1、东南大学交通学院高等数学历年试卷东南大学交通学院研学部整理东大交院高数历年试卷 研学部制作第 2 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。第一部分 历年试卷2003 级高等数学（A） （上）期中试卷一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）1. , （）2)( ,)( xfxfy且处 可 导在 点函 数 是时则 当 dyx ,0（A） ；（B） ；等 价 的 无 穷 小与 同 价 但 非 等 价 的 无 穷 小与（C） ；（D） 。低 价 的 无 穷 小比 x高 价 的 无 穷 小比 x2.方程 （）内 恰 有在 ) ,(0125（A） 一个实根；（B）二个实根；（ C）三个实根；
2、（ D）五个实根。3.已知函数 ,0)( , fxf的 某 个 邻 域 内 连 续在 ,1cos)(limxfx则 （）处在 0（A） 不可导；（B）可导且 ；（C ）取得极大值；（ D）取得极小值。)0(f二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1. 时， .axaxf 0., 3cos2)( 则 当若 处 连 续在 0)( xf2.设函数 ，则 处间断，其类型是 .nxnef1lim)( 2xf)( 在3.函数 余项的三阶 公式为 Lagrexf处 的 带在 Taylor。4.设函数 ，则 .所 确 定由 方 程 1)sin()(xyy d5.已知 ，则 .1lxf0f6.设 ，其中 ，
3、 。22ta)(cosy可 导 dxy则三、 （每小题 7 分，共 28 分）1.求极限 . 2.求极限xxcot0)4tn(lim )sin1(silmxx3.已知 ，求 . 4.设 .eysi1l)(y 2 , ,2condyty求东大交院高数历年试卷 研学部制作第 3 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。四、 （8 分）求证 ， .时当 0xxsin63五、 （6 分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问 2 秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？sm/六、 （8 分）试就 a 的不同取值，讨论方程 的实根的个数。ax2)(3七、 （6 分）设
4、函数 ， ， ，证明：至少存在上 连 续在 1,0 f 内 可 导在 1 ,00)1( f且一点 ，使 。)1 ,0()(3f八、 （8 分）在椭圆 上求一点 ，使得它与另外两点0 12bayx ) ,(yxP， ) ,0(bB构成的三角形 。) ,2(aA的 面 积 最 小AB东大交院高数历年试卷 研学部制作第 4 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2004 级高等数学（A） （上）期中试卷一. 填空题(每小题 4 分,共 20 分)1.设 时, 与 是等价无穷小,则 .0x1e3sinxnn2.设 在 处连续,则 .0,e2l)(xaf a3.设 则 .cos)(2xf)(1
5、f4.函数 在区间 内单调减少.lnx5.函数 在 处的带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式为 xf)(10二. 选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.设 则 是 的 ,arctn1e)(xxf0)(xf(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点2.设 且 在 处连续, ,则 ,2xgf)(2x0)(xg)2(f(A) = (B) = - (C) (D) 不存在)( 3.函数 在 内的零点个数为 1elnxf,0(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34.设曲线 则该曲线 ,2xy(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近 (C
6、) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线三. 计算题(每小题 7 分,共 3 5 分)1. 2. xx1sincotlim0 xxsin120e31lnsiim3. 设 是由方程 确定的隐函数 ,求 .ysine2yyd东大交院高数历年试卷 研学部制作第 5 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。4. 设 , 求 .tyxarcn122d,xy5. 设函数 且 存在 ,试确定常数,0,;,e2xcbf f .,cba四.(8 分) 证明不等式: 当 时, .121lnxx五.(8 分) 求曲线 的切线,使切线与直线 及直线 所围成的82xy 0y8x图形的面积最大
7、.六.(7 分) 设 ,证明数列 收敛,并求 .21 4,01nxxn nxnxlim七.(6 分) 设 在 上连续,在 内可导,且 证明: ，使得fbaba,0abba,.ff23东大交院高数历年试卷 研学部制作第 6 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2005 级高等数学（A） （上）期中试卷一填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1 ；2limsn1x2当 时, 与 是等价无穷小,则 ;0()arcsinosxx2()xkk3设 ，则 ；siydxy4函数 在 处带有 余项的二阶 公式为 ；()exf1PeaTaylor5已知函数 可导，则 ， 。32s
8、in,0()9rct,xaxfb b二单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）6设函数 ，则 1()exf（A） 都是 的第一类间断点（B） 都是 的第二类间断点0,x()f 0,1x()fx（C） 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点f 1()f（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点x()x7 设函数 由参数方程 确定，则曲线 在 处的切线与y2ln(1)ty()yx3轴交点的横坐标是 x（A） （B） （C） （D） 8 以下四1ln238l2388l23ln2个命题中，正确的是 （A）若 在 内连续，则 在 内有界()fx0,1()fx0,1（B）若
9、在 内连续，则 在 内有界（C）若 在 内有界，则 在 内有界()fx,()fx,（D）若 在 内有界，则 在 内有界01019 当 取下列哪个数值时，函数 恰有两个不同的零点 a32()9fxxa（A） （B ） （C ） （D）2468东大交院高数历年试卷 研学部制作第 7 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三计算题（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）10 11。01limexx 3limn12lxx12 13。设 求1li2n n ,)()xf)(fn14设函数 由方程 所确定，求 。()yx22si()e0xydy四 （本题共 4 道题，满分 29 分）1
10、5 （本题满分 6 分）如果以每秒 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常350cm值，且形状始终为球形，问当气球的半径为 时，半径增加的速率是多少？16 （本题满分 7 分）证明不等式： 12e(0)xx17 （本题满分 8 分）在抛物线 上求一点 ， ，使弦 的长度214y,4PaPQ最短，并求最短长度，其中 是过点 的法线与抛物线的另一个交点。Q18 （本题满分 8 分）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()fx,ab,ab，证明：(),()fabfa（1） 至少存在一点 ，使得 ；,cb()fc(2) 至少存在互异的两点 ，使得 a1f东大交院高数历年试卷 研学部制作第
11、 8 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2006 级高等数学（A） （上）期中试卷一. 填空题（前四题每题 4 分，第 5 题 8 分，满分 24 分）1函数 的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；sin()1)xf2已知 ，则 ， ；2lim0xabab3设 ，其中 为可微函数，则微分 ；rctn()yf()fxdy4设 ，若 在 处可导，则 ， ；3,1()axbff1ab5举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：（1）在 处不连续，但当 时，极限存在的函数有0x0x（2）在 处连续，但在 时不可导的函数有（3）在 处导数为 ，但 不为极值点的连续函数有（4）属于
12、“ ”或“ ”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得的有二.单项选择题（每题 4 分，满分 12 分）1设 是单调增函数， 是单调减函数，且复合函数 ，()fx()gx(),()fxfg都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 ,g(A) (B) (),()fxf (),()gfx(C) (D) gf2当 时，若 是比 更高阶的无穷小，则 0x2ln(1)yxabx(A) (B) (C) (D) 1,2ab, 1,1,2ab3下面四个论述中正确的是 (A)若 ，且数列 单调递减，则数列 收敛，且其极限 0(,)nx nxnx0(B)若 ，且数列 收敛，则其极限12 0a(C)若
13、，则 limnxa0(1,2)nx(D)若 ，则存在正整数 ，当 时，都有 。n Nn2nx三.计算题（每题 7 分，满分 35 分）东大交院高数历年试卷 研学部制作第 9 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。1 2. 0sinlim(co)l(1xx21limxx3设 ，求 . 2artly211d,ttyx4. 设 ，求 .3ex(10)5. 设 是由方程 所确定的隐函数，求曲线 在点()y2e2xy()yx处的切线方程. (0,2)四.（8 分）设 ，证明数列 收敛并求极限.102, ,(2,)2nnxx nx五.（8 分）证明：当 时, 有.2(1)l()4arctl1xx
14、六. (7 分) 设函数 在区间 上连续，在 内可导， ，试证：存在一点fx0,(0,1)(0)f，使得 (0,13()f七(6 分) 设 (其中 为正整数)， 1()arctnnfxx（1）证明： 在 内有唯一的零点，即存在唯一的 ，使 ；0,)(0,)nx()0nfx（2）计算极限 .1limnx东大交院高数历年试卷 研学部制作第 10 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2007 级高等数学（A） （上）期中试卷一.填空题（每小题 4 分，满分 24 分）1当 时， 与 是等价无穷小，则 ， ；n1kncos(0)aka2已知 ，则 ， ；2limxaxbb3函数 带 余项的
15、 阶 公式是1()fPeno4Maclurin4 ；22esind3xx5当某质点沿曲线 运动到点 处时, 该质点的 坐标和 坐标关于时间的变化y0xy率相等，点 的坐标为0M6函数 的单调增加区间为 ，极大值为 .21()lnfx二.单项选择题（每题 4 分，满分 12 分）7设对 , 有 , , 则 R()()hxfgxlim()0hxlim()xf(A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C ) 一定不存在 (D) 不一定存在8极限 214lnlimsix x(A) (B ) (C) (D) 339函数 的不可导点的个数为 3()infx(A) (B) (C) (D) 012三.计
16、算题（每小题 8 分，满分 32 分）10 11. 设 ，求 .01sicolimnl()xx 32ln1xtty2dyx12设 ，求 . 2()if(10)f13.试确定常数 、 的值，使得曲线 和 在点 处相切，ab2yxab31yx(,1)并求切线方程.四(14).（8 分）讨论 的连续性，并指出间断点的类型（应233()lim (0)nnfxx说明理由）.东大交院高数历年试卷 研学部制作第 11 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。五(15).（8 分）设函数 在 上定义， ,并对任意实数 和 ,恒有()fx,)(0)1fxh, 证明 在 上处处可导,并求 .()(2fxh
17、fh(fx()f六(16). (8 分) 设 , , 且 ，证明：当 时， .1pq1pq0x1pxq七(17)(8 分) 设 在闭区间 上具有一阶连续导数，在开区间 内二阶可导，()fx,ab(,)ab且 ， ， 试证：至少存在一点 使得 .(fab0 (,)0f东大交院高数历年试卷 研学部制作第 12 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2008 级高等数学（A） （上）期中试卷一.填空题（每个空格 4 分，本题满分 32 分）1 ；2limn1xx2当 时， 与 是等价无穷小，则 ， ；0cos()xkk3设 ，则 _；sinxy2dxy4设 是由方程 所确定的隐函数，则 ；
18、()etan()yy(0)y5 在 处带有 余项的二阶 公式为_ _；lnfx1xPoTalor6已知曲线 和 在点 处相切，则 ， .2yb24yx(1,)ab二.单项选择题（每小题 4 分，本题满分 12 分）7设 ,其中常数 、 、 、 互不相等,且 ()()(fxaxcdabcd, 则 的值等于 kkbk(A) (B) (C) (D) 8若极限 存在，则下列极限一定存在的是 0lim()xf(A) （ 为实常数） (B ) 0 0lim()xf(C) (D) 0lin()xf 0arcsinx9 已知 存在,则 ()fa220()limhfafh(A) (B) (C) (D) 2f (
19、)f 6()fa3()fa三.计算题（本题满分 27 分）10 （7 分） 11. （6 分） 20ln(1)lisiexx 2lnsiimcoxx12 （7 分）设 ，求 . 123arct6y21dtyx东大交院高数历年试卷 研学部制作第 13 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。13. （7 分）设 ，其中函数 具有二阶连续导数，求 . 2sin()yfxf 2dyx四(14).（7 分）已知函数 可导，试求常数 和 的值.2ecos,0()in()xafbab五(15).（7 分）试求函数 的间断点，并指出间断点的类型（需说明3e()limsitxtfx理由）.六(16).
20、 (9 分)设 ，证明： .1,0()lnxLx 1()(0)2xxL七(17)(6 分) 设函数 在区间 上二阶可导，且 ，证明：对于任意的f,ab()fab，都存在 ，使得 .0(,)ab()()ff东大交院高数历年试卷 研学部制作第 14 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2009 级高等数学（A） （上）期中试卷东大交院高数历年试卷 研学部制作第 15 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。东大交院高数历年试卷 研学部制作第 16 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。第二部分 参考答案2003 级高等数学（A） （上）期中试卷一、单项选择题（每小题
21、4 分，共 12 分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1. 2. ,第一类（跳跃）间断点 520x3.(1)23 43(5()(1)() (01)4!xeeex4. 5. 6. cos()xxyyde()!n22sin(cos)cxfx三、 （每小题 7 分，共 28 分）1. 2.elim(s1si)0x3. 4.设 .21()4)y2in, 1dydytxx四、 （8 分）求证 ， . (用函数的单调性来证明)时当 0xsi63五、 （6 分）是一个相关变化率的问题， 。 214/tdms六、 （8 分）时，有两个相异的实根； 时，有一个实根； 时，没有实
22、根。2aa2a七、 （6 分）设 ，对 在区间 上用罗尔定理即可得证。3()()Fxf()Fx0,八、 （8 分）所求点为 。2, Pb东大交院高数历年试卷 研学部制作第 17 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2004 级高等数学（A） （上）期中试卷四. 填空题(每小题 4 分,共 20 分)1. 2. 3. 3n2a10()9f4. 5. 1(,)22, 1xx五. 选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.C 2.D 3.C 4.D 六. 计算题(每小题 7 分,共 3 5 分)1. 2. 01limcotsin6xx 12sin01sin3elimxx3. 4. .2
23、edcosyxdy 2231d1 2()4()yytxtx5. （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求）1,ab四.(8 分) 用函数的单调性来证明。五.(8 分)所求的切点为 ，切线方程为 。1625(,)3932569yx六.(7 分) 用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得 .lim2n七.(6 分) 提示：对 以及 用 Cauchy 中值定理，然后再对 在 上用xf3()gx()fxba,拉格朗日中值定理。东大交院高数历年试卷 研学部制作第 18 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2005 级高等数学（A） （上）期中试卷一填空题（本题共 5 小题，每小题 4
24、 分，满分 20 分）1 2 32limsn1xkdxy4 5 。23()()(1)eexo1,ab二单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）6.C 7.C 8.C 9.B三计算题（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）10 11。 12 123ln2113。 14 。1()1)!()nn nfxx22dcos()xyeyx四 （本题共 4 道题，满分 29 分）15 （本题满分 6 分） （相关变化率问题）半径增加的速率是 。1(/)2cms16 （本题满分 7 分）用单调性来证。 （提示：设 ，则()exxF，考虑 的符号即可） 。12()e()xxF12
25、()exg17 （本题满分 8 分）所求点为 ，弦 的最短长度为 。,PQ6318 （本题满分 8 分）提示：（1）令 ，用罗尔定理即可得证。()Fxf(2) 利用(1)的结论，对 在区间 分别用拉格朗日中值定理即可得证。()fx,acb、东大交院高数历年试卷 研学部制作第 19 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2006 级高等数学（A） （上）期中试卷一. 填空题（前四题每题 4 分，第 5 题 8 分，满分 24 分）1 ；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点0,x2 3 4,1ab2()dd1fxy3,2ab5 （1） （2） （3） （4） sgnyxyx3yx2
26、01sinlm()x二.单项选择题（每题 4 分，满分 12 分） 1C 2B 3D。三.计算题（每题 7 分，满分 35 分）1 2. 3 ，36e1dtyx21d47tyx4. 5. (0)920xyx460四.（8 分）用单调有界原理，数列 单调递增，有上界 ，故收敛，且n12.15lim2nx五.（8 分）用单调性证明。六. (7 分) 提示：对 用罗尔定理。3()1()Fxfx七(6 分) （1）令 ， ， ，arctn1ng(0,)01lim()0nxg，故 ，使得 ，lim(0nxg2x12,n在区间 上连续， 在 内至少存在一个零点。)12,x()n1,)，记 ，2arct()
27、ngx 22()arctn,()01xxhxh， ，即 ， 在 内严格单调(0,)x(0),h()0,ng()ng,)递减， 在 内至多存在一个零点。 在 内存在唯一零点，即ng, x(在 内存在唯一零点，记为 。()fx,) (,)n（2）由于 ，而 严格单调递减，故1arct arct21n nxxarctnx东大交院高数历年试卷 研学部制作第 20 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。，所以 ，得 ，1nx1()arctn(1)2xnlimnx。 2limli()rtnnn东大交院高数历年试卷 研学部制作第 21 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2007 级高
28、等数学（A） （上）期中试卷一.填空题（每小题 4 分，满分 24 分）1 2 3 3,ka1,ab2341()xxo4 5 6 ，2esinrctxxC(,)421,e2二.单项选择题（每题 4 分，满分 12 分） 7D 8B 9C 三.计算题（每小题 8 分，满分 32 分）10 11. 12d(6)1yttx12 . (0)102109()sin5(2)cos245sinfxxx13. ,切线方程为 .,aby四(14).（8 分） ，在 上连续，间断点 为第一532,(),xfx0,2)(2x类的跳跃间断点。五(15).（8 分）用导数的定义证明， .()21fx解 在等式 中令 ，
29、得 ，则()hfhx0()0f，于是 在 上处处可导，00()()limlimhhfxff()f,且 21六(16). (8 分) 证 设 ，则 ，令 ，得唯一的驻点 ，且(pfxxq1()pfx()0fx1x， 是 唯一的极小值点，因而是最小值点。故1)01，不等式得证。()0pff七(17)(8 分)证 若 ，由 定理知， ，使得 ；若(fafbRole(,)ab()0f，不妨设 ，且 .由于 ，由)()0,()faff()fab定理知， ，使得 ，再由于 ，且Role,()bxC，由介值定理知， ，使得 ，再由()()ffafb ,c()ffc东大交院高数历年试卷 研学部制作第 22 页
30、 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。定理知， ，使得 .Role(,),acb()0f东大交院高数历年试卷 研学部制作第 23 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2008 级高等数学（A） （上）期中试卷一.填空题（每个空格 4 分，本题满分 32 分）1 2 3 4 1,8k2dxy(0)2y5 22()()()xox6 ,5ab二.单项选择题（每小题 4 分，本题满分 12 分） 7D 8B 9 C 三.计算题（本题满分 27 分）10 （7 分） 11. （6 分） 20ln(1)limsiexx 2lnsiim2coxx12 （7 分） ， 226()dyt12
31、4tdy13. （7 分） 2222224sin()cos()cos()xfxfxfx四(14).（7 分） （注意：分段点的导数要用导数的定义来求）.13,ab五(15).（7 分） ，故 为第一类的跳跃间断点；0(),sinxfx为第二类间断点。(1,2)xk六(16). (9 分) 利用 得单调性证明右边不等式；)lxf利用 得单调性证明左边不等式。(lng七(17)(6 分) 令 ，利用罗尔定理证明。)(Fxbfx东大交院高数历年试卷 研学部制作第 24 页 共 24 页书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。2009 级高等数学（A） （上）期中试卷一.填空题（每个空格 4 分，本题满分 24 分）1 2 3 4 1,28ab12xdye(0)12y(,1)5 6 33()!xox二.单项选择题（每小题 4 分，本题满分 12 分） 7D 8B 9 C 三.计算题（本题满分 36 分）10 11. 12 ， e1803tdyx201ty13. ()121 32cos()2cos()2()cos()nnn nnfxx x四(14).（8 分） 为第一类的跳跃间断点； 为第二类的无穷间断点。01lx五(15).（8 分）略。六(16). (6 分) 略。
