1、1ACBe论向量在高中数学教学中的作用 作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性” ，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块” 、 “知识体系”。 ，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。（一）性质的产生与内含 已知向量 和轴 l， 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 A 在 l 上的射影aABe，作点 B 在 l 上的射影 则 叫向量 在轴 l 上或 BA
2、在 方向上的正射影，简称射影。 可以证明得，e（证明略，图如下所示。 ）eaA,cos|此性质的内含理解有四点：结果是一个数量（本身含正负号） ；其正负号由向量 所成角的范围决定；加ea、上绝对值 便是一条线段长度（这里 刚好组成一个直角三角|eaBA |AB|形的两条直角边） ；可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线） 。（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这
3、些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板” ，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链” 。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点” 。11 线线角 的求法的新认识：)2,0(2我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为 ） ，即 ,我们能否加以重新认,0 |,cos| baba识这个公式呢？如图，此时 OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积
4、|1|cosbOBbae，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：)|(aeb其 中（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边） 。|cosb12 线面角 的求法的新认识：)2,0(|,cos|innPA|n（其中 为平面 的一个法向量） ，此结论重新可以理解为： ，此时 OP|sinPAOAOOBOB1Oab AOOBOB1OabAOOBO(B1)OabnAPO3又可以看作是 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 ，PAnPAneePA，故 （这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比)|(ne其 中 |si斜边） 。13 二面角的平面角 的求法的新认识：),
5、0(= （其中 是两|,cos| 21n|21n、二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为： （这里刚好满足|2|1|1|cos| nn三角函数中余弦的定义：邻边比斜边） 。三大角的统一理解：、 、 、|cosba|sinPA |2|1|1|cosnn其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化” ，因为直角三角形中的三角函数定义，他们
6、太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区” ，那学习就会水到渠成！ （2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点” 。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，A BCDEFn1n1n24也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。21 点面距求法的新认识：（其中
7、 为平面 的一个法向|sin| nPAPAPOd 量） ，此结论重新可以理解为： ，即|d在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的PAnPAne数量积 。)|(e其 中22 点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图，若存在有一条与 l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ，则点 P 到 l 的距离n。|PAd2）新认识之二：若不存在有一条与 l 相交的直线时，我们可以先取 l 上的一个向量 ，再利用n来解，即： ,而数量可以理解为2|2|OAP 2|2OAPd在 l 上的向量 的投影，也即为： 。An|n23 异面直线间距离求法的新认识： 从这几年的高考考纲说明
8、观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！nAPOPlOA5如图所示：若直线 l1与直线 l2是两异面直线，求两异面直线的距离。 略解：在两直线上分别任取两点 A、C、B、D，构造三个向量 ，记与两直线的公A,垂线共线的向量为 ,则由n,得 ,则它们的距离就0BDC、可以理解为： 在 上的投影的绝对值，即： n。 |d三大距离的统一理解:
9、（点面距） 、 （异面距） 、 （点线距之一） 、|nPAd |nCDd|nPAd且 （点线距之二） 、2|2Od|nPA其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致” ，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（三）性质的应用例 1、 （2005 年山东省（理科）高考第 20 题）如图，已知长方体 1,ABCD12,AB直线 与平面 所成的角
10、为 ， 垂直 于130ED， 为 的中点.EFl1Al2BCDnA1B1 C1D1FE DCB A6（I）求异面直线 与 所成的角；AEBF（II）求平面 与平面 所成的二面角；D1（III）求点 到平面 的距离.解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为1CABxAD轴， 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标y1Az系；由已知 可得 ，12,B(0,)(2,0)AB，又 平面 ，从而 与平面(1,0)FD1D所成的角为 ，又 ，A302， ，从而易得EB21,A1323,0,0E（I）因为 所以3,0,02BF |,cosBFAE，易知异面直线 所成的角为41AE、 2ars
11、4（II） 易知平面 的一个法向量 ，1B(0,1)m设 是平面 的一个法向量， 由(,)nxyzDF23,0)BD即0BFn 023xzy3xzy1,n所以 51|,cosnmA1B1 C1D1FE DCB Axz y7即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐角）为BDF1A15arcos（III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，ABDFn所以距离 = 所以点 到平面 的距离为|nABd25B25例 2、 （2005 年重庆（理科）高考第 20 题）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB侧面 BB1C1C，E为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB
12、1，已知AB= ，BB 1=2，BC=1， BCC1= ，求：3（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值 . 解：（I）以 B 为原点， 、 分别为 y、z 轴建立空B间直角坐标系.由于 BC=1，BB 1=2，AB= ，BCC 1= ，23在三棱柱 ABCA1B1C1 中有B（0，0，0） ，A（0，0， ） ，B 1（0，2，0） ，A 1（0，2，）2，设)0,23(),01,3(C),023(aE、 ,1,BEA,432)(43)0,2(),23(0 aaa；,)(1、 ),(1、)0,1(E)2,3(),20,(EAB、8，都 垂 直与所 在
13、 的 直 线 与设 EBAzyxn1),(则 得， （令 y=1） ，故 =101EAB)0,3(n |1|nABd（II）由已知有 故二面角 AEB1A1 的两个半平面的法,11EAB向量为 。B与1 ),2,3(),20,(、。,3|1|cosABEEA、 2tan、通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化） ，其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然” ，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！
