1、1计算机模拟公共汽车的运行情况某公共汽车站每隔 30 分钟到达一辆汽车，但可能有0,3分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。汽车最多容纳 50 名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从20,50的均匀分布，到站下车的旅客人数服从3,7 的均匀分布，每名旅客下车的时间服从1,7秒的均匀分布。旅客按照每 30 分钟到达 12 个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。旅客上车时间服从4,12秒的均匀分布。上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。假设每天共发车 25 辆，现在要求模拟 30 天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能
2、上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。2参考解答思路：摘要计算机模拟式一般是一种能用来帮助企业经理在不确定条件下进行决策的方法。对于复杂的随机事件系统，无法用数学计算直接进行求解，为此我们可以在计算机上进行模拟仿真，一般以时间作为变量，其他作为因变量。本题是属于离散型的模拟，该模拟中的时间表示为整数序列，只考虑系统在这些时刻上的状态变化。该问题是关于排队等汽车的问题，属于排队服务问题，可以采用下次事件法( 也就是下次时间作为时间的起始时刻) ，使用计算机进行模拟。为了使模型简单，我们假设所有等车的旅客都是同一时刻到达车站等车，则等车总时间为旅客到达时刻与上一辆汽车
3、离开时刻的时间差，再加上旅客上车和下车的总时间。在模型的建立过程中，先用 MATLAB 软件创建数据。这里由于题目中的数据都给了，所以对于均匀分布和泊松分布，我们可以直接调用 MATLAB 软件中的 unifrnd 函数和 poissrnd 函数进行模拟。在模型的求解部分，先用建立的模型模拟一天中等车总人数、能上车人数、未上车人数、平均等待时间的情况，然后用类似的方法对三十天的数据进行模拟求解，得出结论。关键词：下次法、离散、MATLAB问题重述（略）3问题分析该问题是关于排队等汽车的问题，属于排队服务问题，可以采用下次事件法，使用计算机进行模拟。公共汽车到站时有时间误差，但是每辆汽车到达时间
4、与其他汽车无关，该时间可以使用 MATLAB 产生的随机数来表示。又汽车到站时车内人数、到站时下车人数、每名旅客下车的时间以及每名旅客上车时间都服从均匀分布。也可以使用 MATLAB 将这些量模拟出来，非常方便。另外，旅客按照每 30 分钟到达 12 个人的泊松分布。到达车站即开始等车，但只有当汽车到站后车上的空位不少于排队人数，所有人才可以上车；否则就有人由于上不了车而离开。为了使模型简单，我们假设所有等车的旅客都是同一时刻到达车站等车，则等车总时间为旅客到达时刻与上一辆汽车离开时刻的时间差，再加上旅客上车和下车的总时间。模型假设1. 假设每辆公共汽车的到站时刻都是独立的，看成是独立时间，而
5、与前一辆或后一辆汽车的到达时刻没有关系。2. 假设所有的乘客在 30 分钟内都是同时到达车站等车，每个人等待的时间相同，而不计排队上车时前面旅客的上车时间。所有乘客到达时刻与汽车到达时刻时间差服从 上的均0,34匀分布。3. 假设旅客下完车后等待的旅客马上上车，上下车过程是连续的，中间没有时间误差，上完车后汽车马上离开。4. 每辆车的容量最大为 50 人，只有车上的空位足够时等待的旅客才能全部上车，没有上车的旅客不再等待。5. 计算旅客等待时间时，以最后上车的旅客为准，除了乘客下车时间，还要加上每个人上车的时间。6. 已知 30 分钟内到站旅客数服从泊松分布，参数为 12，车到站后等待的旅客数
6、固定，排队人数不再增加。7. 假设汽车到站时间误差服从 上的均匀分布。3,模型建立1.符号说明：i 汽车到站车次（ ）125ii第 i 辆汽车到站时间误差ia第 i 辆汽车到站时车上已有乘客人数ib第 i 辆汽车到站时下车乘客人数ic第 i 辆汽车到站时上车乘客人数id每位乘客下车时间ie每位乘客上车时间if所有乘客到达时刻与汽车到达时刻时间差ig车上空位数ih第 i 辆汽车到站时排队等车人数5ij排队时间ik不能上车的人数2.利用 MATLAB 软件创建数据问题中已经告诉我们汽车到站时车内人数 、到站时下车人数ia、每名旅客下车的时间 、每名旅客上车时间 、所有乘客到达时ibidie刻与汽车
7、到达时刻时间差 以及汽车到站时间误差 都服从均匀分if i布，可以非常方便的使用 MATLAB 中的 unifrnd 函数实现。同样，由于 30 分钟内到达车站等车人数服从泊松分布，可以使用MATLAB 中的 poissrnd 函数实现。各个变量的 MATLAB 函数实现如下：（1）汽车到达时间误差 (3,)iU:；(3,)iunfrd（2）到达该汽车站时车内旅客人数 (20,5)ia:；(20,5)iafr（3）到站下车的旅客人数 (3,7)ibU；(3,7)ibunfrd（4）每名旅客下车的时间 (1,)id:；(1,)ifr（5）每名旅客上车时间 (4,2)ieU；(4,2)ieunfr
8、d（6）所有乘客到达时刻与汽车到达时刻时间差 (0,3)ifU:；(0,3)ifr6（7）30 分钟内到达车站等车人数 (0.4)ih:；(12)ihposrnd（8）排队时间为所有乘客到达时刻与汽车到达时刻时间差 ，if旅客下车的时间 以及旅客上车时间 的和，公式如下：i ie；iiiijfbdce（9）当排队人数大于车上空位数时，上车人数为车上空位数，有人不能上车；而当排队人数小于车上空位数时，上车人数为排队人数，公式如下：；min,iicgh（10）只有当排队人数大于车上空位时才又乘客不能上车，公式如下：;iiikhg模型求解先模拟一天的情况：1. 设第一辆汽车的理论到达时间为 6:00
9、，利用 MATLAB 产生的随机数如下：（1）到达时间误差 (3,)iU:(,)iunfrd1 2 3 4 51.4588 -0.6466 0.9329 -1.9729 1.23636 7 8 9 10-2.8090 -1.3385 -2.7230 -2.4172 1.940711 12 13 14 1571.1690 -1.0974 2.7013 -2.7933 -0.367516 17 18 19 20-0.7106 1.5931 1.7712 -1.8788 -0.061421 22 23 24 25-0.3265 0.8779 1.2562 1.5281 -1.3438（2）到达该汽车
10、站时车内旅客人数 (20,5)iaU:(20,51)iaunfrd1 2 3 4 540 39 24 23 346 7 8 9 1048 30 37 26 4211 12 13 14 1527 35 40 46 4816 17 18 19 2036 24 24 27 4521 22 23 24 2527 44 27 47 30（3）到站下车的旅客人数 (3,7)ibU:(3,7125)ibunfrd1 2 3 4 53 4 5 4 46 7 8 9 106 5 5 6 411 12 13 14 156 6 4 5 316 17 18 19 203 5 6 6 321 22 23 24 255
11、4 3 4 38（4）每名旅客下车的时间 (1,7)idU:(1,725)idunfr1 2 3 4 55.7657 2.8673 4.1712 1.9939 4.61196 7 8 9 102.5778 4.9245 5.1353 5.4889 3.703211 12 13 14 151.5029 2.3739 6.4800 1.9143 5.954916 17 18 19 204.23014.23016.9768 1.4691 3.6561 1.639921 22 23 24 256.7714 1.0278 5.6495 5.9038 6.2122（5）每名旅客上车时间 (4,12)ieU
12、:(4,125)ieunfrd1 2 3 4 54.6755 7.1983 6.0790 10.4005 7.45136 7 8 9 1011.2852 5.4548 6.1104 5.1643 5.088511 12 13 14 1510.9543 8.6376 8.3989 5.1596 10.824216 17 18 19 208.9764 4.23016.8076 8.1060 7.2145 4.607721 22 23 24 255.9193 4.9866 5.4713 5.9196 7.3381（6）所有乘客到达时刻与汽车到达时刻时间差 (0,3)ifU:(0,3125)ifunr
13、d1 2 3 4 51.4896 27.0815 28.3436 14.7259 14.677696 7 8 9 1010.1316 27.0016 11.0774 3.3361 23.407611 12 13 14 1511.6922 7.2507 12.1174 2.8936 3.959216 17 18 19 2028.2615 4.230128.6840 17.2563 1.7934 7.043421 22 23 24 2510.5948 24.6358 0.4621 1.2907 5.0697（7）30 分钟内到达车站等车人数 (12)ih:(12)ihposrnd1 2 3 4 5
14、12 13 16 9 136 7 8 9 1011 15 11 11 1411 12 13 14 1514 17 13 16 816 17 18 19 2012 21 12 10 1621 22 23 24 259 16 7 16 82. 每一天内能上车及不能上车情况如下：车次 车内人数下车人数车上空位数排队人数上车人数未上车人数1 40 3 13 12 12 02 39 4 15 13 13 03 24 5 31 16 16 0104 23 4 31 9 9 05 34 4 20 13 13 06 48 6 8 11 8 37 30 5 25 15 15 08 37 5 18 11 11 0
15、9 26 6 30 11 11 010 42 4 12 14 12 211 27 6 29 14 14 012 35 6 21 17 17 013 40 4 14 13 13 014 46 5 9 16 9 715 48 3 5 8 5 316 36 3 17 12 12 017 24 5 31 21 21 018 24 6 32 12 12 019 27 6 29 10 10 020 45 3 8 16 8 821 27 5 28 9 9 022 44 4 10 16 10 623 27 3 26 7 7 024 47 4 7 16 7 925 30 3 23 8 8 03. 一天内各时间情
16、况如下：车次到站时间到站时间误差（分）乘客汽车时差（分）下车人数下车时间（秒）上车人数上车时间（秒）等待时间（分）1 6:00 1.4588 1.4896 3 17.297112 56.106 2.713112 6:30 -0.6466 27.08154 11.469213 93.577928.8323 7:00 0.9329 28.34365 7.9756 16 97.264 30.0974 7:30 -1.9729 14.72594 7.9756 9 93.604516.4185 8:00 1.2363 14.67764 18.447613 96.866916.5996 8:30 -2.8
17、090 10.13166 15.46688 90.281611.8937 9:00 -1.3385 27.00165 24.622515 81.822 28.7758 9:30 -2.7230 11.07745 25.676511 67.214412.6259 10:00 -2.4172 3.3361 6 32.933411 56.80734.83210 10:30 1.9407 23.40764 14.812812 61.062 23.40711 11:00 1.1690 11.69226 9.0174 14 153.360214.39812 11:30 -1.0974 7.2507 6 1
18、4.243417 146.83929.93513 12:00 2.7013 12.11744 25.92 13 109.185714.36914 12:30 -2.7933 2.8936 5 9.5715 9 46.43643.82715 13:00 -0.3675 3.9592 3 17.86475 54.121 5.15916 13:30 -0.7106 28.2615 4.23013 12.690312 107.716830.26817 14:00 1.5931 28.68405 34.884 21 142.959631.64818 14:30 1.7712 17.25636 8.814
19、6 12 97.272 19.02419 15:00 -1.8788 1.7934 6 21.936610 72.145 3.36120 15:30 -0.0614 7.0434 3 4.9197 8 36.86167.74021 16:00 -0.3265 10.59485 33.857 9 53.273712.04622 16:30 0.8779 24.63584 4.1112 10 49.866 25.53523 17:00 1.2562 0.4621 3 16.94857 38.29911.38324 17:30 1.5281 1.2907 4 23.61527 41.43722.37
20、525 18:00 -1.3438 5.0697 3 18.63668 58.70486.3594.一天内该车站的情况如下：等车总人数：320 人能上车人数：282 人未上车人数：38 人平均等待时间：14.5 分12模拟 30 天的情况（模拟方法和前面类似）：车内人数 (20,51,3)iaunfrd下车人数 7ib等车人数 (,)ihposr天数 等车人数 能够上车人数 未上车人数 等待时间（分）1 303 251 52 9.6682 280 264 16 9.1863 310 288 22 19.6774 307 255 52 25.1415 315 294 21 28.5486 299
21、 264 35 10.8577 285 272 13 20.5148 286 268 18 18.3269 283 264 19 8.26110 315 263 52 15.41611 305 282 23 11.56812 289 279 10 25.47413 278 267 11 14.84614 305 262 43 19.62715 307 273 34 11.64416 283 268 15 21.24317 294 281 13 13.78518 286 271 15 22.38919 294 276 18 23.16220 286 263 23 24.45921 285 276
22、 9 17.91122 299 287 12 9.8441323 310 262 48 13.03724 269 258 11 28.09325 300 272 28 11.35226 310 286 24 26.16827 288 261 27 19.84328 304 277 27 29.91529 295 280 15 17.73830 254 251 3 9.71930 天内平均每天情况如下：平均每天等车总人数：294 人平均每天能上车人数：270 人平均每天未上车人数：24 人平均等待时间：17.9 分模型评价本模型考虑得比较简单，简化的地方有以下几点：我们认为所有的乘客都是同时到达车站等车，并且排队人数不再增加，计算等车时间时以最后一名上车乘客等待时间为准。另外假设乘客上下车是连续的，中间没有时间误差。这样模拟出来的结果与实际情况有一定的差距，如果可以将等车时间考虑得更仔细一点，模拟出来的效果会个更好。参考文献计算机模拟在数学建模中应用 欧宜贵 2004 年 海南大学学报14数学建模 姜启源 谢金星 叶俊 高等教育出版社Matlab 6.0 与科学计算 王沫然 电子工业出版社数学建模与数学实验 赵静 但琦 严尚安 高等教育出版社数学模型与数学建模 刘来福 曾文艺 北京师范大学出版社matlab 教程 张志涌 杨祖樱 北京航空航天大学出版社
