1、数学与美作业题第一讲，美妙的黄金分割思考题： 1、黄金分割数是 0.618 ；报幕员或节目主持人通常站在舞台的什么位置？（边角、中央、黄金分割点处）答案：黄金分割点处2、列举 3 个符合黄金分割比的著名建筑物；答案 1. 法国巴黎圣母院 2.巴特农神庙 3. 古埃及胡佛金字塔3、人体上有哪些黄金分割点？为什么有些女孩穿上高跟鞋就会显得很匀称适中？答案：膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点;人的肘关节是手臂的黄金分割点,肚脐是人身体的黄金分割点 人体躯干（肚脐到脚底的长度）与身高的比越接近黄金分割数 0.618时，就会给人一种美的感觉 ，对于一般人来说，一般人的躯干与身高比都低于 0.618 这个数值
2、，大约只有 0.580.60 左右，而穿上高跟鞋就可以增加躯干，从而改变这一比值，使得躯干与身高的比值更接近黄金分割的标准，从而产生美的效应 4、植物的叶子在茎上的排列有什么规律？这种排列有什么好处？答案：有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成 137.5角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是 137.5，以后二到三层，三到四层，四到五层两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的 137.5角中，藏有什么“
3、 密码”呢？我们知道，一周是 360，360-137.5 =222.5，而 137.5222.50.618。 瞧，这就是“密码” ！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着 0.6185、五角星有哪些美感？答案： 五角星的形成来自于大自然(如五角星形花瓣). 它也和大自然一样,既有美妙的对称,也有扣人心弦的变化.将圆周分成五等份,依次隔一个分点相车,则可一笔画成一个图形,即成一个正五角星形(如图 1),首先,在连接的过程中就让人惊异于形成图形的奇妙 (奇异的美),而连成的图形又具有如此明显的对称性(对称的美)! 五角星美的核心是五条边相互分割成黄金比(如图中 F,G 是 AC 的黄金分割点),这是
4、一种最匀称的比,能给人产生美的原动力.因此,五角星形具有如此巨大的魅力,成为世人所喜爱的图形.6、列举斐波那契数列的前十个数。答案：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144第二讲，数学与音乐思考题：1、音乐中有哪些数学？（至少列举 3 个方面）答案：1.毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来. 所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系 ,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的. 2. 钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关.。3. 匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割来作曲。2、列举 23 个乐器中的数学原理。答案
5、：1. 所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的 .。2. 钢琴的键盘其上也恰好与斐波那契数列有关. 第三讲，数学与美术思考题：1、拉斐尔的著名壁画雅典学院中有哪些数学家？答案：苏格拉底，亚里士多德，毕达哥拉斯，阿基米德2、断臂维纳斯是美的象征，美在何处？答案：断臂维纳斯之美来自于她的形式，来自于她那失去双臂后的完美曲线，断臂维纳斯的美，是一种直观的美，而非想象的美。 因为从美学角度来看，世界上最美的线条是曲线，是 S 形的曲线。 我们无法得知为什么人类会认为 S 形的曲线最为美丽，但显然，这是事实。 我们
6、最为欣赏流水波纹之美，也最为欣赏女性曲线之美。 而失去双臂后的维纳斯无疑更符合美学上的对曲线之美的最高要求。 我们仔细看那断臂的维纳斯，就会发现，即使是那两条断臂，也形成均衡之美。我可以肯定地说：假使维纳斯的断臂不是断的这样恰倒好处的话，根本形不成美感。假使她的右臂断的再长或再短一点，左臂没有完全断掉的话，都不会形成这样的美感。3、举例说明美术中的几何、美术中的集合。答案：比如说透视画法，曲线画法。第四讲，几何与日常生活思考题：1、参观艺术馆时，是否人离墙上的美术作品越近观画效果越好？ 答案：具体问题具体分析。如果是写意类的，应该有一段距离：如果是工笔画，则可以适当近距离观察，看到细节。2、马
7、路上的井盖子为什么是圆的？为什么水桶的横截面通常都是圆的？答案：1.盖子下面的洞是圆的，因为圆柱形最能承受周围土地的压力。而且，下水道出入孔意味着要留出足够一个人通过的空间，而一个顺着梯子爬下去的人的横截面基本是圆的。所以圆形自然而然地成为下水道出入孔的形状。圆形的井盖只是为了覆盖圆形的洞口。他说的是怎样用最少的材料称最多的水，就是说让水的体积最大。所以圆的水桶最合理，那些方的尖的也可以用；但那是美观的，不是实用的，同样重的水桶当然要盛水多的那种了（家居型）2.关于井盖圆的问题，要追溯到 13 世纪的法国，法国当年在建巴黎时时，考虑到要建下水道的问题，有人提议改建地窖作下水道，因为法国人酿酒在
8、当时是每家每户的，几乎每家都有酿酒地窖，由于在地面都有个圆洞作运输地窖的酿酒橡木桶，为避免危险，这些地洞选用圆形的铁饼作沙井盖。直至罗马帝国把法国的下水道技术用于建设罗马城里，世界各地主要城市都选用罗马的下水道技术了. 3.其实下水道盖子也有方的，长方的。 4.因为下水道是圆的，所以井盖必须是圆的。第五讲，趣谈进位制思考题：1、什么是进位制？任何一个数都可以用不同的进位制来表示吗？举例说明答案：进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制-X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 X 进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一对于任何一个数，我们可以
9、用不同的进位制来表示。比如：十进数 57(10)，可以用二进制表示为 111001(2)，也可以用五进制表示为 212(5)，也可以用八进制表示为 71(8)、用十六进制表示为 39(16)，它们所代表的数值都是一样的。2、旅游景点常有人摆摊，不问多大就会算出你的年龄，试问这种巧猜年龄的奥秘何在？答案：2008-02-04 12:43设：这个人 y 岁，在 X 月出生(2x+5)*50+y-365=100x+250+y-365=100x+y-115拿给出的数，加上 115，所得的数，百位数就为那人的出生月份，后面的数为那人的年龄3 填表：十进制 1 2 3 4 5 6 7 8二进制 1 10
10、11 100 101 110 111 1000三进制 21 41 53 62 74 86 95 536五进制 1 5 1.5 35 52 42 54 65第六讲，神奇的莫比乌斯带思考题：1、莫比乌斯带有什么特点？列举 23 个莫比乌斯带的而实际应用；答案：麦比乌斯圈(Mbius strip, Mbius band)是一种单侧、不可定向的曲面。因 A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Mbius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条 ABCD 的一端 AB固定，另一端 DC 扭转半周后，把 AB 和 CD 粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈。垃圾回收标志一、197
11、9 年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地 Power Architecture 标志承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。 二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。 三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。 四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商 Power Architecture 的商标就是一条麦比乌
12、斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。2、什么是克莱因瓶？克莱因瓶与莫比乌斯带有什么区别和联系？答案：在数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如 2 维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）
13、。如果把克莱因瓶沿着它纵长的方向切成两半，那么，它将形成两条莫比乌斯带!莫比乌斯带与克莱因瓶第七讲，数学与旅游爱好者思考题：1、所有的图形都能一笔画吗？什么样的图形才能一笔画？答案：这六个图形都不是一笔画能画成的。按照欧拉定律，只有奇点数量少于3 个的，才能一笔画下来。这六个图形的奇点都不止两个。所谓“奇点 ”，就是如果从某个点出发的任何线的数量是奇数条，它就是奇点，如果是偶数条，就是偶点。2、什么是四色猜想？有哪些应用？答案：地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种
14、颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1，2，3，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。据凯尼斯梅所言：“（实际中）用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。地图学和地图制图史相关的书籍也没有四色定理的记载。”现实中的地图常会出现飞地
15、，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同地区的差别。在我国科研工作者用数学手段证实四色定理之前，我们一直认为四色定理用途不大，但是，当四色定理被证明后，四色定理的用途将被广泛用于卫星定位、染色、电子排线以及基础物理研究等方向。3、什么是哈密顿图？与七桥问题有什么不同？答案：哈密顿通路（回路）与哈密顿图 （Hamilton 图） 通过图 G 的每个结点一次，且仅一次的通路（回路） ，就是哈密顿通路（回路）. 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.第八
16、讲，无尽的歌谣思考题：1、自古以来人们对 的研究有大致有哪几个时期？答案：古希腊欧几里得几何原本 （约公元前 3 世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书周髀算经 （ 约公元前 2 世纪）中有径一而周三 的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值 ，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前 1700）中取 =（4/3 ）43. 中国数学家刘徽在注释九章算术时（263 年）只用圆内接正多边形就求得 的近似值 1579 年法国数学家韦达给出 的第一个解析表达式电子计算机的出现使 值计算有了突飞猛进的发展。2、为什么数千年来很多数学家绞尽脑汁，探讨各种方法来计算 值？
17、答案：古希腊阿基米德约在公元前 240 年通过计算圆的内切和外接正多边形周长来确定圆周率上下界，从而得到其近似值 3.14。又过了几百年，在公元 150 年C.托勒密在数学汇编中给出了。中国魏晋时刘徽约在公元 260 年用割圆法计算 ，不但得到了这个值，并且具有极限思想，可以求更精确的值。中国南北朝时的祖冲之进一步将 精确计算到 8 位数字：3.14159263.1415927，还提出了“约率” 和“密率 ”。在西欧，文艺复兴以后才有人在 的计算上超过祖冲之。 16 世纪后对 的研究更加深入，1579 年法国人 F.韦达用古典方法计算到正 3217 边形边长，求得 的值精确到 10 位数字。1
18、596 年荷兰人 L.范科伦求到小数点后 20 位。电子计算机发明以后， 的值的计算有了惊人的进展。1949 年计算到 2037 位，而 1983 年计算到223(800 多万)位 。对 的位数的计算是不可能有完结的时候的，因为它是一个无理数。这个事实是在 1767 年由 J.H.朗伯证明的。因而 不能表成分数，也不能表成有限小数或循环小数。 也是一个超越数，即它不可能是任何一个有理系数多项式的根，这个事实是 1882 年被 F.von 林德曼所证明的。从而“化圆为方”这个古代难题之一被解决。即化圆为方不可能用尺规作图法作出。 这个数在角的弧度制上还有特殊的应用。弧度制规定长度和半径相等的圆弧
19、所对的圆心角的大小为 1 弧度。于是，半径等于 1 时，圆心角的弧度数等于它对的弧长，以 1 弧度作为角的单位，那么周角的大小就是 2 弧度，因而 就相当于 180角的弧度值。3、你能准确说出 的小数点后多少位数？答案：3.1415926535798326第九讲，无穷大之美思考题：1、历史上有哪三次数学危机？答案：第一次危机发生在公元前 580568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们
20、不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为 1 的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微
21、积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到 2100 年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到 19 世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零
22、，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外 Weistrass 创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。第三次数学危机发生在 1902 年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。2、无穷大与美学有什么关系？答案：形象地说，这个函数是一个震荡函数，只不过 x 大时，振幅也趋向无穷，所以，函数“能够达到无穷”，也就是“不能用两条平行于 x 轴的直线包络”，但不是趋向无穷。或者说趋向无穷的定义，是指 x 大于某个数后，所有 y 都大于一个给定的数。但是，不论 x 多大，总存在更大的 x=k*Pi+Pi/2 使得 y=0,所以不趋向无穷。楼上说的不对，无界不是指定义域，这里指的是值域。无穷也不必单调。第十讲，神奇的常数 e思考题：1、 列举 3 个数学公式中的 e；欧拉公式 e(i)+1=02、列举 3 个生活中存在的 e。答案：1. 计算机容量单位，1E=1024P,1P=1024T,1T=1024G2.材料力学中的弹性模量 E3.数学中的自然对数
