1、解决问题的“利器”数学思想方法唐岭中学 袁燕 陈孝荣数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁随着中考改革的深入，中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察初中阶段常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想、建模思想等一、数形结合思想就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略例 1.某数学研究所门前有一个边长为 4 米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中 准备在形如 Rt 的四个AEMNAEH全等三角形内种植红色花草，在形如
2、Rt 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正H方形 内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：MNPQ品种 红色花草 黄色花草 紫色花草价格（元/米 2） 60 80 120设 的长为 米，正方形 的面积为 平方米，买花草所需的费用为 元，解答AExEFGSW下列问题：（1） 与 之间的函数关系式为 ；S（2）求 与 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；W（3）当买花草所需的费用最低时，求 的长M分析：对于（1） ，运用勾股定理即可表示出 与 之间的函数关系；对于（2）利用利Sx用数量关系“单位面积单价面积=总价”得到 与 之间的函数关系式后，用配方法即W可得到 W 的最小值；对于（3）在
3、 Rt 中，利用勾股定理建立 的的方程即可求EH EM得 EM 长解：（1） 22(4)816.xx或（2） 60AEBEFGNMPQMNPQSS 正 方 形 正 方 形 正 方 形-)+20=60 =80224()8().xxx1680.x配方，得 当 时， 元10.W1W最 小 值（3）设 米，则 .在 Rt 中，EMa()Ha米 EH 222()13,a解得 19.2 图 1AB F C GDHQ PNM红 黄 紫E0,19.2a的长为 米EM点评：本题考查勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值的综合运用，本题构思巧妙，新颖独特，在我们非常熟悉的背景中，提出了与二次函数的问题，可谓匠心独
4、运, 涉及的数学思想有数形结合思想、配方法等数学思想方法二、分类讨论思想数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答例 2 如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A， B以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设 x（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？分析：第（1）问利用三角形两边之和大于第三边；第（2）问利用勾股定理列方程，但要分三种情况讨论；第（3）问先列出函数关系式，再求二次函数的最大
5、值即可解：（1）在ABC 中， ， ， ，解1ACxBxC3x31得 2x（2） 若 AC 为斜边，则 ，即 ，无解22)3(1x043x若 AB 为斜边，则 ，解得 ，满足 )(2x521若 BC 为斜边，则 ，解得 ，满足 或 213x3x354x（3）在ABC 中，作 于 D，设 ，ABC 的面积为 S，则 ABChCh21若点 D 在线段 AB 上，则 xhh22)3(1 ，即 21)( hx4312xhxCA B NM图 2CA B NM图 3D ，即 16249)1(2xhx 162482xhx （ ） 4S )3(当 时（满足 ） ， 取最大值 ，从而 S 取最大值 23x2x
6、S212若点 D 在线段 MA 上，则 xhx221)3(同理可得， 464S（ ） ，2)(x3x易知此时 S综合得， ABC 的最大面积为 2点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想分类要注意两点：（1）正确选择一个分类标准；（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏三、转化思想数学解题的过程实际就是转化的过程，换句话说，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解决例 3在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： 2ab，求方程（4 3）24x的解分析：本题先根据运算法则，转化为一元二次方程，再直接利用开平方法
7、解之解： 2ab ， 22(43)(3)7xxx 27 5x x点评：本题是一道新定义型的计算题，只要转化成常规的一元二次方程即可，本题既可用直接开平方法又可用因式分解法本题主要是考查学生对新定义运算的理解和阅读能力以及转化能力四、方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法例 4 2009 年 5 月 17 日至 21 日，甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示(1) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中，日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？(2) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日
8、这 5 天中，日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病例多少人？如果接下来的 5 天中，继续按这个平均数增加，那么到 5 月 26 日，日本甲型 H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？(3) 甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？CBADM N图 4如果按照这个传染速度，再经过 5 天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型 H1N1流感？累计确诊病例人数新增病例人数04 2196163 1932671775 67307416 17 18 19 2
9、0 21日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人)050100150200250300日期分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方程即可解：(1) 18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多，增加了 75 人；(2) 平均每天新增加 26745.人，继续按这个平均数增加，到 5 月 26 日可达52.65+267=530 人；(3) 设每天传染中平均一个人传染了 x 个人，则 1()9x， 2(1)9x，解得2x(x = -4 舍去 ) 再经过 5 天的传染后，这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为(1+2)7=2 187（或 1+2+6
10、+18+54+162+486+1 458=2 187） ，即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感 点评：本题是一道以社会热点为背景综合应用题，它综合了一元二次方程的根的概念、解法以及统计知识等重要知识，综合地考察学生的应用能力、分析和解决问题的能力五、归纳思想归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现，有新创新，但应注意，猜想的结论是否正确，必须经过严格的验证，才能辨别是非随着新课程的改革，这类探究猜想性问题也引起了大家
11、的高度重视例5某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点 )(kyxP， 处，其中 1x， y，当k2时，52)(1kyk， a表示非负实数 a的整数部分，例如2.6=2，0.2=0按此方案，第2009棵树种植点的坐标为 A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402）分析：考虑供选的答案中x、y均不同，因此可只计算一部分，但考虑到x的值都很小，故在计算时相差很小，不是很容易看出规律，因而计算y的值，代入求得 y1=y2=y3=y4=y5=1，y 6=y7=y10=2，由此猜测每5个y的值增加1，故y 2009=y2006=4
12、02，所以选D解：选D点评：对于一些看似比较复杂的选择题，可以通过结果去探索解题的思路，此外，在计算时，要学会挑比较简单、容易分辨的式子去计算六、整体思想在解题时，通过对题目结构的准确把握、跳出常规处理的圈子，从整体的角度来理解题目，这样可揭示出有关数量之间的本质关系，从而找到解题的突破口例 6阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的 两 根 为 x1， x2， 则 两 根 与 方 程系 数 之 间 有如下关系： x1+x2 ， x1x2 .根 据 该 材 料 填 空 ： 已 知 x1、 x2 是 方ba程 x2+6x+30 的两实数根，则 + 的值为 12分析：考查了根与系数的
13、关系，利用材料可得x 1+x2-6，x 1x2=3，再把所求的式子通分，然后利用 ，整体代入即可22111()xx解：因为 x1、 x2是方程 x2+6x+30的两实数根，所以可得x 1+x2-6，x 1x2=3，所以 =（-6） 2-6=30，所以 + = 10211212() 211230点评：这是一个模仿性的题目，利用所给的知识，把求的结论想法化为给出的东西，考查学生的运用知识解决实际问题的能力七、建模思想“方程、函数”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界诸如行程问题、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳力分配
14、等问题，都可以抽象成方程（组） 模型，通过布列方程来解决例 7某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？分析：对于（
15、1） ，利用数量关系“每台利润台数=总利润” ；对于（2） ，由“总利润=4800”建立一元二次方程即可；对于（3） ，利用顶点公式或配方法可求每天销售这种冰箱的最高利润解：（1）根据题意，得 ，(240)8450xy即 235yx（2）由题意，得 整理，得 243085x2300x解这个方程，得 要使百姓得到实惠，取 所以，每台冰箱120，应降价 200 元（3）对于 ，当 时，2435yx24150x150(240)82y最 大 值所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元点评：本题涉及的主要主要知识点有二次函数、一元二次方程等，运用二次函数解决实际问题的关键是建立的数学模型，而数学模型的关键是分析数量关系。本题涉及的数学思想和方法是配方法等
