1、1埃及分数人教版小学数学五年级下期第 112 页的“你知道吗？”谈到了古埃及用特殊符号表示分子为 1 的分数，后来人们就把分子为 1 的分数称为埃及分数。分子为 1 的分数，是分母与它相同的分数的单位，即单位分数，所以，埃及分数就是单位分数。与所有整数的单位都是 1 相比，分数单位随着分母的不同而不同，已经够特殊了，而 1 个单位分数竟然还可以表示成几个不同单位分数的和，甚至还有多种不同的表示方法，更是叫人倍感兴趣。如， ， ， ， ， 167421682469186015621836，下面就来研究一下，怎样把一个单位分数表示成几个不同单位分数的和。首先，从把一个单位分数 ，表示成两个不同单位
2、分数的和开始。n1方法一：用公式： )1(如，把 和 分别表示成两个不同单位分数的和。418 ， 。熟练以)(512081)(89172后，可以直接写出结果： ， 。63972方法二：取 n 的两个约数 a、b，让 cab，给 的分子、分母分别乘上nab 和 c， 。把 改写成两个分数的和， 。约分，1acn1canb就得到 ，其中，pcn，qcnb。n如，把 表示成两个不同单位分数的和。10取 10 的两个约数 2、5，257， 。0752035142方法三：因为单位分数的分母越小，分数值就越大；相反，单位分数的分母越大，分数值就越小。所以，如果一个单位分数 能拆成两个单位分数的和，n1那么
3、这两个单位分数的分母肯定都大于 n，否则，只要有一个单位分数的分母不大于 n，这两个单位分数的和就大于 。设：这两个单位分数的分母分别是 n、nb，其中 、b 都是等于或大于 1 的自然数，并且 b。于是， 。通分： 1a1n1 。等式两边同时乘 n(na)(nb)，得，(n)(bna)(bna(nb)n(n)(nb)。化简后得，n 2anbnab2n 2anbn，于是 bn 2。这样，根据 n 就能确定 、b。如，当 n4 时，ab4 216。(1)16116，取 1，b16，得， ；4116520(2)1628，取 2，b8，得， 。28方法四：上面已经分析过，把一个单位分数表示成两个单位
4、分数的和时，这两个单位分数的分母肯定都大于 n，但是，因为 ，所以，这两n1个单位分数的分母又不能都大于 2n, 否则，这两个单位分数的和就会小于 。n1因此，一定有一个单位分数的分母大于 n 而小于 2n，于是可以用枚举的方法逐一进行实验。如，当 n8 时，一个单位分数的分母可以取9、10、11、12、13、14、15，得到：(1) ( ) ；191972(2) ( ) ；80041(3) ( ) ， 不是单位分数，舍去；183(4) ( ) ；213(5) ( ) ， 不是单位分数，舍去；183130451(6) ( ) ， 不是单位分数，舍去；46(7) ( ) ， 不是单位分数，舍去。
5、5527最后得到 3 个解。上面四种方法，虽然有的比较简单，有的比较复杂，但是，各有各的思路、特色、思考价值和取向，不能以简繁定优劣。反复使用这些方法，经过多次把一个单位分数“一分为二” ，就可以把一个单位分数表示成任意多个不同单位分数的和。如， 21364126512061根据班级的实际情况，给学生适当介绍一些上面的知识，不仅可以扩展学生的知识面，提高学习兴趣，还可以借机综合应用一下前面学过的约数概念、分数概念、分数性质、约分、通分和分数加减法，一举多得，何乐而不为。埃及分数，在学习和研究分数运算方法时具有非常重要的作用，并且，许多趣味数学题目也都与埃及分数有关，其中最常见的是“把 1 表示
6、成几个不同单位分数的和” 。把 1 表示成几个不同单位分数的和，有许多不同的方法：方法一：从 1 开始，把其中的一个 变成两个不同单位分数的和，22再把改变后的一个单位分数“一分为二” ，反复进行下去，最终使结果达到要求。如，把 1 表示成 4 个不同单位分数的和。1 ( ) ( ) 。2362132164214612方法二：从 11 开始，减去、加上同一个单位分数，再减去、加上同一个单位分数然后用前文（“埃及分数” ）中的公式 ，n1)(n把它变成 ，进行化简。n1)1(n4如，把 1 表示成 4 个不同单位分数的和。11 (1 )( )( ) 231412314 。66方法三：运用“完全数
7、”的特性(参看拙文“完全数”)。如，把 1 表示成 5 个不同单位分数的和。1 。247281方法四：灵活地、综合地运用上面这些方法。如，把 1 表示成 5 个不同单位分数的和。从 1 开始，把 1 个 变成 ，把另一个 变成 ，得到223612141 ；再留下 1 个 ，把另一个 变成 ，于是 1 36444503 。50等到学了分数乘法以后，还可以根据 1，用 去乘23626一个单位分数，把这个单位分数“一分为三” 。如，把 1 表示成 4 个不同单位分数的和。从 1 开始，用 去乘两个 中的一个：2213621 ( ) 。3641把 1 表示成几个不同单位分数的和，是一类难度不大而饶有兴味的题目。适当地让学生接触一些这类题目，对于活跃学生的思维，提高学习兴趣，熟练分数的基本计算，都是大有好处的。
