为 坐 标 原 点 设 内 接长 方 体 底 面 边 长 为 2xy高 为 则 长 方 体 体 积 满 足 圆 锥 面 方 程 (解2222 2220,(*)().(*.(*) ().),.3xyzHzxLyzHxRRyxyzHHHzz 由 的 前 两 个 方 程 易 得 由 的 前 三 个 方 程 易 得再 与 第 四 个 方 程 联 立 得8121 11 1113118., , .:,(,),.(),0.nn nnnnnnxnxnx
10、laaf xlFx 当 个 正 数 的 和 等 于 常 数 时 求 它 们 的 乘 积 的 最 大 值 并 证 明 个 正 数的 几 何 平 均 值 不 超 过 算 术 平 均 值 即解 2312122121 1211212100, 0,.0, ., .n nn nnnnxxx lx xxl lxx 若 将 有 不 会 是 最 大 值 若 则 有0.(,)(),0,),1()(0).22nnfxyyyxA求 函 数 是 常 数 在 条 件下 的 最 小 值 并 由 此 证 明92 22 20122229.1,:,(,):().,.0,., (,)0,xyabbxyXYax bxYyXYya a
11、ybxfyayx在 椭 圆 上 哪 些 点 处 其 切 线 与 坐 标 轴 构 成 的 三 角 形 面 积 最 大 ?切 线 斜 率 切 线 的 点 满 足 方 程三 角 形 面 积 满 足解 22222222221.(,),(,)0,0,1.xyxabyfyfxLababxyyLabxab 由 于 时 故 在 所 述 条 件 下 取 极 小 值 .令 220,1,.,(),),2,(),(,).2. xxybxaxabxyaab易 见 故 代 入 椭 圆 方 程 得在 第 一 象 限 时 该 点 切 线 与 坐 标 轴 构 成 的 三 角 形 面 积最 小 由 对 称 性 也 满 足 要 求
