数学练习-圆与垂径定理,等弧对等弦(圆心角)定理.doc

1、 数学练习 3-圆与垂径定理，等弧对等弦（圆心角）定理 2011 菁优网菁优网Http:/2010 箐优网一、填空题（共 8 小题）1、圆周上有 6 个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 _ 个2、点 M 是半径为 5 的O 内一点，且 OM=4，在过 M 所有 O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为 _ 3、在半径为 5 的 O 中，有两平行弦 ABCD，且 AB=6，CD=8，则弦 AC 的长为 _ 4、已知正方形内接于圆心角为 90，半径为 10 的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上） ，则这个正方形的边长为 _ 5、如图，AB 为O 的直径， CDAB 于点 E，交 O 于

2、点 D，OFAC 于点 F请写出一条与BC 有关的正确结论： _ 6、巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度 AB=492 米，拱桥最高点 C距水面 100 米，则该拱桥的半径是 _ 米7、如图是一条直径为 2 米的圆形污水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则此时污水的最大深度为 _ 米8、 （ 2004郑州）如图， A、B、C、D 是 O 上的四点，且 D 是弧 AB 的中点，CD 交 OB 于E，AOB=100，OBC=55，那么OEC= _ 度二、选择题（共 13 小题）9、 （ 2004南宁）中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么菁优网Http

3、:/2010 箐优网圆的面积增加了（ ）A、一倍 B、二倍C、三倍 D、四倍10、思考下列命题：（1 ）等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则顶角为 75 度；（2 ）两圆圆心距小于两圆半径之和，则两圆相交；（3 ）在反比例函数 y= 中，如果函数值 y1 时，那么自变量 x2；2（4 ）圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心；（5 ）三角形的重心是三条中线的交点，而且一定在这个三角形三角形的内部；其中正确命题的有几个（ ）A、1 B、2C、3 D、411、 （ 2003黑龙江）如图， O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一点，若 OP的长为整数，则满足条件

4、的点 P 有（ ）A、2 个 B、3 个C、4 个 D、5 个12、如图，两个以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点OH AB 于 H，则图中相等的线段共有（ ）A、1 组 B、2 组C、3 组 D、4 组13、如图，在O 中，C 为弦 AB 上一点，AC=2，BC=6，O 的半径为 5，则 OC=（ ）A、 B、413C、3 D、 2314、有下列结论：（1 ）平分弦的直径垂直于弦；（2 ）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3 ）等弧所对的圆周角相等；（4 ）经过三点一定可以作一个圆；（ 5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）等腰梯形一定有一个外接圆；（ 7）垂直于半

5、径的直线是圆的切菁优网Http:/2010 箐优网线其中正确的个数为（ ）A、1 个 B、2 个C、3 个 D、4 个15、下列命题中，不正确的是（ ）A、垂直平分弦的直线经过圆心 B、平分弦的直径一定垂直于弦C、平行弦所夹的两条弧相等 D、垂直于弦的直径必平分弦所对的弧16、 “两龙 ”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面 AB 宽为 10 米，净高 CD 为 7 米，则此隧道单心圆的半径 OA 是（ ）A、5 B、377C、 D、737517、 （ 2009福州）如图，弧 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P为弧 上任

6、意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ）A、15 B、20C、15+ D、15+52 5518、下列命题中为真命题的是（ ）A、有一个角是 40的两个等腰三角形相似 B、三点一定可以确定一个圆C、圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等 D、三角形的内心到三角形三边距离相等19、在同圆中同弦所对的圆周角（ ）A、相等 B、互补C、相等或互补 D、互余20、 （ 2008泰安）如图，在 O 中， AOB 的度数为 m，C 是弧 ACB 上一点，D、E 是弧 AB上不同的两点（不与 A、B 两点重合） ，则 D+E 的度数为（ ）菁优网Http:/2010 箐优网A、m B、1

7、802C、90+ D、2 221、下列语句中不正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧A、3 个 B、2 个C、1 个 D、4 个三、解答填空题（共 6 小题）22、已知：如图，在ABC 中，ACB=90， B=25，以 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB于 D，则 = _ 度23、如图，在平面直角坐标系中，D 与坐标轴分别相交于 A（ ，0） ，B（ ，0） ，3 3C（ 0，3）三点（1 ） D 的半径是 _ ；（2 ） E 为优弧 AB 一动点（不与 A，B，C 三点重合） ，ENx 轴于点

8、N，M 为半径 DE 的中点，连接 MN，求证 DMN=3MNE；（3 ）在（2 ）的条件下，当DMN=45 时，E 点的坐标是 _ 24、已知等腰 ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上，如果底边 BC 的长为 8，则 BC 边上菁优网Http:/2010 箐优网的高 _ 25、 （ 2005内江）如图所示，O 半径为 2，弦 BD=2 ，A 为弧 BD 的中点，E 为弦 AC 的3中点，且在 BD 上，则四边形 ABCD 的面积为 _ 26、 ABC 中，A= B， O 与 OA 交于点 C，与 OB 交于点 D，与 AB 将于点 E、F（1 ）则 _ ； （2 ）则图中相等的线段（

9、不要求证明）有 _ 对27、如图，半径为 2 的半圆 O 中有两条相等的弦 AC 与 BD 相交于点 P（1 ）求证：PO AB；（2 ）若 BC=1，则 PO 的长是 _ 四、解答题（共 3 小题）28、 （ 2010长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，求直尺的宽29、 （ 2008镇江）如图， AB 为O 直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H（1 ） OCD 的平分线 CE 交O 于 E，连接 OE求证：E 为 的中点；（2 ）如果O 的半径为 1，CD= 3求

10、O 到弦 AC 的距离；菁优网Http:/2010 箐优网填空：此时圆周上存在 _ 个点到直线 AC 的距离为 1230、 （ 2010潍坊）如图， AB 是O 的直径，C、D 是 O 上的两点，且 AC=CD（1 ）求证：OCBD；（2 ）若 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形 OBDC 的形状菁优网Http:/2010 箐优网答案与评分标准一、填空题（共 8 小题）1、圆周上有 6 个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 15 个考点：圆的认识。分析：要求最多的交点数，即任意两条线段都有一个交点解答：解：1+2+3+4+5=15点评：求交点的最

11、多数，即让每两条直线都产生交点，且每两个交点不重合2、点 M 是半径为 5 的O 内一点，且 OM=4，在过 M 所有 O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为 8 考点：垂径定理。分析：先求出过 M 所有 O 的弦的取值范围，再取整数解解答：解：过点 M 作 ABOM 于 M，连接 OA，因为 M=4，半径为 5，所以 AM= =3，所以 AB=32=6，5242所以过点 M 的最长弦为 52=10，最短弦为 6，在 6 和 10 之间的整数有 7，8，9，由于左右对称，弦的条数有 6 条，加上 AB 和 OM，共 8 条点评：此题首先进行精确计算，求出 AB 和 OM 的长，然后进行逻辑推理，推

12、断出符合要求的线段的条数，有一定的开放性3、在半径为 5 的 O 中，有两平行弦 ABCD，且 AB=6，CD=8，则弦 AC 的长为 或252考点：垂径定理；勾股定理。分析：先求出两弦心距，再分两种情况利用勾股定理求解解答：解：利用垂径定理和勾股定理可知：OE=3，OF=4 ，如图，43=1， （86 ）2=1，AC= = ；12+122如图，4+3=7， （86 ）2=1，AC= =5 72+12 2因此，弦 AC 的长为 或 5 2 2菁优网Http:/2010 箐优网点评：本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用4、已知正方形内接于圆心角为 90，半径为 10 的扇形（即正方形的各顶点都

13、在扇形上） ，则这个正方形的边长为 5 或 2 2 10考点：垂径定理；勾股定理；正方形的性质。专题：分类讨论。分析：根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论解答：解：如图 1 所示：连接 OD，设正方形 OCDE 的边长为 x，则在 RtOCD 中，OD2=OC2+CD2，即 102=x2+x2，解得 x=5 ；2如图 2 所示，过 O 作 OGDE，交 CF 于点 H，连接 OD，设 FH=x，四边形 CDEF 是正方形，OHCF，FH=CH=x，AOC=90，CH=OH，OG=3x，在 RtODG 中，OD2=GD2+OG2，即 102=x2+（3x） 2，解得 x

14、= ，10CF=2x=2 10故答案为：5 或 2 2 10点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答菁优网Http:/2010 箐优网5、如图，AB 为O 的直径， CDAB 于点 E，交 O 于点 D，OFAC 于点 F请写出一条与BC 有关的正确结论： BC=BD 或 OFBC 或 BCEOAF 或 BC2=BEAB 或 BC2=CE2+BE2 或ABC 是直角三角形（答案不唯一） 考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：开放型。分析：由 AB 为O 的直径，CD AB 于点 E 可得出 B

15、C=BD；由 AB 是O 的直径可知ACB=90，故ABC 是直角三角形；根据 OEAC 可知，OFBC；由相似三角形的判定定理可得出，BCEOAF，BC 2=BEAB；由 BCE 是直角三角形可知 BC2=CE2+BE2解答：解：AB 为O 的直径，CD AB 于点 E，BC=BD；AB 是O 的直径，ACB=90，ABC 是直角三角形；OEAC，OFBC；OFBC，BCEOAF， BC2=BEAB；BCE 是直角三角形，BC2=CE2+BE2故答案为：BC=BD 或 OFBC，或 BCEOAF 或 BC2=BEAB 或 BC2=CE2+BE2 或ABC 是直角三角形（答案不唯一） 点评：本

16、题考查的是垂径定理、勾股定理、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，本题属开放型题目，答案不唯一6、巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度 AB=492 米，拱桥最高点 C距水面 100 米，则该拱桥的半径是 352.58 米考点：垂径定理的应用；勾股定理。分析：作 OCAB，构造直角三角形并根据垂径定理和勾股定理求解解答：解：如图，点 O 是拱桥所在的圆的圆心，菁优网Http:/2010 箐优网作 OCAB 交圆于点 C，则由垂径定理知，点 D 是 AB 的中点，AD=DB= AB=246，OD=OC CD=AODC，12由勾股定理知，AO 2=AD2+OD2=AD2+（OCDC

17、 ） 2=2462+（AO100） 2，解得，AO=352.58m故答案为 352.58点评：本题利考查了勾股定理的应用的知识，用了垂径定理和勾股定理求解建立数学模型是关键7、如图是一条直径为 2 米的圆形污水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则此时污水的最大深度为 0.4 米考点：垂径定理的应用。专题：探究型。分析：先连接 OA，过 O 作 OCAB 于点 D，由垂径定理可知 AD= AB，再在 RtOAD 中利12用勾股定理可求出 OD 的长，再根据 CD=OCOD 即可得出结论解答：解：如图所示：连接 OA，过 O 作 OCAB 于点 D，OCAB，AB=1.6 米AD= AB= 1.6

18、=0.8 米，12 12圆形污水管道的直径为 2 米，OA=OC=1 米，在 RtOAD 中，OD= = =0.6（米） ，22120.82菁优网Http:/2010 箐优网CD=OCOD=10.6=0.4（米） 故答案为：0.4点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8、 （ 2004郑州）如图， A、B、C、D 是 O 上的四点，且 D 是弧 AB 的中点，CD 交 OB 于E，AOB=100，OBC=55，那么OEC= 80 度考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理；圆周角定理。分析：根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得BCD

19、=1004=25 再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得OEC=55+25=80解答：解：D 是弧 AB 的中点BCD=1004=25OEC=55+25=80点评：综合运用了圆周角定理以及三角形的内角和定理的推论二、选择题（共 13 小题）9、 （ 2004南宁）中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ）A、一倍 B、二倍C、三倍 D、四倍考点：圆的认识。专题：计算题。分析：根据圆的半径的计算公式即可解决解答：解：设圆的原来的半径是 R，增加 1 倍，半径即是 2R，则增加的面积是 4R2R2=3R2，即增加了 3 倍故选 C点评：能

20、够根据圆面积公式计算增加后的面积10、思考下列命题：（1 ）等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则顶角为 75 度；（2 ）两圆圆心距小于两圆半径之和，则两圆相交；（3 ）在反比例函数 y= 中，如果函数值 y1 时，那么自变量 x2；2菁优网Http:/2010 箐优网（4 ）圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心；（5 ）三角形的重心是三条中线的交点，而且一定在这个三角形三角形的内部；其中正确命题的有几个（ ）A、1 B、2C、3 D、4考点：圆的认识；反比例函数的定义；三角形的重心；等腰三角形的性质；垂径定理；圆与圆的位置关系。分析：依据等腰三角形的性质，两圆的位置关系的确定，反

21、比例函数的性质，圆的性质即可判定解答：解：（1）等腰三角形的顶角一个是 150或 30，故错误；（2 ）两圆有可能是内含，故错误；（3 ）是不对的，y 是负数时不成立，故错误；（4 ）和（5 ）是正确的故选 B点评：本题考查的内容比较广，基础知识要比较扎实才能准确解答11、 （ 2003黑龙江）如图， O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一点，若 OP的长为整数，则满足条件的点 P 有（ ）A、2 个 B、3 个C、4 个 D、5 个考点：垂径定理；勾股定理。分析：如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，当 OPAB 时 OP 有最小值，连接 OA，过

22、O 作 ODAB，根据垂径定理和勾股定理即可求出 OD 为 3，所以得到当 OPAB 时 P 的最小值为 3，当 OP 与 OA 重合时 P 最大为 5，这样就可以判定 P在 AD 之间和在 BD 之间的整数点，然后即可得到结论解答：解：如图，连接 OA，过 O 作 ODAB 于 D，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，当 OPAB 时 OP 有最小值，则 AD= AB=4cm，12由勾股定理得 OD= = =3cm，225242当 OPAB 时 OP 的最小值为 3，菁优网Http:/2010 箐优网当 OP 与 OA 重合时 P 最大为 5，P 在 AD 中间有 3，4，5 三个

23、整数点，在 BD 之间有 4，5 ，两个整数点，故 P 在 AB 上有 5 个整数点故选 D点评：此题属简单题目，涉及到垂径定理及勾股定理的运用，要求学生仔细阅读题目，充分理解题意，细心解答12、如图，两个以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点OH AB 于 H，则图中相等的线段共有（ ）A、1 组 B、2 组C、3 组 D、4 组考点：垂径定理。分析：根据垂径定理求解解答：解：由垂径定理知，点 H 是 AB 的中点，也是 CD 的中点，则有 CH=HD，AH=HB ，所以 AD=BC，AC=BD所以共有 4 组相等的线段故选 D点评：本题利用了垂径定理：垂直与弦的直径

24、平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧13、如图，在O 中，C 为弦 AB 上一点，AC=2，BC=6，O 的半径为 5，则 OC=（ ）A、 B、413C、3 D、 23考点：垂径定理；勾股定理。分析：根据相交弦定理列方程求解解答：解：设 OC=x，利用圆内相交弦定理可得：26=（5 x） （5+x）解得 x= 13故选 A点评：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等14、有下列结论：（1 ）平分弦的直径垂直于弦；（2 ）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3 ）等弧所对的圆周角相等；（4 ）经过三点一定可以作一个圆；（ 5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）等腰梯形一定有一个外接

25、圆；（ 7）垂直于半径的直线是圆的切菁优网Http:/2010 箐优网线其中正确的个数为（ ）A、1 个 B、2 个C、3 个 D、4 个考点：垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；切线的判定。分析：此题涉及知识点较多，根据相关知识逐一判断解答：解：（1）错误，应强调这条弦不是直径；（2 ）错误，应强调在同圆或等圆中；（3 ）正确；（4 ）错误，应是不在同一直线的三点才能作一个圆；（5 ）错误，三角形的外心到三个顶点的距离相等；（6 ）正确；（7 ）错误，应强调经过半径的外端所以共有 2 个正确故选 B点评：本题考查了对垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，切线的概念的理解15、下列命题中，不正确

26、的是（ ）A、垂直平分弦的直线经过圆心 B、平分弦的直径一定垂直于弦C、平行弦所夹的两条弧相等 D、垂直于弦的直径必平分弦所对的弧考点：垂径定理。专题：推理填空题。分析：根据垂径定理及其推论即可判定 B 错误，A、D 正确，根据圆周角定理的推论可知 C正确解答：解：A、根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本答案正确B、直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分飞弦不能是直径；故本答案错误C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确D、根据垂径定理可知，垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；故本选项正确故选 B点评：本题考查了垂径定理及

27、圆周角定理，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，经过圆心，垂直于弦， 平分弦（弦不是直径） ，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个16、 “两龙 ”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面 AB 宽为 10 米，净高 CD 为 7 米，则此隧道单心圆的半径 OA 是（ ）A、5 B、377菁优网Http:/2010 箐优网C、 D、7375考点：垂径定理的应用；勾股定理。专题：计算题。分析：根据垂径定理和勾股定理可得解答：解：CD AB，由垂径定理得 AD=5 米，设圆的半径为 r，则结合勾股定理得

28、 OD2+AD2=OA2，即（7r） 2+52=r2，解得 r= 米377故选 B点评：考查了垂径定理、勾股定理特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算17、 （ 2009福州）如图，弧 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P为弧 上任意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ）A、15 B、20C、15+ D、15+52 55考点：圆心角、弧、弦的关系；勾股定理。分析：因为 P 在半径为 5 的圆周上，若使四边形周长最大，只要 AP 最长即可（因为其余三边长为定值 5） 解答：解：当 P 的运动到 D 点时，AP 最长为

29、 5 ，所以周长为 53+5 =15+5 2 2 2故选 C点评：本题考查的是勾股定理和最值本题容易出现错误的地方是对点 P 的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值18、下列命题中为真命题的是（ ）A、有一个角是 40的两个等腰三角形相似 B、三点一定可以确定一个圆C、圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等 D、三角形的内心到三角形三边距离相等菁优网Http:/2010 箐优网考点：圆心角、弧、弦的关系。分析：A、不知道 40的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断解答：解：当一个等腰三角形的顶角等于

30、 40而另一个等腰三角形的底角是 40，则这两个三角形不相似，所以 A 错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以 B 错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以 C 错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以 D 对故选 D点评：有两个角对应相等的三角形相似记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等19、在同圆中同弦所对的圆周角（ ）A、相等 B、互补C、相等或互补 D、互余考点：圆心角、弧、弦的关系。分析：已知在同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补解答：解：易知，当圆周角

31、在同弦的一侧时，均等于圆心角的一半，即相等；当在两侧时，两角之和为 180即同圆中同弦所对的圆周角相等或互补；故选 C点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半20、 （ 2008泰安）如图，在 O 中， AOB 的度数为 m，C 是弧 ACB 上一点，D、E 是弧 AB上不同的两点（不与 A、B 两点重合） ，则 D+E 的度数为（ ）A、m B、1802C、90+ D、2 2菁优网Http:/2010 箐优网考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理。专题：计算题。分析：根据圆心角与弧的关系及圆周角定理不难求得D+ E 的度数解答

32、：解：AOB 的度数为 m，弧 AB 的度数为 m，弧 ACB 的度数为 360m，D+E=（360 m）2=180 2故选 B点评：本题利用了一个周角是 360和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半21、下列语句中不正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧A、3 个 B、2 个C、1 个 D、4 个考点：圆心角、弧、弦的关系；圆的认识。分析：和、没有前提； 、注意不是直径的弦；、注意对称轴是直线解答：解：和、错误，应强调在同圆或等圆中；、错误，应强调不

33、是直径的弦；、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴故选 D点评：在叙述命题时注意要强调命题成立的条件三、解答填空题（共 6 小题）22、已知：如图，在ABC 中，ACB=90， B=25，以 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB于 D，则 = 50 度考点：圆的认识；等腰三角形的性质。分析：首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到A=90B=65再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到ACD 的度数，进一步得到其所对的弧的度数解答：解：在ABC 中，ACB=90 ， B=25A=90B=65 度CA=CDCDA=CAD=65菁优网Http:/2010 箐优网ACD=50即弧 AD 的度数是

34、 50 度点评：知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算23、如图，在平面直角坐标系中，D 与坐标轴分别相交于 A（ ，0） ，B（ ，0） ，3 3C（ 0，3）三点（1 ） D 的半径是 2 ；（2 ） E 为优弧 AB 一动点（不与 A，B，C 三点重合） ，ENx 轴于点 N，M 为半径 DE 的中点，连接 MN，求证 DMN=3MNE；（3 ）在（2 ）的条件下，当DMN=45 时，E 点的坐标是 （1， +1） 3考点：垂径定理；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理。专题：综合题。

35、分析：（1）由于 A、B 关于 y 轴对称，由垂径定理知圆心 D 必在 y 轴上，可连接 AD，在RtOAD 中，用半径表示出 OD、AD 的长，然后利用勾股定理求半径的长（2 ）过 D 作 EN 的垂线，设垂足为 H，易证得四边形 DHBO 是矩形，则 BH=OD=1；连接MH，在 RtEDH 中，MH 是斜边 DE 上的中线，则 MH=ME=DM=1，由此可知E=MHE=2B；由于 DMN 是MEB 的外角，根据三角形外角的性质即可得出本题所求的结论；（3 ）根据（2 ）的结论，易求得E=30 ，在 RtDEH 中，根据 D 的半径及 E 的度数，即可求出 DH、EH 的长，也就得出了 E

36、 点的坐标解答：解：（1）由于 OA=OB= ，且 ODAB，根据垂径定理知圆心 D 必在 y 轴上；3连接 AD，设D 的半径为 R，则 AD=R，OD=3 R；RtADO 中，根据垂径定理得：AD2=AO2+OD2，即 R2=3+（3R） 2，解得 R=2；即 D 的半径为 2；（2 ）过 D 作 DHEN 于 H，连接 MH；易知四边形 DHNO 是矩形，则 HN=OD=1；RtDHE 中，MH 是斜边 DE 的中线，DM=ME=MH= DE=1；12菁优网Http:/2010 箐优网MEH、MHN 是等腰三角形，即 MEH=MHE=2MNE；DMH=E+MNE，故DMH=3 MNE；（

37、3 ） DMN=45，MNE=15，E=30；RtDHE 中，DE=2，E=30；DH=1，EH= ；3EN=EH+HN= +1；3故 E（1， +1） 3点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质、三角形的外角性质、等边对等角等知识，（2 ）是本题的一个难点，能够正确的构建出与所求相关的两个等腰三角形是解题的关键24、已知等腰 ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上，如果底边 BC 的长为 8，则 BC 边上的高 8 或 2 考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理。分析：从圆心向 BC 引垂线，交点为 D，则根据垂径定理和勾股定理可求出， OD 的长，再根据圆心在三角形内部和外部两

38、种情况讨论解答：解：从圆心向 BC 引垂线，交点为 D根据垂径定理得：BD=4，根据勾股定理得 OD=3圆心在三角形内部时，三角形底边 BC 上的高=5+3=8；圆心在三角形外部时，三角形底边 BC 上的高=53=2所以 BC 边上的高是 8 或 2点评：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论25、 （ 2005内江）如图所示，O 半径为 2，弦 BD=2 ，A 为弧 BD 的中点，E 为弦 AC 的3中点，且在 BD 上，则四边形 ABCD 的面积为 2 3菁优网Http:/2010 箐优网考点：圆心角、弧、弦的关系；勾股定理。分析：由 A

39、是弧 BD 的中点，根据垂径定理，可知 OFBD，且 BF=DF= BD= ，在 Rt12 3BOF 中，利用勾股定理，可求出 OF=1，即 AF=1，那么，S ABD= BDAF= ，而 E 是 AC12 3中点，会出现等底同高的三角形，因而有 S 四边形 =2SABD=2 3解答：解：连接 OA 交 BD 于点 F，连接 OB，OA 在直径上且点 A 是 BD 中点OABD，BF=DF= 3在 RtBOF 中由勾股定理得 OF2=OB2BF2OF= =122（ 3） 2OA=2AF=1SABD= =2312 3点 E 是 AC 中点AE=CE又ADE 和CDE 同高SCDE=SADE同理

40、SCBE=SABESBCD=SCDE+SCBE=SADE+SABE=SABD= 3S 四边形 ABCD=SABD+SBCD=2 3菁优网Http:/2010 箐优网点评：本题利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同高的三角形面积相等等知识26、 ABC 中，A= B， O 与 OA 交于点 C，与 OB 交于点 D，与 AB 将于点 E、F（1 ）则 = ； （2 ）则图中相等的线段（不要求证明）有 5 对考点：圆心角、弧、弦的关系。分析：（1）证 = ，可证它们所对的圆心角相等；连接 OE、OF，易知OEF= OFE；而A=B ，根据三角形的外角性质即可证得COE= DOF，由此得证；（2 ）很

41、明显的相等线段有：OA=OB （等角对等边） ，OC=OD，AC=AD；易证得OAE OBF，得 AE=BF，进一步可得出 AF=BE解答：证明：（1）连接 OE、OF ，则 OE=OF；OEF=OFE（1 分）A=B，AOE=BOF（3 分） = （4 分）解：（2）写出图中所有相等的线段： OA=OB，OC=OD，AC=BD，AE=BF，AF=BF （8 分）点评：此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形外角的性质以及全等三角形的判定和性质27、如图，半径为 2 的半圆 O 中有两条相等的弦 AC 与 BD 相交于点 P（1 ）求证：PO AB；（2 ）若 BC=1，则 PO 的长是 2

42、1515考点：圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质。分析：（1）连接 AD因为 AB 是直径，所以ABC、ABD 为直角三角形根据“HL” 判断它们全等，得BAC= ABD，从而 PA=PB根据等腰三角形性质得证；（2 ）易证AOP ACB，运用相似三角形对应边成比例求解菁优网Http:/2010 箐优网解答：（1）证明：连接 ADAB 是直径，ACB=ADB=90AC=BD，AB=BA，ABCABDBAC=ABD，从而 PA=PBO 是 AB 中点，POAB；（4 分）（2 ）解：AOP=ACB=90， OAP=CAB，AOPACB （2 分） =AB=4， BC=1，AC= = 4

43、21215OP= = （2 分）21521515点评：此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，难度偏上四、解答题（共 3 小题）28、 （ 2010长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，求直尺的宽考点：垂径定理的应用；勾股定理。分析：过点 O 作 OMDE 于点 M，连接 OD根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ”和勾股定理进行计算解答：解：过点 O 作 OMDE 于点 M，连接 OD菁优网Http:/

44、2010 箐优网DM= 12DE=8，DM=4在 RtODM 中，OD=OC=5，OM= = =3225242直尺的宽度为 3cm点评：综合运用了垂径定理和勾股定理29、 （ 2008镇江）如图， AB 为O 直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H（1 ） OCD 的平分线 CE 交O 于 E，连接 OE求证：E 为 的中点；（2 ）如果O 的半径为 1，CD= 3求 O 到弦 AC 的距离；填空：此时圆周上存在个点到直线 AC 的距离为 12考点：圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；特殊角的三角函数值。专题：综合题。分析：（1）要求证：E 为 的中点，即要证明 CDAB，根据垂径定理就可以；

45、（2 ）根据垂径定理，CH= CD= ，在直角 OCH 中，根据勾股定理就可以求出求 O 到弦12 32AC 的距离 OH 的长度解答：证明：（1） OC=OEE=OCE（1 分）又OCE=DCEE=DCEOECD（2 分）又 CDAB菁优网Http:/2010 箐优网AOE=BOE=90E 为 的中点；（ 3 分）（2 ） CDAB，AB 为 O 的直径，CD= 3CH= CD= （4 分）12 32又 OC=1sinCOB=321=32COB=60（5 分）BAC=30作 OPAC 于 P，则 OP= OA= ；（6 分）12 12填空：3 （7 分）点评：本题主要考查了垂径定理，可以把求弦长，弦心距的问题转化为解直角三角形的问题30、 （ 2010潍坊）如图， AB 是O 的直径，C、D 是 O 上的两点，且 AC=CD（1 ）求证：OCBD；（