1、二、特殊的环1、交换环定义 2:如果环(G,+,)的乘法满足交换律,则称(G,+,)是交换环。在交换环中有a,b G,(a,b)n=anbn整数环(Z,+, )是交换环,Q 是有理数集合,则(Q,+,)也是交换环,(Mn(R),+,)不是交换环。2、消去环定义 3:设(G,+,)是环,设 a,bG,如果 a0,b0,但 ab=0,则 a 是环 G 中的左零因子,b 是环 G 中的右零因子,如果一个元素 a G,既是左零因子又是右零因子,则称它是一个零因子,如果 G 中没有零因子,称此环为没有零因子的环。例如:M 2 (R)中 412A631BA0,B0, 0A 是左零因子,B 是右零因子,可以
2、证明,A、B 均是零因子,因此M2(R)不是没有零因子的环。Z6=|0|,|1|,|5|中|3|4|=12(mod6)=|0|,所以|3|,|4|均是零因子。结论:G 中没有零因子,当且仅当在 G 中消去律成立。证明:如果 a0,ab=ac,则 ab-ac=0,a(b-c)=0因 a0 且 G 是无零因子,所以 b-c=0,b=c,消去律成立。消去环:没有零因子的环又称消去环。3、整环定义 4:设(G,+,)是环,且满足(1)是交换环；(2)G 中对乘法存在单元 1,即1G,有1a=a, a1=a；(3)G 中没有零因子 ,即a,bG,a0,b 0,则 ab0,则称环(G,+,)为整环。例:整
3、数环 (G,+,)是整环,整环中满足消去律,即a,b,cG,如 a0,ab=ac,则 b=c4、除环定义 5:设(G,+,)是环,且满足(1)G 中至少有一个是非零元；(2)G 中对乘法而言存在单位元；(3)G 中每个非零元对乘法而言有逆元；即a G,a0,有 a -1G,使得 aa -1=1, a -1a=1,则称 G 为除环。如:(Q,+,)是除环,单位元为 1,每个非零有理数的逆元为倒数。例:(Z 7,+,)是除环,其中零元是0,单位元是1, 因 24=8mod7=135=15mod7=166=36mod7=1 所以,2,4互为逆元,3,5互为逆元,6的逆元是自身 ,而(Z 6,+,)不
4、是除环,2,4不存在逆元 ,除环必存在消去律,因而必是消去环,因而无零因子。这是因为若 a0,若 ab=ac,则 a -1ab= a -1ac,即b=c。5、子环:定义 6:(G,+,)是环,G 的子集 H 对运算+,也是环 ,称(H,+, )是(G,+,)的子环。例如:整数环 (Z,+,)是有理数环(Q,+,)的子环。三、域域就是交换除环。定义 7:设(S,+,)是代数系数,如满足(1)(S,+)是交换律；(2)(S-0,)是交换群；(3)运算对+是可分配的。则称(S,+,) 是域。例如:有理数集 Q,实数集 R,复数集 C,对数的加法和乘法均构成域,但整数集 Z 不是域。结论:有限整环一定
5、是域。证明:设 D 是有限整环,令 D=0,e,a3,an,其中 0 是零元,e 是单位元。cD,c0,设E=c0,ce,ca3,can=0,c,ca3,can由运算的封闭性 ED,又因 D 存在消去律,所以 caicaj(i j), 否则 ai=aj,因此,E 也是 n 个元素所以 D=E,则必有 ak 使得 cak=e,所以 c 存在逆元 ,所以,D 是域。例:(Z 7,+,)是域,(Z 6,+,)不是域。对一切 n,如 n 是质数则(Z n,+,)是域；如 n 不是质数则(Z n,+,)不是域。所以(Z 2,+,)是域。四、同态和同构定义 8:设(G,+,)和(S,)是两个环,f 是 G
6、 到 S 的映射,且满足a,bG,f(a+b)=f(a) f(b)f(a+b)=f(a) f(b),则称为环(G,+,) 到(S, ,) 的同态映射。如果 f 是满射,则称为满同态；如果 f 是单射,则称为单同态；如果 f 是双射 ,则称为 f 同构双射,且称(G,+,)和(S,+,)是环同构,记作 GS。例 7:设 A=a,P(A)=,A,求证(P, )与(Z 2,+,)是同构的。证明:令 :f:P(A) Z2,其中f()=0,f(A)=1f()=f()=0=0+0= f()+ f()f(A)=f(A)=1=0+1= f()+ f(A)f(AA)=f()=0=1+1= f(A)+ f(A)f
7、()=f()=0=00= f() f()f(A)=f()=0=01= f() f(A)f(AA)=f(A)=1=11= f(A) f(A)f 是 P(A)到 Z2 的同构映射,P(A) Z 2例:设 A=a0,a1,a2,a3,P(A)是 A 的幂集,P(A)=24=16由 P、Q 两个命题符号组成的极小项共有 4 个:m0,m1,m2,m3,S表示由 P、Q 组成的主析取范式的全体|S|=2 4=16。f:P(A) S,例如 f(a0,a1,a3)=m4m1m3,则(P(A),)与 (S,)是同构的。例如:B 1=a1,a2,B2=a2,a3f(B1 B2)=f( a1,a2,a3)=m1m
8、2m3f(B1)( B 2)=(m1m2)(m2m3)=m1m2 m3f(B 1 B2)=f(B1)( B 2)f(B1 B 2)=f(a2)=m2f(B1)f( B 2)=(m1m2)(m2m3)=m2f(B 1)f( B 2)= f(B1 B 2)f 是(P(A), ,) 到(S, ,)的同构映射,但这两个代数系统均不是环,因不存在负元。8.2 格与布尔代数一、格的概念1、偏序格定义 9:设(L,) 是一个偏序集,如a,bL,L 的子集a,b存在一个最大下界(记作 infa,b)和存在一个最小上界(记作 supa,b)则称(L,)是一个偏序格。任意一个全序集均是格。因全序集(A,), a,bA,ab 或 ba,两者必居其一 ,不妨设 ab,则 infa,b=a,supa,b=b。但不是所有的偏序集均是偏序格。例:(a) (b) (c) (d)(f) (g)a b(h)a bc d(i)例 1:设 S 是一集合,P(S)是 S 的幂集,则(P(S),)是一个偏序集,A,BP(S),易证明,inf(A,B)=A BP(S),sup(A,B)=ABP(S),(P(S),)是一个偏序集。aS=a的 P(A)a,ba bS=a,b的 P(A)a,b,c b,ccaa,bba,cS=a,b的 P(A)
