1、1经济数学（二）练习题（本科）一 判断题1 曲线 不是正则曲线。 ( ) sin,co,s2r2 圆柱螺线 的切线与 z 轴成固定角。( ) ba3 空间曲线 r = r (t), 当 常数时,该空间曲线是圆。 ( ) )(t4 若两个曲面间的变换是保角变换,则该变换也是等距变换。 ( ) 5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,则曲线(c*)是曲线(c) 的渐伸线。 ( ) 6 可作为曲面的第一基本形式。( ) 226dvud7 若 则方向 是正交方向。( )0nr);8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。( )9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是 。( )0l10 曲面的欧拉公式
2、为 。( )221sincokkn11 等距交换一定是保角变换。( )12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。( )13 曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。( )14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。( )15 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( )二 填空题1 向量函数 r (t)具有固定长的充要条件是对于 t 的每一个值， 都与 r (t)_。(t2 设 r ( t )为可微分的向量函数，且 （a 为常向量， ） ，则曲线 r = r ( t )的图形是r)( 0a_。3 螺线 r = cost , sin t , t
3、上点（1，0，0）的切线方程是_。4 正螺线 r = u cos v , u sin v , b v 坐标曲线的方程是_。5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的_性质。6 已知 ， =_, =_ =_2,cos,incos3xx a=_, =_。7 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是_曲线。8 曲面的曲纹坐标网是渐近网的_条件是 L=N=0。9 曲面的曲纹坐标网是共轭网的_条件 M=0。10 主方向的判别定理（罗德里格定理） ，如果方向 是主方向则：_。):()dvu11 曲面上的曲纹坐标网是率线网的充分必要条件是_。12 曲面的第三基本形式为_。13 每一个可展曲面或
4、是柱面、或是锥面、或是_曲面。214 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。15 设 ；则： =_。qpvw;)(wd16 沿曲面上一条曲线平行移动时，保持_不变。17 如果曲面的平行移动与路径无关，则_曲面。18 测地线是它的切线沿自身平行的曲线，即_曲线。19 当向量 沿测地线平移时，它与测地线的_保持不变。v20 正规曲线（c）：r = r ( t )称为简单的，如果向量函数 r ( t )在_是_；_的。21若函数 ，则 542(xxf )(xf22设需求量 q 对价格 的函数为 ，则需求弹性为 p2e10pqEp23 xcdos24设 是三个事件，则 发生，但 至少有一个
5、不发生的事件表示为 CBA,ACB,25设 为两个 阶矩阵，且 可逆，则矩阵方程 的解 ,nIXBA26.已知共线四点 A、B、C、 D 的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_.27.对合由_唯一决定.28.二阶曲线就是_的全体.29.证明公理体系的和谐性常用_法.30.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_直线.31._，称为仿射不变性和仿射不变量.32.共线三点的简比是_不变量.33.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线 )决定唯一 _.34.点坐标为(1，0，0)的方程是_.35. =0 代表点_的方程.u1236函数 的定义域是 2e,50()1xf37 _s
6、inlim0xx38函数 f (x) = -sin3x 的原函数是 39设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 BA, 22)(BABA40齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解为 .XO103三 选择题单选题1 曲线 ，从 到 的弧长是。 （ ）1,cosin)(r01A 、1 B、 2 C、 D、22/2 若空间曲线 r ( t )与 都平行于固定平面，则该曲线的挠率为。 （ ）A。1 B。-1 C。2 D。03 抛物线 y = x2 在 x = 0 点的相对曲率 是。 （ ）1A。1 B。2 C。-1 D。1/24 曲面上的点根据杜邦指标线 Lx2 + 2Mxy + N
7、y2= 进类，当 LN - M20 时，称点 P 为。A。椭圆点 B。双曲点 C。抛物点 D。平点 （ ）5 已知曲面上一点 P 的高斯曲率 K=2，平均曲率 H=3/2，该曲面在点 P 处的两个主曲率为 A。 2、1 B。2、0 C。1、1/2 D。-1、1 （ ）多选题 7 空间曲线（C）满足下列条件之一，均是平面曲线。 （ ）A。 B、 C、k=0 D、 r 0),(r8 下列关系式中表示曲线相对曲率的有（ ）A。 B。x y x y C。 D。2/32)(yx 2/32)/(1dxy2/32)(yx9 下列曲线为一般螺线的有（ ）A。曲线的主法线与固定方向成固定角 B。曲线的切线与固定
8、方向成固定角C。曲线的副法线与固定方向成固定角 D。曲线的曲率与挠率之比为定值。10线性方程组 满足结论（ ） 93212xA无解 B有无穷多解C只有 解 D有唯一解 011下列各函数对中， （ ）中的两个函数是相等的A ， B ， 1)(2xf 1)(xg2)(xfxg)(C ， D ，2lnf ln2cossin1)(412设函数 在 x = 0 处连续，则 k = ( ) A-2 B-1 ,1,2sin)(kxfC1 D2 13. 函数 在 处的切线方程是（ ） xfln)(A. B. yx 1yC. D. 1x14下列函数在区间 上单调减少的是（ ） (,)A B2 x Cx 2 D3
9、 - xxsin15.若 ，则 =（ ）.cFf)(d)(fd)1(A. B. x122 cxF22C. D. cF)(2 )1(216下列等式中正确的是（ ） A . B. )cosd(sinxx)d(lnxC. D. l1xxaa )(117设 23，25，22，35，20，24 是一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 5.2323C. D. 18设随机变量 X 的期望 ，方差 D(X) = 3，则 = ( ) 1)(E)2(XEA. 36 B. 30 C. 6 D. 919设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）BA,A. B. 11)(11)(ABC. D. （其中 为
10、非零常数）TT)(k20设 ，则 （ ） xf)(xf5A B C Dx12x221曲线 y = sinx +1 在点(0, 1)处的切线方程为（ ） A. y = x +1 B. y = 2x +1 C. y = x -1 D. y = 2x -122. 若 ，则 f (x) =（ ） cfx1ed)(A- B 2x2C D -1x123设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）B,A. B. 1T1T)()(AT1T1()()ABC. D. 24. 线性方程组 解的情况是（ ） 0121xA. 有无穷多解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 无解四 计算题1 求圆柱螺线 在 ；点的
11、三个基本向 Y 和密切平面、主法线方bzayx;sin,co0;a程。2 求曲线 曲率与挠率。;)(thattr3 已知曲面的第一基本形式为 求坐标曲线的测地曲率。0),(2vduvI4 求球面 上的第一、第二基本形式及法曲率。sin;icos;,cosRRr5 求曲面 z = xy2 的渐近曲线。6 计算悬链面 的第一、第二基本形式。,ih,;, uvvu7 计算抛物面 2x3=5x12+4x1x2+2x22 在原点的第一、第二基本形式。8 计算位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆的测地曲率。9 计算球面 的第一基本形式sin;icos;cosRr10 求正螺面 上的测地线。 in,vu
12、611 )3sin(2lm3xx12设函数 由方程 确定，求 y22exy)(xy13 xd2cos014求微分方程 的通解12y15.求直线 x-2y+3=0 上无穷远点的坐标。16.求仿射变换xy7142的不变点.17.求四点(2，1，-1) ，(1，-1，1) ，(1，0，0) ，(1，5，-5)顺这次序的交比.18.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x1-x3=0 与 x2- x3=0 ( = )所决定的.1219.求二次曲线 2x2+xy-3y2+x-y=0 的渐近线.20求微分方程 的通解23edyx21设矩阵 ， ，求 . 13420A32BBAI)(T22求线性方程组 的
13、一般解0284213xx五 证明题1 证明：如果空间曲线的所有切线都经过一个空点则此空间曲线是直线。2 在曲面上一点，含 du ; dv 的二次方程 Pdu2+2Qdudv+Rdv2 确定两个切方向 和( )证明这):dvu:两个方向垂直的充要条件是：ER-2FQ+GD=03 问曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线吗？为什么？4 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。5 证明一条曲线 为一般螺线的充要条件是 )。)(sr0,;(r6 证明：在曲面 Z=f (x)+g (y)上曲线族 x=常数；y=常数构成共轭网。7 证明：命题 1 K2=K
14、g2+Kn2。8 曲面的第一基本形式为 I=E（u）du2+G(u)dv 2 求证：u-曲线是测地线。79设 是 矩阵，试证明 是对称矩阵AnmTA10.过二次曲线的焦点 F，引两条共轭直线 l,l，证明 ll.证明：11试证：若 均与 可交换，则 也与 可交换21,BA21BA12试证：若 均与 可交换，则 也与 可交换六 综合题1 如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面交成空角,则它是平面曲线。2 给出曲面上一条曲率线 ,设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证 是一条平面 曲线。3 证明曲面上曲纹坐标网是曲线网的充分必要条件是 F=M=0。4 求证平面族 a2x+2ay+2
15、=2a 的包络5 证明 的曲面 是柱面。0uvr);(:vurs6 求半径为 R 的球面上测地三角形三内角之和。7 证明曲率恒等于零的曲线是直线。8 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。经济数学练习题答案一 判断题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 填空题1.垂直 2.直线 3. 4. 5. 内在 6.01zrx0，dvu ;4sin3;co51xa;0cos;inx ;3sin4;co5x ;2sin56x;2sin8x7 。渐近 8 。充分必要 9。充分必要 10。 11。F=M=0 dr12。 III=ds*2=dn2=edu2+2fdudv+gdv
16、2 13。 一条曲线的切线 14。 高斯曲率 15。 16 。向量的内积 17。纹曲面一定是可展 dwdp)(818。 测地线是自平行 19。夹角 20。 一个周期内21. 22. 23. 24. 2512xpxdcos)(CBAABI1)(26. - 1 27. 两对不同的对应元素28. 两个射影线束对应直线交点 29. 模型 30. 分散31. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量 32. 仿射 33. 仿射变换34. u1=0 35. (1，1，0)、(1， - 1，0) 36. -5，2） 37. 0 38. cos3x + c (c 是任意常数) 39. 可交换 40 (其中 是自由未
17、知量)BA, 4231x43,三 选择题1。A 2。D 3。A 4。B 5。A 7。ABD 8。ACD 9 。BCD 10. D 11D 12. C 13. A 14. D 15. B 16. C 17. A 18. C 19. B 20C 21. A 22. B 23. C 24. D 四 计算题1 解：三个基本向量 222cossin,0 bara,010,1 22 bab2221,030 babaer 0,1)()(0)(rra密切平面：,sin,co,.cos,in abr 0)(,0)(0)( rara9所求密切平面方程为 = 0，即 aX0YbZ0aZY主法线方程为：法平面方程为
18、。即)()()( ba0b,即 Y=Z=00aZbY2.解： 0,0,., achtsrashtcrchtsr 于是 ，2，achtser1t2 ,0223achtsae，2所以曲率为 ，tchark231挠率为 ，t32)(,3 已知曲面的第一基本形式为 求坐标曲线的测地曲率。0),(2vduvI解 E=G=v，F=0，G u=0 , Ev=1u-线的测地曲率 vGKvgu 212u-线的测地曲率： 0Eugu4 解： ，sin,icos,cosRRr，0in，cos,si,csr由此得第一类基本量 22oRGFRE因而 。22cosdI10又 ，sin,co,s2 FEGrn0,i,cos
19、 RRrcosinin sin,i,cs Rr 故 NMRL0,o2因而 )cs(22RdI法曲率 。kn15 解： ，xyzqyxzp2,2,xyztsr 2,02 ,01122qpqpL,242yxsM,24211qptN故渐进曲线方程为 。024124 dyxydxy6 见教材 77 页。7 见教材 86 页。8 见教材 158 页。9 解：由 可得出sin;icos;cosRRr0incos;si;csr由此得到曲线面的第一类基本量2oRE110rF2RG因而 22cosdI10 见教材 150 页。11解 （6 分）4)3sin(1lm)3sin(l323 xxxx12解 e(22y
20、（3 分）0)exxyyxy22故 （6 分）xye13 解： = - （ 4 分）xd2cos020sin1xdsin1= = （ 6 分）c4x14解 ， xP1)(1)(2Q用公式 （2 分）dee2dcxyx1)(lnln（6 分）xccx2424315.解：化为齐次式x1- 2x2+3x3=0,以 x3=0 代入得 x1- 2x2=0， x1=2x2 或 x2= 1 无穷远点坐标为(2，1， 0)16.解：由 yx74212得 6104xy解此方程，得不变点为 (,)1217.解：以(2，1， - 1)和(1， - 1，1)为基底，则(2，1， - 1)+ 1(1,- 1,1)相当于
21、(1，0，0) 20得 1=1又 (2，1， - 1)+ 2(1,- 1,1)相当于(1，5， - 5) 251得 2=- 3所求交比为 1218.解： = (1)将 x1- x 3=0, x2- x3=0 中的， 代入(1)得 x2313得 x2(x1+2x3)- x3(x1- x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程2019.解： 系数行列式 1230 A31= , A32= , A33=- ,5454254因此中心坐标 = - ,= - .1由 2X2+XY- 3Y2=0，即 (2X+3Y)(X- Y)=0.得 2X+3Y=0 X- Y=0. (1)将 X=x+ Y=y+ 代入 (1)1
22、5得 2x+3y+1=0 x- y=0即为所求的渐近线方程20解 将原方程分离变量 23dexy13两端积分得通解 3(1)exyc21解 因为 = T2AI10T13420= = 201414203所以 = = BAI)2(T14239322解 因为 001231210363281A一般解为： ， 其中 ， 是自由未知量 4321x3x4五 证明题1 证明：如果空间曲线的所有切线都经过一个定点，则此空间曲线是直线证明：设空间曲线方程为 )(,)(tzytxr切线方程为 t0 为任意值。)()()(00ZtYtX若空间曲线的所有切线都经过一个定点，则对任意的 t0，切线方程有公共解，易见该曲线
23、的曲率恒为 0，即 ，因而 ，由此 （常向量） ，积分得 r = at +b, b 也为常向量，这rkrar是直线参数方程。2 在曲面上一点，含 du , dv 的二次方程：022RdvQuPd确定两个切方向 和 ，证明这两个方向互相垂直的充要条件是：):():(0GDFER证明：设曲面方程为 则 是曲面 S 的第一类基本量。),(vur rvGruFrE,14若 与 互相垂直。vuvu rdrdr,) ):(du):(v则 易见 若0cos02GDFQER02GDFQER则 12222 vudvud 3 答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线。事实上，
24、设 ，则 的切向量为),1(:isTii dsura21记 jijijiji adDudaDsuad ,2, 21121 ,则曲线 的切向量 沿 平行移动 0,021a),()2,1(0,2kdsudsuidsajijikki为测地线4 见教材 38 页5 见教材 41 页6 见教材 93 页7 证明： 2222cossinkkkng 8 证明：u-曲线的方程为 由 得到 所以0dv0in1G0sin代入刘维尔公式得 i21cos2uGEvskg因此得到 u-曲线是测地线。9、解证 因为 ，TTTAA)()(所以 是对称矩阵。 T10、.证明：已知 F 为焦点，l，l 为由 F 所引的二共轭直
25、线，按其点定义，两迷向直线 FI，FJ 是二次曲线的切线.从而 (FI，FJ，l，l)= - 1，所以 ll1511. 证 因为 ， ，且1AB2BA（ ）= = =（ ）11212BA21BA所以 与 可交换. 2112证 因为 ， ，且1AB2BA（ ）= = =（ ）11212BA21BA所以 与 可交换. 21六 综合试题1 见教材 107 页2 给出曲面上一条曲率线 ，设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角。求证 是一条平面曲线.证 设 其中 s 是 的自然参数,记 ,则 ,两),(,:),(: vsuvr nrcos边求导,得 ,0dn由 为曲率线知 ,即 ,因此r/asr/ 0dsrksnr若 ,则 为平面曲线.0若 ,则因 为曲面 上的一条曲率线,故 .而 所以ndnnn,即 为常向量.于是 为平面曲线.d3 证明:F=0 是由于坐标网是正交的 .M=0 是由于它们共轭.4 见教材 124 页5 见教材 127 页6 见教材 153 页7 证明:已知 因而0rkr由此得到 (常向量 )a再积分即得 bs其中 b 也是常向量,这是一条直线的参数方程.8 见教材 43 页
