1、行测数学运算难点击破之“ 同余与剩余“Tag: 行测数学运算 2011-03-25 来源：江苏公务员资讯网 字号： T | T | T 我要提问 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。被除数(a) 除数(b)= 商(c)余数(d)，其中 a、b、c 均为整数，d 为自然数。其中，余数总是小于除数，即 0d一、同余两个整数 a、b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a、b 对于 m 同余。例如，3 除以 5 的余数是 3，18 除以 5 的余数也是 3，则称 23 与 18 对于 5 同余。对于同一个除数 m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数
2、与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。例如，15 除以 7 的余数是 1，18 除以 7 的余数是 415+18=33，1+4=5，则 33 除以 7 的余数与 5 同余18-15=3，4-1=3，则 3 除以 7 的余数与 3 同余1518=270 ，14=4，则 270 除以 7 的余数与 4 同余【例题】a 除以 5 余 1，b 除以 5 余 4，如果 3ab，那么 3a-b 除以 5 余几?A.0 B.1 C.3 D.4【思路点拨】此题为很明显的余数问题，因此可以直接利用同余的性质解出问题。【解析】a 除以 5 余 1，则 3a 除以 5 余 3 (两个数积的余数与余数的积同余
3、 )b 除以 5 余 4，则 3a-b 除以 5 余-1 (两个数差的余数与余数的差同余)因为余数大于 0 而小于除数，-1+5=4，故所求余数为 4。所以正确答案为 D。二、剩余在我国古代算书孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以7 余 2，问这个数最小是多少? 这类问题在我国称为“孙子问题”，也称为剩余问题。关于这一问题的解法，国际上称为“中国剩余定理”。以此题为例，下面为大家介绍一种常规的解题方法。我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1
4、，即 15;第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21;第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70;然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加，即：152+213+702=233。最后，再减去 3、5 、7 最小公倍数的若干倍，即：233-1052=23。【例题】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有：A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个【思路点拨】此题为剩余问题。此题要求的是满足条件的三位数的个数，我们应该首先求出满足条件的最小自然数，然后加上 4、5、9 的最小公倍数的若干倍，使之成为三位数即可。【解析】首先看后两个条件，很容易看出 7 是满足条件的最小的自然数，而 7 正好也满足第一个条件。4、5 、9 的最小公倍数为 180，因此满足条件的三位数形式为7+180n，n 为自然数，要使 7+180n 为三位数，则 n=1、2 、3、4 、5，满足条件的三位数有 5 个。所以正确答案为 A。
