1、习题 1.11、 （1）否（2）否（3）是，真值为 0（4）否（5）是，真值为 12、 （1）P：天下雨 Q：我去教室 P Q（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P Q（3）P，Q 同（2） Q P（4）P：2 是质数 Q：2 是偶数 PQ3、 （1）0（2）0（3）14、 （1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。习题 1.21、 （1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、 （1）(P Q) R，P Q，R，P，Q（2）(PQ) （RP） ，P Q，RP，P，Q，R，P（3
2、）(P Q) (Q P) (P Q)，(P Q) (Q P)，(P Q)，P Q，(Q P)，P Q，P，Q，Q，P，P，Q3、 （1）(P Q) (Q P) (P Q)（2）(P Q) (P Q) R) (P Q) (P Q) R)（3）(Q PP) (PP Q)4、(P Q) (PQ) (PQ) (PQ)习题 1.31、 （1）I(P(QR) = I(P)(I(Q)I(R) = 1(10) = 1（2）I(PQR)(PQ)(RS) = (110)(11)(01) = 0(00) = 0（3）I(PR)(QS) = (10)(11) = 01 = 0（4）I(P(QRP)(QS) = (1(
3、1(01)(11) = 11 = 1（5）I(PQ)R(QP)RS) = (11)0(11)(01) = 011 = 12、 （1）P Q PQ Q(PQ) Q(PQ) P0 0 1 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 1 1 1 1（2）P Q R QR (P(Q R)PQ PR (PQ)(PR)原式0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1 1 1 01 1 0 0 0 1 1 1 01 1 1 1 0 1 1 1 0（3）P Q
4、R PQ QP PQQPPR 原式0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 1 11 0 1 1 0 0 0 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 03、 （1）原式 FQ T 原式为永真式（2）原式 T(PQ)(QP) (PQ)(QP)(PQ)(PQ) T 原式为永真式（3）原式 (PQ) (PQ) T 原式为永真式（4）原式 P(QR) P(QR) T 原式为永真式（5）原式 (PQ)Q (PQ)Q Q 原式为可满足式（6）原式 (PQ)P PQP TQ T 原式为永
5、真式（7）原式 (PPQ)P (TQ)P TP P 原式为可满足式（8）原式 (PQ) (QR)(PR) (PQ)(QR)(PR)(PQ)P)(QR)R) ( PP)(QP)( QR)(RR)(QP)( QR) T 原式为永真式4、 （1）左 PQP P(PQ) 右（2）左 (PQ) 右（3）左 (PQ)P PQP TQ 右（4）左 (PQ)(QP) (PQ)(QP) 中(PQ)Q)(PQ)P)(PQ)(QQ)(PP)(QP) (PQ)(PQ) 右(5)左 ( P Q) ( R Q) (P Q) Q 右5.(1)左 Q P Q 右(2)(P (Q R) (P Q) (P R)( P Q R)
6、( P Q) ( P R)(P Q R) (P Q) P R(P Q R) (P P) ( Q P) R(P Q R) ( Q P R)(P Q R) (P Q R)T故 P (Q R) (P Q) (P R)(3).(P Q) (P P Q)( P Q) P (P Q)( P Q) ( P P) ( P Q)( P Q) ( P Q)T故 P Q P P Q(4).(P Q) Q) P Q( ( P Q) Q) P Q( P Q) Q) P Q( P Q) (Q Q) P Q(P Q) (P Q)T故(P Q) Q P Q(5).(P P) Q) (P P) R) (Q R)( T Q) (
7、 T R) Q R(Q R) Q RQ R Q RQ TT故(P P) Q) (P P) R) Q R(6)左 (Q F) (R F) ( Q F) ( R F) Q RRR Q 右6.(1)原式 ( P Q R)(2)原式 P Q P (P Q P)(3)原式 P (Q R P) P Q R ( P Q R)7.(1)原式 ( P Q P)(2)原式 ( P Q R) P Q ( ( P Q R) P Q)(3)原式 P Q (R P) (P Q (R P)8. (1) (P Q) ( P ( P Q) R) P(2)(P Q R) ( P R)(3)(P F) (Q T)习题 1.41.(
8、1)原式 ( P Q) ( P Q) (Q P)( P Q) (Q P)(P Q) Q PQ P,既是析取范式又是合取范式(2)原式 ( P Q) ( P Q) ( ( P Q) ( P Q)(P Q) (P Q) 析取范式P (Q Q)合取范式(3)原式 P Q S ( P Q)析取范式( P ( P Q) Q SP Q S 合取范式(4)原式 P P Q Q R 既是析取范式又是合取范式2.(1)原式 P Q R 为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (PQR) (P
9、Q R) (P Q R)(2)原式 (P Q) R(P Q (R R) (P P) R)(P Q R) (P Q R) (P Q) ( P R)(P Q R) (P Q R) (P (Q Q) R) ( P (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释是 101，100，111，011，001(3)原式 ( P (Q R) (P ( Q R)( P (Q R) P) ( P (Q R) ( Q R)( P P) (Q P R) ( P
10、Q R) (Q R Q R)(P Q R) ( P Q R)为真的解释是：000,111(4)原式 P P Q Q R P Q R 为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)3.(1)原式 P Q P Q T 主合取范式，无为假的解释。(2)原式 (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释为：111，011，001，000，故为假的解释为：010，100，101，110原式的主合取范式为：(P Q
11、R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(3)由 2.(2)知，原式为真的解释是：101，100，111，011，001，故为假的解释是：000，010，110.故原式的主合取范式为：(P Q R) (P Q R) ( P Q R)(4)由 2.(4)知，原式为假的解释是：000，故原式的主合取范式为：P QR4.(1)左式 ( P Q) ( P R)( P Q (R R) ( P (Q Q) R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)右式 P (Q R) ( P Q) ( P R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)故原式成立。(2)左式 （P
12、Q）（PQ） ，右式 （PP）(QP) P（PQ） P （PQ）（PQ） ，故原式成立(3)左式 （PQ）（PQ） F，主析取范式右式 （PQ）（PQ） F，故原式成立(4)左式 T（PQ） T，主合取范式右式 （PQ）（PQ） T，故原式成立习题 1.51.（1）P Q 前提P ，化简P( QR) 前提QR ，MPQ ，化简R ，MP（2）R 前提（QR） 前提QR ，E11Q ，析取三段论P Q 前提P ，析取三段论（3）S 假设前提 S P 前提P ，析取三段论（P Q ）（P R） 前提P Q ，化简P R ，化简Q ，MPR ，MPQR ，合取引入（QR） 前提（ QR） （QR）
13、，合取引入F ，E21故原推理成立（4） R 假设前提（PQ）R 前提（PQ） ，拒取式P Q ，E14，E10QT 前提P QQT ，合取引入F ，E21，E17故原推理成立2.（1）P 附加前提 PQ 前提Q ，析取三段论 QR 前提R ，析取三段论RS 前提S ， ，MPPS CP（2）P 附加前提PQ 前提Q ， MPPQ ， ，合取引入PPQ CP（3）PQ 附加前提P ，化简PQ ，附加规则PQR 前提 R ，MPPQR CP（4）P 附加前提Q 附加前提P（QR） 前提QR ，MPR ，MPQ（RS ） 前提RS ，MPS ， ，MPPQR CP3.（1）（P ） 假设前提P ，
14、E1PQ 前提 Q ， MPQR 前提 R ，析取三段论RS 前提 RRS ，合取引入F ，E21，E17故原推理成立（2）（RS） 假设前提 RS ，E10 R ，化简 S ，化简PR 前提QS 前提 P ， ，拒取式 Q ，拒取式 PQ ， ，合取引入 （P Q） ，E10PQ 前提 （P Q）（PQ） ，合取引入F ，E21故原推理成立（3）1.(S) 假设前提2.S 1,E13.SQ 前提4.Q 2, 3,MP5.R Q 前提6.(RQ) (RQ) 5,E157.RQ 6,化简8.R 4, 7,拒取式9.R 前提10.RR 8,9,合取引入11.F 10,E21故反推原理正确(4) 1
15、.(P Q) 假设前提2.（PQ）(QP) 1,E15,E113.(PQ) (RS) 前提4. (QP) R 前提5.(QP) R 4,E146.(RS) R 2，3，5 构造二难性7.(RS) R) 6，E118.R 7，E139.R 前提10.RR 8，9 合取引入11.F 10，E21故反推原理正确4 （1）先证 AAA 附加前提A(AA) P31 例 1.5.7 中用A 置换用A 置换 A(AA) ，MP(AA) (AA) L3 中用A 置换 BAA ，MPA ，MPAA 演绎定理再证AA AA 上述结论中用A 置换 A(AA) (AA) L3 中用A 置换 A，用 A置换 BAA ，
16、MP最后证(BA) (AB) BA 附加前提 BB 上述结论 BA ，HS AA 上述结论 BA ，HS (BA) (AB) L3 中用 B 置换 A，用A 置换 B AB ，MP (BA) (AB) 演绎定理(2)先证 (AB) A(AB) 附加前提A(AB) P31,例 1.5.7(A(AB) (AB) A) （1）(AB) A ，MPA ，MPAA 上述结论A ，MP(AB) A 演绎定理再证 (AB) (BA)(AB) A 上述结论A(BA) L1(AB) (BA) ，HS习题 1.61. PQPQ(PP) Q(PP) Q) (PP) Q)(PP) Q)(PQ) R(PQ) R) (P
17、Q) (RR) (PQ) (RR)2. P(QR) P(QR) (PQ) (P R) (PQ) (PR) (P(QQ) (PR) (P(QQ) ) (PR)3.(1)左式 P Q(PQ) 右式(2)左式 PQ (PQ) 右式4 （1）否，见 P33，例 1.6.1（2）否，见 P33，例 1.6.1（3）是，PQ (P Q),PQ(PQ) (PQ) P Q, PQPQ(P Q),P Q(PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (QP) (P Q) (Q P)， 中去掉，无法表示否定，去掉 ，无法表示二元运算(4 ) 否。，为极小全功能集 (5 ) 否。因为没公式 A
18、(P,Q)仅含 P,Q, , ,则 A(P,Q)仅在两种解释下为真，而 PQ 仅在一种解释下为真，故 A(P,Q)与 A 不等价，即 PQ 不能用仅含 的公式等价地表示。（6）是。P P P,PQ (PQ) (PQ) (PQ),PQ (PQ) PQ (PP) (QQ),P Q(PQ) (QP) (PQ) (QP) (P(QQ) (Q(PP) (P(QQ) (Q(PP) (P(QQ) (Q(PP)(P(QQ)(Q(PP)(7) 否，由（6）知(8) 是，类似于（6）习题 2.11.(1)R(x):x 是实数，M(x,y):x 比 y 大， x(R(x) y(R(y) M(x,y)(2)R(x):
19、x 是实数，M(x,y):x 等于 y，N(z,x,y):z 在 x 与 y 之间,xy(R(x) R(y) M(x,y) z(R(z) N(z,x,y) M(z,x) M(z,y) )(3)E(x):x 是偶数， M(x):x 是质数。!x(E(x) M(x)(4)O(x):x 是奇数，E(x):x 是偶数。x(E(x) M(x)(5)N(x):x 是自然数，M(X):x+1=0, x(N(x) M(x)(6)N(x):x 是自然数，M(x,y):x+1=y, x(N(x) !y(N(y) M(x,y)(7)M(x):x 是火车，N(x):x 是汽车，F(x,y):x 比 y 快， x(M(
20、x) y(N(y) F(x,y)2. (1)xL(x,0)(2) xyz(L(x,y) L(y,z) L(x,z)(3) xy(L(x,y)z(L(z,0) G(f(x,z),f(y,z).其中 f(u,v)=uv(4) xyM(x,y,y)(5) xyA(x,y,x)3. (1) !x(E(x) M(x)(2)N(x):x 是自然数，F(x,y):x 大于 y,M(x,y):x-1=y x(N(x) F(x,0) !y(N(y) M(x,y)(3)M(x):x 是平面上的点，N(x):x 直线，F(z,x,y):z 过 x 与 y，xy(M(x) M(y) !z(N(z) F(z,y,x)(
21、4)M(x):x 是平面上的点，N(x):x 是平面上的直线 ，F(x,y):x 在 y 上，G(x,y):x过 y. H(x,y):x 平行 y xy(N(x) M(y) F(y,x) !z(N(z) G(z,y) H(z,x)4.(1)存在 x,对任意 y,有 x*y=1;(2)对任意 x,存在 y,使 x*y=1.(3)对任意 x,存在 y，使 x*y=0(4)存在 x,对任意 y，有 x*y=0(5)对任意 x,存在 y，使 x*y=x(6)存在 x,对任意 y，有 x*y=x(7)对任意 x 和 y，存在 y，使 x-y=y习题 2.21. (1)x 是约束变元，也是约束出现；y 是
22、自由变元，也是自由出现。(2)x(P(x) Q(x)中的 x 皆为约束出现，也是约束变元， R(x)中的 x 为自由出现，也是自由变元(3)x,y 是约束出现，也是约束变元；z 是自由出现，也是自由变元。(4)x(P(x) xQ(x)中的 x 圴为约束出现，也是约束变元；yR(z,y)中的 y为约束出现，也是约束变元 z 和 R(x,y)中的 x 与 y 为自由出现也是自由变元2. (1) 的辖域为 P(x) Q(x,y); 的辖域为 P(x)(2) ,的辖域均为 R(x,y) P(y)(3) x,y 的辖域为 R(x,y) P(y,z); x 的辖域为 Q(x)(4) ,的辖域均为 R(x,
23、y)3. (1) zP(z) ywR(w,y) Q(x)(2) u(P(u,y) Q(y) vR(,v,z)(3) uvP(v,u) wP(w,y) zR(x,z)习题 2.31. (1)P(1) Q(1)=1.P(2) Q(2)=1.原式在 I 下为 1(2)由(1)知，原式在 I 下为 1(3)P(1) Q(1)=0, 原式在 I 下为 0(4)P(1) Q(1)=0,P(2) Q(2)=0.原式在 I 下为 0(5)P(1) Q(1)=1, 原式在 I 下为 0(6)P(2) Q(2)=1, 原式在 I 下为 1(7)P(2)=0, xP(x)=0;Q(1)=0, xQ(x)=0,原式在
24、 I 下为 0(8)P(1)=1, xP(x)=1;Q(2)=1, xQ(x)=1,原式在 I 下为 12.(1)构造 I1：DI1= ， , ,原式在 I1 下为 0构造 I2: DI2=， , 原式在 I2 下为 1，故得证(2) )构造 I1：DI1= ， , , 原式在 I1 下为 0构造 I2: DI2= , , 原式在 I2 下为 1，故得证(3) 构造 I1：DI1=, , 原式在 I1 下为 0构造 I2: DI2=, , 原式在 I2 下为 1，故得证(4) 构造 I1：DI1=, , 原式在 I1 下为 0构造 I2: DI2=, , 原式在 I2 下为 1，故得证.3.
25、(1)成立。若 xA(x) xB(x)为 0，则xA(x)为 1，且xB(x)为 0，即I， DI,A（）为 1，且DI，B()为 0，则 A() B()为 0，故x(A(x) B(x)在 I 下为 0，从而原式成立。(2)不成立。构造 I: DI=， , ,则 A() B()为 0，故x(A(x) B(x) )为 0,而 xA(x), xB(x)在 I 下均为 0，故xA(x) xB(x) 在 I 下为 1，从而( xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)在 I 下为 0，故原式不成立。(3)成立。左式 xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) x(A(x) B(x) 右式(4)
26、不成立。左式 x(A(x) B(x) xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) 右式4. (1)左式 x(A(x) yB(y) 右式(2)左式 x(A(x) yB(y) xA(x) yB(y) 右式(3)左式 x(A(x) yB(y) 右式(4)左式 x(A(x) yB(y) 右式(5)左式 x(A(x) yB(y) 右式5. 由x(P(x) Q(x) xP(x) xQ(x)知x(P(x) Q(x)(xP(x) xQ(x)习题 2.41.（1）反式 （xP(x) xQ(x)）(xQ(x) yR(y) x(P(x) Q(x) ) (zQ(z) yR(y) xzy(P(x) Q(x) (Q(
27、z) R(y)(2)反式 yP(y) (xQ(x) xR(x) yP(y) x(Q(x) R(x)yx(P(y) (Q(x) R(x)(3)反式 xyP(x,y) ( xQ(x,y) R(x) uvP(u,v) (uQ(u,y) R(x) uv(P(u,v) (Q(u,y) R(x)(4)反式 yx(P(x) Q(x,y) ) yR(y) xP(x) y(x(P(x) Q(x,y) P(x) ) yR(y) yxP(x) yR(y) xP(x) yR(y) xy(P(x) R(y)(5)反式 xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x)2. (1) 反式的 skolem 范式为：x y(P(
28、x) Q(x) (Q(f(x) R(y)(2) 反式的 skolem 范式为: y x(P(y) (Q(x) R(x)(3) 反式的 skolem 范式为: v(P(a,v) (Q(a,y) R(x)(4) 反式的 skolem 范式为: y(P(a) R(y)(5) 反式的 skolem 范式为: P(a) Q(a)3.不正确。由于xP(x,y) xQ(x) x(P(x,y) Q(x),故（xP(x,y) xQ(x) ）yR(y) x(P(x,y) Q(x) ) zR(z)习题 2.51.由 P37 例 2.1.3 知，即证明 x(M(x) D(x) M(a) D(a)x(M(x) D(x)
29、 前提M(a) D(a) ,VSM(a) 前提D(a) ,MP2. (1) x(P(x) Q(x) 前提P(z) Q(z) ,VSyQ(y) 前提Q(z) ,VSP(z) ,拒取式xP(x) ,UG(2) x(P(x) Q(x) 假设前提x( P(x) Q(x) ,Q1,E10xP(x) 前提P(c) ,ESP(c) Q(c) ,VSP(c) P(c) Q(c) ,合取引入F ,E21,E17故反式成立(3)xP(x) 附加前提P(y) ,VSx(P(x) Q(x) 前提P(y) Q(y) ,VSQ(y) ,MPxQ(x) ,UGxP(x) xQ(x) CP(4) x(P(x) R(x) 前提
30、P(c) R(c) ,ESx( P(x) Q(x) 前提P(c) Q(c) ,VSxQ(x) 前提Q(c) ,VSP(c) ,拒取式，E1R(c) ,MPxR(x) .EG(5)x(P(x) Q(x) 前提P(c) Q(c) ,ESP(c) 化简x(P(x) Q(x) R(x) 前提P(C) Q(c) R(c) ,VSQ(c) R(c) ,MPx(Q(x) R(x) ,EG3.(1)xP(x) 附加前提P(c) ,ES(xP(x) Q(a) 前提xP(x) Q(a) ,Q3,E11P(c) Q(a) ,VSQ(a) ,析取三段论xP(x) Q(a) CP(2)x(P(x) Q(x) 前提P(y
31、) Q(y) ,VSxP(x) 前提P(y) ,VSQ(y) ,析取三段论xQ(x) ,UG(3)x(P(x) Q(x) 前提x（P(x) Q(x)） ,Q4,E11P(c) Q(c) ,ESxP(x) 前提P(c) ,VSQ(c) ,析取三段论xQ(x) ,EGxQ(x) ,Q44.(1)为真。yP(y) 前提P(c) ,ESx(P(x) Q(x) 前提P(c) Q(c) ,VSQ(c) ,MPzQ(z) ,EG(2)为假。构造 I：DI=, , ,则 x(P(x) Q(x)为 1，而xP(x)为0，故x(P(x) Q(x) xQ(x) 为 0.(3)为真。x(P(x) Q(x) 前提P(c
32、) Q(c) ,VSQ(c) 前提P(c) ,拒取式P(c) Q(c) ,附加规则P(c) Q(c) ,E14x(P(x) Q(x) ,EG习题 3.11. (1) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9(2) aa, ab, ba, bb(3) -1,1(4) 11,13,17,19,23,29(5) 1,2,3,79(6) 22. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过 200 的自然数的集合;|N20x(2) 被 5 除余 1 的正整数的集合;+|I(51)yxy(3) 函数 y=sinx 的值域;|R1(4) 72 的质因子的集合;|N|72(N2|)xyyx(5) 不等式 的解集;03
33、1|Rx(6) 函数 的定义域集.2312xy| x3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前 0 的十进制无符号整数的集合; ,1234,5678,9A 如果 ，xA则 0,123,45,67,89,012,34,56,78,9xxxxA(2) 不允许有前 0 的十进制无符号整数的集合; ,9 如果 ，则xA,123,45,67,89xxxA(3) 不允许有前 0 的二进制无符号偶数的集合; 1 如果 ，则x,xA(4) 5 的正整数倍的集合. A 如果 ，则 54. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) (2) (3) ;A;A(4) (5) (6) (7
34、) .答：(2),(3),(4)为真， (1),(5),(6),(7)为假。5. 判断下列命题中哪些为真：(1) (2) (3) ,(4) (5) (6) ,(7) (8) ,(9) (10) ,abb,abab(11) (12) (13) (14) 答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。6. 设 A 和 B 是集合， 和 能同时成立吗？为什么？AB答：能。当 时， 和 同时成立。7. 设 A 和 B 是集合， 和 能同时成立吗？为什么？答：不能。若 和 同时成立，则我们能得到 ，而这是不可能的。A
35、B8. 设 A，B 和 C 是集合，若 ，且 ，则 可能成立吗？ 是否总能成ABCAAC立？为什么？答： 可能成立。比如当 ， 时， ， 和 同时成,B立。但结论不是总成立。比如 ， 时， 且 ，但 不成立。9. 设 A，B 和 C 是任意集合，证明或否定下列断言：(1) 若 ，且 ，则AC结论成立。因为 ，所以xBxA(2) 若 ，且 ，则AB结论不成立。例如当 时，有 ，且 ，但,abCacBCC(3) 若 ，且 ，则 sA命题为假。设 ,易知 ，且 ，但,BBA(4)若 ，且 ，则AC结论成立。(题目有误，应改为 “若 ，且 ，则 ”)AC x( xAx) x(xA0) BBx(xA)A=10. 设 A, B 和 C 是任意集合 . 证明或否定下列断言:(1) 若 , 且 , 则AA答: 此断言不正确。例如当 A=a, B=a,b, C=a,c时, 有 和 , 但ABCA(2) 若 ,
