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类型数学建模第二轮缴费站设置问题.doc

  • 上传人:gnk289057
  • 文档编号:6600767
  • 上传时间:2019-04-18
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    数学建模第二轮缴费站设置问题.doc
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    1、1缴费站设置问题摘 要本文解决的是城区建设中的煤气缴费站选址、派出所选址及最佳巡视路线问题,这三个问题都涉及到图论知识.故为了方便后续解题,我 们 先 用 Floyd 算 法 根 据 题 目 中 的道 路 连 接 图 求 出 每 两 个 社 区 的 最 短 路 径 (参 见 附 录 二 ),再运用相关图论知识分别对每个问题进行分析建立了相应的求解模型.对于问题一: 将煤气站与每个社区的距离及社区的人口稠密程度综合考虑,以居民与最近煤气站之间的平均距离最小作为目标函数,引进两个 0-1 变量来分别控制社 区 是否 到 某 缴 费 站 缴 费 及 缴 费 站 是 否 建 在 该 社 区 ,然 后

    2、确 定 相 关 的 约 束 条 件 建 立 线 性 规划 的 模 型 一 ,再 用 Lingo 软 件 求 出 缴 费 站 的 地 址 及 最 居 民 到 最 近 煤 气 站 的 最 小 距 离 ,详细结果如下:三个缴费站所在的社区及其管辖(某社区居民在此缴费站缴费最近)范围分别为: M(H,J,K,L,M,N,P,U,Y); Q(D,Q,R,S,T,V); W(A,B,C,E,F,G,I,W,X).居民与最近煤气站之间的平均最小距离为 11.71181 百米.对于问题二: 由于问题二与问题一除了初始条件其他基本相同,我们直接将模型一的目标函数改为派出所的个数的最小值建立另一个线性规划的模型二

    3、派出所选址模型,其 求 解 过 程 与 上 面 类 似 .得 到 求 解 结 果 后 我 们 以 所 需 总 警 力 最 小 作 为 目 标 函 数得 到 改 进 的 模 型 ,同 样 求 解 后 将 两 种 结 果 比 较 选 出 最 优 结 果 为 改 进 模 型 的 结 果 : 派出所分别建在 H、J、Q、W 四个社区, 每个派出所的管辖范围分别为:H(H, K, P,Y); J(E,J,L,M,N,U); Q(D,Q,R,S,T, V); W(A,B,C,F,G,I,W,X).对于问题三: 我们定义衡量分组是否均衡的均衡度,以巡视的总路程最短作为目标函数建立最佳巡视路线模型,结合矩阵翻

    4、转法求出这种分组的最佳 H 圈进而得到这个问题的近似最优解.此后,我们再将结果进行修正得到均衡度更小的最优解,详见下表:表 1: 问题三的求解结果(单位: 百米)小组名称 路线 总路线长度 线路的总长度 WCTVQRQDSAXW 117 WBIPIGW 113 WFLYHKMNJUEFW 110340关键词: F loyd 算 法 图论 线性规划 矩阵翻转法 哈密顿圈21. 问题重述1.1 问题背景:某城市共有 24 个社区,各社区的人口数及道路之间连接各不相同,为了便于社区居民缴纳煤气费,煤气公司拟建三个煤气缴费站;为了方便市公安局的治安管理,拟建若干派出所,并为其分配不同的管辖区;社区 W

    5、 是市政府所在地,市领导需要从此出发分三组巡视所有社区. 1.2 题目所给信息:题中给出了 24 个社区相应的人口数(参见表 2)及各社区的的道路连接图(参见图 1)表 2: 各社区的人口数(单位: 千人)编号 A B C D E F G H I J K L人口 10 12 18 6 10 15 4 8 7 11 13 11编号 M N P Q R S T U V W X Y人口 11 8 9 22 14 8 7 10 15 28 18 13VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP1 0 1 587971 41 061 11 2892 02 41 61 51 82 21 1661 22

    6、 381 01 181 11 51 02 51 51 992 881 091 181 9图 1: 各社区的的道路连接图(注: 横线上的数据表示相邻社区之间的距离,单位: 百米)1.3 本文需解决的问题有:问题一: 三个煤气缴费站应怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小?问题二: 为了使每个派出所在所管辖的范围内出现突发事件时能再 3 分钟内有警察(警车时速 50km/h)到达事发地,应该设置多少派出所,每个派出所应设在哪个区?问题三: 市领导从 W 区出发分三组巡视社区,如何安排巡视路线可以最快完成巡视?32. 模型的假设与符号说明2.1 模型的假设假设 1: 各社区人口数在较长时

    7、间内保持不变;假设 2: 煤气缴费站建在某个社区时,该社区所有地方到该缴费站的距离为 0;假设 3: 路况良好,警车车速保持稳定,不会出现抛锚等现象 ;假设 4: 不考虑巡视时在各社区的停留时间;假设 5: 每个小组的汽车行驶速度完全一样.2.2 符号说明符号 符号说明N总社区数i社区依字母顺序的编号 =1,23,iNijW第 个社区到第 个社区间的公路长( 与 的定义相同)ij jiijD第 个社区到第 个社区的最短路径长ijx第 个社区是否到第 个社区缴费,0-1 变量ijjy第 个社区是否为缴费站,0-1 变量jiP第 个社区的总人数id居民到最近缴费站的平均距离n所需派出所的个数ja派

    8、出所是否建在第 个社区,0-1 变量jijb第 个社区是否被第 个社区所在的派出管辖,0-1 变量ijS第 个社区所在的派出所所需的警力j该城区所需的总警力k第三个问题中第 种分组的均衡度kG问题中的原加权图V原图中的顶点集4iV顶点集的划分iG分成的第 个生成子图iiC的导出子图 中的最佳巡视回路i iGVi最佳巡视回路 的权iC3. 问题分析在 社 区 的 建 设 和 管 理 中 ,每 个 社 区 看 作 图 中 的 一 个 节 点 ,各 社 区 间 的 公 路 看 作 图中 对 应 的 边 ,公 路 的 长 度 看 作 对 应 边 上 的 权 ,这 就 是 题 目 给 出 的 社 区 间

    9、 的 加 权 网 络 图 .在 解 决 社 区 的 煤 气 缴 费 站 和 派 出 所 选 址 问 题 及 最 佳 巡 视 路 线 问 题 时 ,可 以 转 化 为 图中 总 权 (时 间 或 距 离 )最 小 问 题 来 求 解 .所 以 ,社 区 之 间 的 公 路 连 接 图 并 没 有 直 接 作 用 ,所以 我 们 根 据 题 目 中 的 道 路 连 接 图 用 Floyd 算 法 求 出 每 两 个 社 区 的 最 短 路 径 ,以 供 解决 下 面 的 问 题 使 用 .针 对 问 题 一 : 要 拟建三个煤气缴费站,如果建在两社区间的路边,那么来缴费的路只有两个方向,这样将使每

    10、个社区所有居民与最近煤气站的平均距离较大,因此在后来的问题解决中,我们只考虑煤气缴费站建在社区内的情况.考虑到煤气站与每个社区的距离及社区的人口稠密程度, 综合这两个因素可以知道: 居民与最近煤气站之间的平均距离等于社区居民到最近缴费站的距离 乘以该社区居民总数 之和除以城市总人数,dijDiP这即为问题的目标函数.又 考 虑 到 每 个 社 区 只 到 一 个 缴 费 站 缴 费 ,我 们 用 0-1 变 量来 表 示 某 社 区 是 否 到 某 缴 费 站 缴 费 .同 样 ,为 了 确 定 三 个 缴 费 站 建 在 哪 三 个 社 区 ,ijx我 们 用 0-1 变 量 来 表 示 缴

    11、 费 站 是 否 建 在 该 社 区 .通 过 分 析 ,可 以 得 出 这 两 个 0-1 变jy量 的 相 应 约 束 条 件 .这 样 就 建 立 了 一 个 线 性 规 划 的 模 型 一 ,即 最 优 缴 费 站 选 址 模 型 .再 将 之 前 求 出 的 每 两 个 社 区 的 最 短 路 和 题 目 给 出 的 人 口 数 等 数 据 代 入 该 线 性 规ijD划 模 型 利 用 Lingo 软 件 求 出 缴 费 站 的 位 置 和 居 民 到 最 近 煤 气 站 的 最 小 距 离 .针对问题二: 要在城区建立若干个派出所,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在 3

    12、 分钟内有警察(警车的时速为 50km/h)到达事发地.这同样也是最优选址问题,相对问题一,它只是所需选址的个数未知,然后有距离的具体约束,其他条件与要求与问题一基本一致.因此,做类似的分析后,我们决定以派出所个数 作为最终选址的标准,所以可n5以直接将模型一的目标函数改为派出所的个数的最小值,约束条件做相应变化,同样是有两个 0-1 变 量 和 ,这 样 即可建立另一个线性规划的模型二派出所选址模型.其jaijb求 解 过 程 与 上 面 类 似 .针对问题三: 此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题,要分三组最快完成巡视可以看做是要设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线.首先,我们将原图

    13、视为关于社区的加权图 .那么,该问题就是在加权图 中求顶点集 的划分, 将 分成 个生GGVGN成子图 ,使其满足相应的约束条件.定义: 该分组的均衡度=(子回路的最大权值-子iV回路的最小权值) 子回路的最大权值,限制每种分组求解结果的均衡度均比前一次的小,最后以巡视的总路程最短作为目标函数.这样建立的模型为非线性规划模型,我们采用此方法得到的是问题的近似最优解,此后,我们再将结果进行修正得到问题的最优解.4. 数据分析把题目所给信息数据分类整理: 整理一: 将各个社区的人口表绘制成如下的柱状图,即图 20510152025301 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516

    14、1718192021222324各 社 区 人 数 分 布社 区 编 号社区人数图 2: 各社区的人口分布(单位: 千人)由图中可以看出此城市的人口分布相对分散,如果要建位置合适的缴费站或是建派出所,必须考虑到社区人口问题,故建立模型时人口作为重要的制约因素.整理二: 由各社区的道路连接图绘制出各社区拥有的公路条数柱状图,即图 36012345671 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324各 社 区 道 路 连 接 状 况社 区 编 号道路条数图 3: 各社区所拥有的公路条数(单位: 条)社区公路图上可以看出: 不同社区所拥有的公路数不同,

    15、如果在公路数较多的社区建缴费站可能会便于更多居民缴费,但公路的长度对缴费平均距离、警车的行驶距离及巡视路线长都有影响,故这可能作为选址的考虑因素.整理三: 综合上面两种因素画出社区所拥有的公路数与社区人数乘积的柱状图,即图 40204060801001201401601 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324各 社 区 权 重社 区 编 号社区权重图 4: 各社区的人口数与公路条数的乘积在上图中我们可以看出,某些社区如社区 C、F、W 等的这两个性质都不错,如果综合人口和公路数去考虑选址,这三个社区的可能性较大.整理四: 为了使题中信息更直

    16、接的用于解题,我们写出了题中所给图的邻接矩阵w(参见附录一),另外我们用 Floyd 算 法 根 据 题 中 的 道 路 连 接 图 求 出 每 两 个 社 区 的 最短 路 径 (源 程 序 参 见 附 录 二 ),将 结 果 矩 阵 制 成 表 格 (完 整 表 格 参 见 附 录 二 )如 下 : ijD7表 3: 每两个社区间的最短路(单位: 百米)A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W X YA 0 34 24 28 33 35 39 54 49 50 65 45 54 56 68 37 32 20 34 42 41 24 16 46B

    17、 34 0 37 48 41 33 37 52 28 51 63 43 52 57 47 57 64 54 47 47 54 22 18 44 X 16 18 23 34 27 19 23 38 33 37 49 29 38 43 52 43 48 36 33 33 40 8 0 30Y 46 44 28 39 19 11 22 8 25 18 19 10 19 24 27 42 49 47 25 25 32 22 30 0整理五: 问题二中要尽量能在 3 分钟内有警察(警车的时速为 50km/h)到达事发地,可以直接将其转化为派出所的最大管辖范围为 25 百米.5问题一的解答针对问题一我们建

    18、立了最 优 缴 费 站 选 址 模型即模型一.5.1 模型一的建立5.1.1 确定目标函数该模型是为了解决如何选煤气站的地址使居民与最近煤气站之间的平均距离 最小d的问题,它等于社区居民到最近缴费站的距离 乘以该社区居民总数 之和除以城市ijDiP总人数,故此模型的目标函数为: =1minNijiijiPxd5.1.2 确定约束条件由于每个社区只在一个缴费站缴费,故第 个社区是否到第 个社区缴费的 0-1 变量ij满足以下式子 ,即:ijx(1) 1= ,=123,N0ij ijij 编 号 为 的 社 区 去 编 号 为 的 社 区 缴 费编 号 为 的 社 区 不 去 编 号 为 的 社

    19、区 缴 费(2) =1,23,NNijx总共只有三个煤气缴费站, 故 第 个社区是否为缴费站的 0-1 变量 满足以下式子,j jy即 :(1) 1=1,23,N0j jy j 编 号 为 的 社 区 是 缴 费 站编 号 为 的 社 区 不 是 缴 费 站(2) =13,2,NNji又两个 0-1 变量之间有相互制约关系,即 ,=123,Nijjxyi8综上所述,得到问题一的最优化模型 =1minNijiijiPDxd=1=1.,123,N,0NijijjNjijxystijx5.2 模型一的求解根据建立的模型用 Lingo 软件代入数据求解(源程序见附录三)得到如下结果: 三个缴费站所在的

    20、社区分别为: M、Q、W每个缴费站的管辖(某社区居民在此缴费站缴费最近)范围分别为: M(H,J,K,L,M,N,P,U,Y);Q(D,Q,R,S,T,V);W(A,B,C,E,F,G,I,W,X)居民与最近煤气站之间的平均最小距离为 11.71181 百米5.3 结果分析:将上述求解结果按题目所给原图的方位,画出各个社区到三个煤气缴费站的缴费情况与缴费路线图,即图 5(图 5 中红色社区为缴费站所在位置):VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP1 0879781 61 52 21 1661 21 01 51 01 51 9898图 5: 各社区到三个煤气缴费站的缴费情况与缴费路线图

    21、(单位: 百米)从上图我们可以看出: 使居民与最近煤气站之间的平均距离最小得情况下,三个煤气缴费站的相对位置比较分散;各个缴费站的管辖范围明显独立的 ;到处于中心位置的缴费站 W 和 M 缴费的社区最多,到处于边缘位置的缴费站 Q 缴费的社区少.另外参考各社9区的人口数可以看出,人口的多少对缴费站建址的影响较大,例如从上图就可以看出缴有两个缴费站都是建在了人口最多的 W 和 Q 社区.而第三个缴费站没有建在人数较多的C 社区是因为还要考虑到社区与社区间的距离问题,从上面线性规划模型求得的第三个缴费站为 M 社区可以知道,距离因素对缴费站的选址也有重要影响 .6问题二的解答针对问题二我们建立了派

    22、出所选址模型,即模型二.6.1 模型二的建立6.1.1 确定目标函数在 问 题 分 析 中 已 经 知 道 模 型 二 的 目 标 函 数 为派出所的个数的最小值, 即 :=1minNja其中 为 0-1 变量,定义为:ja1=,23,N0j j ij 编 号 为 的 社 区 是 派 出 所编 号 为 的 社 区 不 是 派 出 所6.1.2 确定约束条件由于问题二中要尽量能在 3 分钟内有警察(警车的时速为 50km/h)到达事发地,也就是派出所的最大管辖范围为 25 百米,即: 25,=13,ijDbij每个社区只属于一个派出所管辖,即 :(1) 1= ,=123,N0ij ijb ij

    23、编 号 为 的 社 区 被 编 号 为 的 社 区 所 在 的 派 出 所 管 辖编 号 为 的 社 区 不 被 编 号 为 的 社 区 所 在 的 派 出 所 管 辖(1) =1,23,NNij又两个新的 0-1 变量之间也有相互制约关系,即: ,=123,Nijjbai6.1.3 综上所述,得到问题二的线性规划模型 =1minj=1.,23,N5,0ijjNijijbastijDab6.2 模型二的求解根据建立的模型用 Lingo 软件代入数据求解(源程序见附录四)得到如下结果: 10设置三个派出所比较合理,位置分别建在 K、Q、W 三个社区;每个派出所分配管辖范围分别为: K(H,J,K

    24、,L,M,N,P,Y);Q(C,D,E,Q,R,S,T,U,V);W(A,B,F,G,I,W,X).6.3 结果分析:将上述求解结果按题目所给原图的方位,画出每个派出所的管辖范围及路线图(见下面的图 6,图中紫色为派出所所在社区):VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP1 01 579761 181 62 21 1661 22 381 51 091 18图 6: 派出所分配管辖范围(单位: 百米)由于问题一与问题二的两个模型方法类似,我们可以将这两问的结果对比分析.首先我们可以看出: 同样是选址问题,如果初始条件不同(像问题二中派出所的个数没定),他们的选址结果就不同,不变的是人口数

    25、对该类问题的选址具有最要参考意义,两个问题最后都选了人口数相对较多的 W 和 Q 社区.根据此模型的求解结果,我们进一步考虑各派出所的警力资源分配.对每个派出所而言,它需要的警力 与其所管辖的总路程 和人数 有关,因此我们建立一个求警力的jSijDiP函数,即: =jijSb由这个式子我们可以得出上面所选的三个派出所所需警力分别为: K 社区的派出所所需警力: 13Q 社区的派出所所需警力: 6=97SW 社区的派出所所需警力: 2048经过上面的计算知道我们选建的三个派出所需要的警力相差不大.由上面的结果也可以算出整个城市所需的总警力为: 11=13758NjS因为较均衡的警力分布可以使派出

    26、所的建设规模上保持相对平衡,因此,这样对派出所的建设规划较好.6.4 模型二的改进模型二中我们以派出所个数建立的目标函数,但如果实际规划中,总警力的多少对规划中资源的影响很大,需要重点考虑.如果派出所规模的不同对总所需资源的影响不大,我们增加派出所的个数,相应的所需警力会不会有很大变化?为此,我们考虑在模型二的基础上以总警力建立目标函数: =1minNjS派出所的个数我们以模型二的结果 3 个为基数,依次加 1 作为 在改进模型中的输n入变量,由外部直接输入获得,其约束条件均与模型二相同.综上所述,模型二的改进模型为: =1inNjS=11.25,=123,N,0ijjNijNjjijianb

    27、astDijb为 实 时 数 据改进模型的求解: 与原模型的求解类似,我们用 Lingo 软件直接从外部输入(源程序参见附录五)派出所个数 为: 3,4,5,6n相应的所需的总警力分别为: =3,628;4S15,;9n改进模型的结果分析: 我们根据上面的求解结果绘制出总警力需求随派出所个数的变化走势图如下;120 2 4 6 8 10 1205001000150020002500300035004000xy = f(x)图 7: 总警力需求随派出所个数的变化走势图从上面我们不难看出,当增加派出所个数时,总的警力需求在减小,其中,派出所个数由 3 个增大到 4 个时,总警力需求减小最明显,再往

    28、后增加派出所个数时警力需求减小趋近平缓,但增加派出所所需的建设费用较大.因此,如果既考虑警力需求又考虑建立派出所的经费,并假设派出所规模的不同对总所需资源的影响不大,选择建立 4 个派出所(外部输入 4 的具体运行结果参加附录四的部分运行结果)应该是最合理的,这样所需的总资源费用最小.具体选址及相应管辖范围如下: 派出所位置分别建在 H、J、Q、W 四个社区;每个派出所分配管辖范围分别为: H(H, K, P,Y);J(E,J,L,M,N,U);Q(D,Q,R,S,T, V);W(A,B,C,F,G,I,W,X) 7问题三的解答针对问题三我们建立了最佳巡视路线模型,即模型三.7.1 模型三的准

    29、备从 W 出发去其他点 ,要使路程较小应尽量走 W 点到该点的最短路 .故用 Dijkstra 算法求出 W 点到其余顶点的最短路(源程序参见附录六 ),这些最短路构成一颗 W 为树根的树,将从 W 出发的树枝称为干枝 ,见图 8.13VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP7971 41 01 181 61 52 21 1681 181 51 081 091 181 9图 8: W 点到任意点的最短路图 (单位: 百米)7.2 模型三的建立7.2.1 确定目标函数在 问 题 分 析 中 我 们 确 定 了 模 型 三 的 目 标 函 数 为 巡视的总路程最小, 即=1minNiiC7

    30、.2.2 确定约束条件首先,此模型具有图的特性,所以具备下面的约束条件,即: (1) ,23,iWV(2) =1NiG限 制 每 种 分 组 求 解 结 果 的 均 衡 度 均 比 前 一 次 的 小 ,即,max-=123,ijijiCijN其它约束条件均不变7.2.3 综上所述,得到问题三的最优化模型 =1inNiiC,.=1,2max-,=123,3,iijijiistWVVGNNijC 147.3 模型三的求解7.3.1 模型三的求解的方案一根据图 5 我们看出,以 W 为中心,图 5 大体可以分为三个部分,又因为要分三组巡视,我们可将 24 个社区初步分成以下三组巡视,即: 第一组:

    31、 A,B,C,D,Q,R,S,X;第二组: G,H,I,K,P,Y;第三组: E,F,J,L,M,N,T,U,V.然后利用矩阵翻转法求出这种分组的最佳 H 圈(源程序见附录七),得出具体的路线安排即为方案一,将所得结果制成下表: 表 4: 方案一分组的详细情况(单位: 百米)小组名称 路线 总路线长度 线路的总长度 WCDQRSAXBW 130 WGIPKHYFW 108 WFLMNJUVTEFW 97335由上表我们不难看出: 此分组的巡视路线总长度比较小,为 335 百米,但其每个小组的总路线长度相差较大,而为了尽快完成巡视,必须使每小组的分配相对均衡.通过之前对均衡度的定义,我们可以算出

    32、此方案的均衡度为: 13=,2-0-97=25.38%max1iC另外,我们根据上面的分组安排画出了相应的分组区域线路图,见图 9: VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP1 5879761 11 22 01 61 51 82 21 1662 31 181 51 081 091 11 9图 9: 方案一分组的区域线路图(单位: 百米)可见方案一的均衡性一般,为了尽快完成巡视,就要增强均衡性,使小组中最长的路线变短.所以接下来,我们尝试通过调整上图中的部分线路减小组的总路线长度,同时增大小组的总路线长度使各小组的分配更均衡.157.3.1 模型三的求解的方案二根据图 9 中各点的连接情

    33、况,我们不断的尝试调整部分点的分组,最终找到另一种分组方案,即方案二,其具体路线安排见下表: 表 5: 方案二分组的详细情况(单位: 百米)小组名称 路线 总路线长度 线路的总长度 WCTVQRQDSAXW 117 WBIPIGW 113 WFLYHKMNJUEFW 110340将上表与表 4 对比,我们明显看出: 调整后的方案二的总路线长虽然较方案一增大了,但是其小组的最长路线仅为 117 百米,比方案一的短 13 百米.而且我们同样可以算出此方案的均衡度,即: 132=,-7-10=5.98%maxiC可见方案二的均衡性较好,相对方案一有明显的增强.因此调整后的方案二的分组及路线安排更好,

    34、应选择方案二安排巡视.同样,我们画出方案二的分组巡视线路图,即: VCDGUFEIQSRATWXBJYLHNKMP1 087971 082 01 61 52 21 1661 21 081 51 092 881 01 181 9图 10: 方案二分组的区域线路图(单位: 百米)7.4 结果分析:对求解过程中的两种方案我们在求解时已经做了部分对比分析,现在,我们可以从这两种方案分组的区域线路图上作进一步分析.比较图 9 和图 10 我们可以看出: 方案一的分组中,社区个数的分配比较平均,都在 6个到 9 个之间,而方案二则差异较大点,从 4 个到 10 个不等,可见如果我们在问题假设时考虑在每个社

    35、区的停留时间,那么方案二则不一定比方案一需要的总时间短.另外,从方案二的巡视线路图中我们发现: 权重较大的一些社区分在了同一组,且此组的社区数较少,这样分组能增加均衡性,更加节省总时间,从而使巡视最快完成.168. 模型的评价8.1 模型优点优点一: 本题的前两个模型均为线性规划模型,易于求解,且每个模型对相应问题考虑细致,表述简洁,易于理解,便于重复利用; 优点二: 我们建立的前两个模型都引进了两个 0-1 变量,这对解决问题及将模型建为线性规划模型具有重要作用;优点三: 本题所建立的模型很好的解决了在城区规划中的各类选址及巡视问题,对类似的实际城区规划问题具有重要的指导意义;优点四: 针对

    36、问题三所建的模型三虽为非线性规划模型,但我们巧妙的运用图论知识对结果进行修正,同样得到了很好的结果.8.2 模型缺点缺点一: 派出所选址模型的求解结果的均衡性较差,可能通过更好的求解方法可以求得分组均衡性更好、总资源需求更少的结果;缺点二: 最佳巡视路线模型中我们是在不断的探讨中找到的最优巡视分配路线,应该可以通过更有说服力的算法求解得到.9. 模型的改进及推广9.1 模型改进改进一: 可以将模型二即派出所选址模型的单目标函数换成关于所需总警力和派出所总个数的多目标函数求得最优解;改进二: 在最佳巡视路线模型中,考虑在各社区的停留时间,并查得巡视的车速,建立新的模型可以求得更符合实际的最优解.

    37、9.2 模型推广本文所建立的模型不仅适用于城区建设中煤气缴费站的选址、派出所的选址还可以用于超市、商城等各类选址问题,在选址问题模型中具有很强的代表性.另外,本文建立的最佳巡视路线安排模型可以适用于各类有回路的问题,对解决实际问题有很大指导的作用.参考文献1 宋来忠,王志明 ,数学建模与实验,北京:科学出版社,2005.2 运筹学 教材编写组编,运筹学(3 版), 北京:清华大学出版社,2005.63 张志涌,杨祖缨 ,matlab 教程 R2011a,北京:航空航天大学出版社,2011.74 杨秀文,陈振杰,李爱玲,田艳芳.利用矩阵翻转法求最佳 H 圈.后勤工程学院院报.第 1 期,2008

    38、.117附录附录一: 题中所给图对应的邻接矩阵w=0 inf 24 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 20 inf inf inf inf 16 inf;inf 0 inf inf inf inf inf inf 28 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 22 18 inf;24 inf 0 11 9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10 inf inf 15 inf inf;inf i

    39、nf 11 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 9 inf 8 inf inf inf inf inf inf;inf inf 9 inf 0 8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 6 9 inf inf inf inf;inf inf inf inf 8 0 11 inf inf inf inf 10 inf inf inf inf inf inf inf 14 inf 11 inf 11;inf inf inf inf inf 11 0 inf 10 inf inf inf

    40、 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 15 inf inf;inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 11 inf 15 inf 19 inf inf inf inf inf inf inf inf 8;inf 28 inf inf inf inf 10 inf 0 inf inf inf inf inf 19 inf inf inf inf inf inf inf inf 25;inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 8 inf 6 inf inf inf inf inf 8 i

    41、nf inf inf inf;inf inf inf inf inf inf inf 11 inf inf 0 inf 12 inf 23 inf inf inf inf inf inf inf inf inf;inf inf inf inf inf 10 inf inf inf 8 inf 0 9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10;inf inf inf inf inf inf inf 15 inf inf 12 9 0 6 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;inf inf inf inf in

    42、f inf inf inf inf 6 inf inf 6 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;inf inf inf inf inf inf inf 19 19 inf 23 inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf;inf inf inf 9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 7 inf inf inf 10 inf inf inf;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf

    43、inf inf inf 7 0 12 inf inf inf inf inf inf;20 inf inf 8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 12 0 inf inf inf inf inf inf;inf inf 10 inf 6 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 7 inf inf inf;inf inf inf inf 9 14 inf inf inf 8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 15 in

    44、f inf inf;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10 inf inf 7 15 0 inf inf inf;inf 22 15 inf inf 11 15 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 8 inf;16 18 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8 0 inf;inf inf inf inf inf 11

    45、 inf 8 25 inf inf 10 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0;附录二:每两社区最短路的 floyd 算法的 matlab 源程序functionD,R=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendRfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)l(u)+w(u,i)l(i)=l(u)+w(u,i);z(i)=u;endendendendll=l;for i=1:nfor j=1:kif i=s(j)ll(i)=ll(

    46、i);else ll(i)=inf;endendendlv=inf;for i=1:nif ll(i)lvlv=ll(i);v=i;endendlv;v;s(k+1)=v;k=k+1;u=s(k);endlz附录七: 问题三中求两种方案的 H 圈的总权的 matlab 源程序functiona,b,s=h(e)n=size(e);%求出距离矩阵的维数 .for i=2:n-2;%有一个顺序的外框,所以循环从 2 开始到 n - 2.for j=i+1:n-2;if e(i,j)+e(i+1,j+1)e(i,i+1)+e(j,j+1);a=horzcat(e(:,1:i),e(:,j:-1:i+

    47、1),e(:,j+1:n);%翻转 e 中的第 i + 1 至 j 列.b=vertcat(a(1:i,:),a(j:-1:i+1,:),a(j+1:n,:);%翻转 a 中的第 i + 1 至 j 行.e=b; %把翻转后的矩阵定义成新的距离矩阵,再次进入循环.endendends=0;24for i=2:n-2;s=s+e(i,i+1);%求优化后 H 圈的总权.endes% 方案一: % 路线一: e=0 1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 00 0 15 26 35 42 34 8 24 22 0 00 15 0 11 20 27 19 23 24 37 15 00 26 11

    48、0 9 16 8 34 28 48 26 00 35 20 9 0 7 17 43 37 57 35 00 42 27 16 7 0 12 48 32 64 42 00 34 19 8 17 12 0 36 20 54 34 00 8 23 34 43 48 36 0 16 18 8 00 24 24 28 37 32 20 16 0 34 24 00 22 37 48 57 64 54 18 34 0 22 00 0 15 26 35 42 34 8 24 22 0 00 1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 0;h(e)% 路线二 : e=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00

    49、0 15 25 44 41 30 22 11 0 00 15 0 10 29 41 30 22 11 15 00 25 10 0 19 42 33 25 21 25 00 44 29 19 0 23 19 27 38 44 00 41 41 42 23 0 11 19 30 41 00 30 30 33 19 11 0 8 19 30 00 22 22 25 27 19 8 0 11 22 00 11 11 21 38 30 19 11 0 11 00 0 15 25 44 41 30 22 11 0 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0;h(e)% 路线三 : e=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 00 0 11 21 30 35 2

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